2025年高考一轮复习 专题26 双曲线（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）

专题26双曲线目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.二．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).四．直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．2.弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).温馨提示：一．求标准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．3.常用设法：①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.双曲线是高考考查的重点和热点，其中双曲线的方程、渐近线与离心率等几何性质常以选择题、填空题形式出现；直线与双曲线的综合问题定点、定值问题等常常以解答题形式出现。题型一双曲线的定义及应用例1（1）．已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（

）A．双曲线的上支 B．双曲线的下支C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线答案A分析根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案.解析由定点且在y轴上，可得，因为，即，根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支.故选：A.（2）．设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16答案B分析根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.解析对于双曲线，则，根据双曲线定义有，又，，故．故选：B

方法归纳：在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．题型二双曲线的标准方程过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．答案D分析求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程.解析由，得，所以焦点在y轴上，且．设双曲线的方程为，所以解得，，所以双曲线的方程为．故选：D．方法归纳：求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例34．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案C分析由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案.解析由题意知，因为轴，所以令，可得，解得：，设，直线的斜率为：，所以直线的方程为：，令可得，所以，直线的斜率为：所以直线的方程为：，令可得，所以，由可得，解得：,所以，解得：，即所以的渐近线方程为，故选：C.方法归纳：(1)渐近线的求法：求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．答案D分析设出点的坐标，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后结合基本不等式求出取得最大值时的条件，