2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图习题含解析新人教A版必修第二册

.2立体图形的直观图课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是()A.① B.② C.③ D.④解析水平放置的n边形的直观图还是n边形,故①正确;因为斜二测画法是一种特别的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于y轴的线段长度变为原来的一半,所以③④错误.答案AB2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',则△ABC是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.答案B3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.AB B.AD C.BC D.AC解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC,故AC是最长的线段.答案D4.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD.∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.答案C5.(2024上海多校联考)用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为()A.2 B. C. D.解析设O'A'=x,则O'B'=x,在原图形中OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,故原平面图形OABC的面积S=×x+x×2x=3,解得x=.答案D6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是.

解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.答案16或647.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为.

解析由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得·OB·h=2×2O'B'.∵OB=O'B',∴h=4.答案48.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.画法(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去协助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).9.用斜二测画法画出棱长为2cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.①(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.②(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉协助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).实力提升练1.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个()A.等边三角形 B.直角三角形C.三边互不相等的三角形 D.面积为的三角形解析由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.∵A'O'=,∴AO=.∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.∴△ABC的面积为×2×.答案AD2.(2024河南洛阳检测)如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O'B'=4,A'B'∥y轴,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴交于点C',则A'C'的长为()A.2 B. C.16 D.1解析因为A'B'∥y轴,所以在△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以AB·OB=16.所以AB=8,所以A'B'=4.所以A'C'的长为4·sin45°=2.答案A3.(2024全国高一课时练习)如图所示,用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图,得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是.(填序号)

①AB=BC=AC;②AD⊥BC;③AC>AD>AB>BC;④AC>AD>AB=BC.解析由直观图画出△ABC如图所示,其中AB=2BC,①错误;∠ABC=90°,②错误;AC>AD>AB>BC,③正确,④错误.答案③4.(2024湖南高三学业考试)水平放置△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为.

解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角,∴AB==5,∴AB边上的中线的长度为AB=.答案5.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为.

解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=a.∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.答案a2素养培优练(2024全国高一课时练习)画出一个上、下底面边长分别为1cm,2cm,高为2cm的正三棱台的直观图.画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使AB=2cm,在y轴上取线段OC,使OC=cm.连接BC,CA,则△ABC就是正三棱台的下底面的