2025版高中数学课时作业28直线与圆的位置关系新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业28直线与圆的位置关系基础巩固1．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D.不确定解析：直线y＝kx＋1过点(0，1)，且该点在圆x2＋y2＝4内，所以直线与圆相交．答案：C2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B.2或－12C．－2或－12 D.2或12解析：圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为eq\f(|7－b|,5)＝1，得b＝2或b＝12，故选D.答案：D3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0解析：设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求切线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.答案：A4．过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是()A．k<－3或k>2B．k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)C．k>2或－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3D．－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)解析：把圆的方程化为标准方程得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝16－eq\f(3,4)k2，所以16－eq\f(3,4)k2>0，解得－eq\f(8\r(3),3)<k<eq\f(8\r(3),3).又因为点(1，2)应在圆的外部，得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，所以实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3))).答案：D5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，求直线l斜率k的取值范围．解：圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，设直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，依据点到直线的距离公式，得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，即为直线l斜率的取值范围．实力提升1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2eq\r(2)，则这个圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16解析：圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq\r(2).r2＝d2＋(eq\r(2))2＝4，解得r＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.答案：A2．过点(2，1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D.x－3y＋5＝0解析：∵过点(2，1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心，∴该直线过点(2，1)和圆心(1，－2)，其方程为eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，整理得3x－y－5＝0.故选A.答案：A3．若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()A．(0，1) B．(0，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)解析：圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”冲突，所以mn<1.答案：C4．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：在直线y＝x－1上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r＝1.要使|PA|最小，则|PC|应最小．又当PC与直线垂直时，|PC|最小，其最小值为eq\f(|3－0－1|,\r(2))＝eq\r(2).故|PA|的最小值为eq\r(（\r(2)）2－12)＝1.答案：A5．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．解析：易知所求直线过圆心且与AB垂直，圆心坐标为(1，0)．设所求直线方程为3x－2y＋c＝0，则3×1－2×0＋c＝0，c＝－3.即所求直线方程为3x－2y－3＝0.答案：3x－2y－3＝06．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点的个数是________．解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，圆半径为2eq\r(2)，圆心到直线l的距离为eq\f(|－1－2＋1|,\r(12＋12))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为eq\r(2)，共3个点．答案：37．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.解析：圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，半径r＝2，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析：由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))\s\up12(2))＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)9．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析：数形结合的方法．如图1所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，图1∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)．∴直线l的斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1，2)，且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，求直线l的方程．解：(1)明显直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝2，得k1＝0，k2＝－eq\f(4,3)，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，eq\r(3))和(1，－eq\r(3))，这两点的距离为2eq\r(3)，满意题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2eq\r(3)＝2eq\r(4－d2)，∴d＝1，∴1＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))，∴k＝eq\f(3,4)，此时直线方程为3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.11.已知实数x、y满意方程(x－2)2＋y2＝3.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以eq\r(3)为半径的圆，设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).故eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6).故y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何学问知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3).(x2＋y2)min＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).12．已知点P(x0，y0)是圆O：x2＋y2＝r2外一点，过点P作圆O的切线，两切点分别为A，B，试求直线AB的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在圆上，∴过点A，B的两切线方程分别是x1x＋y1y＝r2，x2x＋y2y＝r2.又∵点P(x0，y0)在两切线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0＋y1y0＝r2，,x2x0＋y2y0＝r2.))∴A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都是方程x0x＋y0y＝r2的解．∴直线AB的方程是x0x＋y0y－r2＝0.拓展要求1．若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))．当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1；当l与半圆相切时，由eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(4,3)，切线记为l2.分析可知当eq\f(4,3)＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点，故选A.答案：A2．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.2