2024-2025学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1第1课时等差数列的概念和通项公式课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE4课时作业3等差数列的概念和通项公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．给出下列数列：(1)0,0,0,0,0，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)2,22,23,24，…；(4)－5，－3，－1,1,3，…；(5)1,2,3,5,8，….其中等差数列有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：依据等差数列的定义可知(1)(4)是等差数列，故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列是(A)A．公差为2的递增等差数列B．公差为5的递增等差数列C．首项为7的递减等差数列D．公差为2的递减等差数列解析：∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，∴数列{an}是公差为2的递增等差数列．3．已知在数列{an}中，an＋1－an＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为(C)A．18B．19C．20D．21解析：由条件知{an}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d＝2＋9×2＝20.4．若数列{an}满意a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2018时，m的值是(C)A．678B．679C．680D．690解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，∴{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.令am＝－2018，则m＝680.5．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为(A)A．3B．6C．8D．10解析：由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.6．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}(B)A．是常数列 B．是等差数列C．是摇摆数列 D．非以上三种数列解析：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1(n＝1),Sn－Sn－1(n≥2)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(n＝1)，,2n－1(n≥2).))∴an＝2n－1(n∈N＋)．又an＋1－an＝2为常数，∴{an}是等差数列．7．设数列{an}是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是(B)A．1B．2C．4D．8解析：设等差数列{an}前三项分别为a－d，a，a＋d，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝12，,(a－d)×a×(a＋d)＝48，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝±2(由题意舍去－2).))所以首项为a－d＝2.8．假如a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则(B)A．a3a6>a4a5 B．a3a6<a4a5C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4a5解析：由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)·(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，明显a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.二、填空题9．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则首项a1＝19，公差d＝－2.解析：设数列{an}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))10．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为log25.解析：lg(2x－1)－lg2＝lg(2x＋3)－lg(2x－1)，∴2(2x＋3)＝(2x－1)2，∴(2x)2－4×2x－5＝0，∴2x＝5，∴x＝log25.11．在数列{an}中，a1＝3且对随意大于1的正整数n，点(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直线x－y－eq\r(3)＝0上，则an＝3n2.解析：∵点(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直线x－y－eq\r(3)＝0上，∴eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，即数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(3)，公差为eq\r(3)的等差数列．∴数列的通项公式为eq\r(an)＝eq\r(3)＋eq\r(3)(n－1)＝eq\r(3)n，∴an＝3n2.三、解答题12．数列{an}是等差数列，bn＝kan＋b(k，b是常数，n∈N＋)，求证：数列{bn}也是等差数列．证明：因为{an}是等差数列，所以an＋1－an为常数，不妨设为d.所以bn＋1－bn＝(kan＋1＋b)－(kan＋b)＝k(an＋1－an)＝kd(常数)，所以数列{bn}为等差数列．13．已知等差数列{an}中，(1)an＝2n＋3，求a1和d；(2)a7＝131，a14＝61，求a100，并推断0是不是该数列的项？解：(1)∵an＝2n＋3，∴a1＝2×1＋3＝5.∴d＝an＋1－an＝2(n＋1)＋3－(2n＋3)＝2.(2)设数列{an}的公差为d，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝131，,a1＋13d＝61.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝191，,d＝－10.))故an＝a1＋(n－1)·d＝－10n＋201.∴a100＝－10×100＋201＝－799.令－10n＋201＝0，解得n＝20.1∉N＋，∴0不是该数列的项．——实力提升类——14．首项为－24的等差数列{an}，从第10项起先为正数，则公差的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)).解析：设等差数列的公差为d，则通项公式an＝－24＋(n－1)d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))解得eq\f(8,3)<d≤3，即公差的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)).15．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满意bn＝2log2(an＋1－n)，求