2025版高中数学课时作业6球的体积和表面积新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业6球的体积和表面积基础巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍 C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的eq\r(2)倍，体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．答案：B2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()A.eq\f(\r(6π),6) B.eq\f(\r(π),2) C.eq\f(\r(2π),2) D.eq\f(\r(6)π,6)解析：设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2.则eq\f(a,R)＝eq\f(\r(6π),3)，则eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6π),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6π),6).答案：A3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为()A．R B．2R C．3R D．4R解析：设圆柱的高为h，则3×eq\f(4,3)πR3＝πR2·h，所以h＝4R.答案：D4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝eq\f(\r(6),2).设正四棱柱底面边长为x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))eq\s\up12(2)＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故选B.答案：B5．(2024年许昌高一检测)已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200π解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，外接球的半径为eq\f(5\r(2),2).外接球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π，故选C.答案：C6．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(4π,3) C.eq\f(32,3)π D．4π解析：依据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.选B.答案：B实力提升1．(2024年宁夏高三模拟)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1所示，则三棱锥的外接球的表面积为()图1A．20π B．25π C．29π D．13π解析：由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，可扩展为长方体，则长方体的对角线长即为外接球的直径，所以2R＝eq\r(32＋42＋22)＝eq\r(29)，即R＝eq\f(\r(29),2)，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))eq\s\up12(2)＝29π，故选C.答案：C2．如图2，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器厚度，则球的体积为()图2A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3解析：利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图3，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，图3∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．答案：A3．(2024年辽宁大连二十中高一月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64πC．144π D．256解析：如图4所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC＝VCAOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×R3＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选C.图4答案：C4．(2024年江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三联考)某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的外接球的表面积为()图5A．136πB．144πC．36πD．34π解析：本题考查三视图，空间几何体的表面积．还原出空间几何体，如图6，图6四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC.取AC的中点E，取PC的中点O，连接OE，所以OE⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝R＝eq\r(22＋（\f(3,\r(2))）2)＝eq\r(\f(17,2))，即四棱锥P­ABCD的外接球的半径R＝eq\r(\f(17,2)).所以该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝34π.选D.答案：D5．如图7是一个几何体的三视图，依据图中的数据可得该几何体的表面积为________．图7解析：由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，上半部分是半径为3的半球，∴该几何体的表面积S＝5×π×3＋eq\f(1,2)×4π×32＝33π，故答案为33π.答案：33π6．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．图8解析：如图8，过正三棱锥P­ABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|＝6，连接AM，AO，则|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC为等边三角形，故|AM|＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，则R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.答案：64π7．边长为4eq\r(2)的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥O­ABCD的体积是________.解析：因为正方形ABCD外接圆的半径r＝eq\f(\r(（4\r(2)）2＋（4\r(2)）2),2)＝4.又因为球的半径为5，所以球心O到平面ABCD的距离d＝eq\r(R2－r2)＝3，所以VO­ABCD＝eq\f(1,3)×(4eq\r(2))3×3＝32.答案：328．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为3eq\r(2)的正方形，且各侧棱长均为2eq\r(3).求该四棱锥外接球的表面积．图9解：取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1，CE，如图9.则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SC⊥EC.∵AB＝3eq\r(2)，∴O1C＝3.在Rt△SO1C中，SC＝2eq\r(3)，∴SO1＝eq\r(3).在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，∴SC2＝SO1·SE，∴SE＝eq\f(SC2,SO1)＝eq\f(（2\r(3)）2,\r(3))＝4eq\r(3).∴球半径R＝2eq\r(3).∴球的表面积为S＝4πR2＝4π·(2eq\r(3))2＝48π.拓展要求1．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A.eq\f(\r(2),2) B．1 C．1＋eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)解析：如图10，设直线EF被球O截得的线段为PQ，图10作OH⊥EF于H，依题意，球O半径OP＝OA1＝eq\f(\r(3),2)，OH＝eq\f(1,2).故PQ＝2PH＝2eq\r(OP2－OH2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2).答案：D2．如图11，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V2为大球