第24讲 定值问题（原卷版）

一．解答题（共19小题）1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1(Ⅱ)命题：“过椭圆的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明.(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点Q，且点Q在x轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F1.(Ⅱ)过椭圆C的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.3．已知椭圆离心率分别为左、右焦点，椭圆C上一点M满足MF1丄MF2，且△MF1F2的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A，B两点．过点O且平行于l的直线交椭圆于点P，Q，证明：为定值. 离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点T(1,1)作直线l1与椭圆C相交于P，（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线l过点(4,—2)且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.5．已知椭圆的离心率等于点P(2,)在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q(2,0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l’:x=t，使得l’与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由. 6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ:的离心率为，上顶点(0,b)在(Ⅱ)过原点的直线与椭圆Γ交于A，B两点(A，B不是椭圆Γ的顶点点C在椭圆Γ上，且AC丄AB，直线BC与x轴、y轴分别交于P，Q两点.(i)设直线BC，AP的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数t，使得k1=tk2？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(ii)求ΔOPQ面积的最大值.7．已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A是右准线与x轴的交点，且AF=1.（1）求椭圆C的方程；l的方程；（3）设点Q(,0)，过点F且斜率不为零的直线m与椭圆C交于S，T两点，直线TQ与直线x=2交于点S1，试问S1SS1A228．已知椭圆的右焦点为F，过F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，线段AB的中垂线l’交x轴于点M.（1）若BF=2，求B点坐标；（2）问：是否为定值. 9．已知椭圆的离心率为，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3·2.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F2作与x轴不垂直的直线l1交椭圆于A，B两点，第一象限点M在椭圆上且满足MF2丄x轴，连接MA，MB，记直线AB，MA，MB的斜率分别为k，k1，k2，探索—k是否为定值，若是求出；若不是说明理由. 坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，且椭圆C截直线x=c所得弦长为·.（1）求椭圆C的方程；（2）线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围；（3）试问在x轴上是否存在一点Q，使得QM.QN恒为定值？若存在，求出点Q11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:.（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为(1,0)，求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：是定值，并求出这个定值.12．已知左焦点为F1(-1,0)的椭圆过点过右焦点F2分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD．设点M，N分别为线段AB，CD的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形OAB面积的最大值；（3）若k1①求证：直线MN经过定点T，并求出定点T的坐标.②求证：点T到直线AB，CD的距离的平方和为定值.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P(m,0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值.过抛物线C焦点F的动弦，O是坐标原点，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点P.（2）若动弦AB不经过点M(2,1)，直线AB与准线l相交于点N，记MA，MB，MN的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ,使得k1+k2=在弦AB运动时恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.15．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：为定值.16．已知圆C的圆心坐标为C(3,0)，且该圆经过点A(0,4).（1）求圆C的标准方程；（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标.（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值.（1）若点A为(3,4)，试判断直线l与圆C的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0>0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数.①若直线AM过点O，求直线MN的斜率；②试问：不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.周长为6.（1）求椭圆C的方程；（2）若M，F2，N在直线x=4上的射影分别为E，K，D，连接MD，当m变化时，证明直线MD与NE相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆C的左顶点为A，直线