2025年高考一轮复习 专题15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）（解析版）

专题15导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）目录：01函数极值的辨析02求已知函数的极值03根据极值求参数04函数（导函数）图像与极值的关系05由导数求函数的最值06已知函数最值求参数07根据极值点求参数08由导数求函数的最大值（含参）09恒成立问题10零点问题11导数的综合应用01函数极值的辨析1．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据极值的定义进行求解即可.【解析】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值；D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，故选：D2．（2024高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值．B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值．C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得．D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值．【答案】D【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可.【解析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确.故选：D.3．（2024高三·全国·专题练习）如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.【解析】由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；所以f(x)的极小值点的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.4．（22-23高二上·河南许昌·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（

）

A．为函数的零点B．是函数的最小值C．函数在上单调递减D．为函数的极大值点【答案】C【分析】根据的图象，得到函数的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的概念，逐项判定，即可求解.【解析】由的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，A中，是函数的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A不正确；B中，是函数一个极小值，不一定是函数的最小值，所以B错误；C中，函数在上单调递减，所以C正确；D中，为函数的极小值点，所以D错误.故选：C.02求已知函数的极值5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)讨论的单调性，并求出的极小值．【答案】(1)(2)在单调递减，在和单调递增；0.【分析】（1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和的值，利用直线的点斜式方程求解切线的方程；（2）利用函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.【解析】（1）当时，，则，所以，又知，所以在点处的切线方程为．（2）因为，令，则或，所以当时，，当或时，．综上，在上单调递减，在和上单调递增；所以．6．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数为奇函数．(1)求的值；(2)当时，求的单调区间和极值．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由已知结合奇函数的定义即可求解；（2）先化简的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解.【解析】（1）定义域：．由已知：函数为奇函数，所以，即，解得．（2）由（1）得：，当时，因为，所以．令，解得．变化情况如下表：0＋单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，在上单调递增．因此的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.03根据极值求参数7．（22-23高二下·北京·期中）若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围.【解析】因为，所以，由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点，故方程有两个不相等的实根，则，且，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：D.8．（2023·贵州遵义·三模）已知函数在处取得极值0，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据极值点的意义，列式求解.【解析】，有，得，所以.故选：B9．（21-22高三下·广西·阶段练习）已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.【解析】解：，令，即，解得，且，；，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴有极大值，∴，∴，故选：A.04函数（导函数）图像与极值的关系10．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值【答案】D【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可.【解析】由的图象可知：当或时，；当时，；可知在，上单调递增，在上单调递减，则函数有且仅有两个极值点，结合选项可知：ABC正确；D错误；故选：D.11．（23-24高二下·四川广元·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（

）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上存在极小值点 D．在上有最大值【答案】B【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解.【解析】时，，时，，故在上不单调，A选项错误；时，，故在上单调递减，B选项正确；时，，故在上单调递减，无极值点，C选项不正确；时，，在上单调递增，虽然确定了的单调性，但没有的解析式，故无法确定在上是否有最大值，D选项不正确．故选：B．05由导数求函数的最值12．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可．【解析】设，则，所以，令，则，令，函数单调递减，令，函数单调递增，所以，即的最小值为．故选：A13．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（

）A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增C．存在实数，使得 D．有最小值【答案】C【分析】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【解析】由得，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），所以在上单调递增，即B正确；在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.故选：C14．（23-24高二下·北京海淀·期中）关于函数，下列结论错误的是（

）A．的解集是 B．是极小值，是极大值C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值【答案】C【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.【解析】函数的定义域为R，对于A，，解得，即的解集是，A正确；对于BCD，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此是极小值，是极大值，B正确；显然当时，恒成立，当时，，，而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.故选：C06已知函数最值求参数15．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解.【解析】由函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，要使得函数在区间上有最小值，则满足，即，因为，可得，即，解得，所以，即实数的取值为.故选：D.16．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【解析】，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最值，则有，解得.故选：C.17．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数，若，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致图象，令，结合图象得到的范围，再将所求转化为关于的表达式，构造函数，利用导数即可得解.【解析】因为，作出的大致图象，如图，

令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当，即时，，则，单调递减，则，解得，符合；当，即时，当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合；综上，.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.07根据极值点求参数18．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解.【解析】令，则或，明显函数在上单调递增，且值域为，所以方程必有根，设为，即的根为或，又是函数的极大值点，则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，即，所以，得.故选：B.19．（23-24高三上·河南南阳·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】转化为有两个变号零点，令，求导，分和两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式，再构造函数，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.【解析】由题意得有两个变号零点，令，定义域为R，则，当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，当时，令得，，令得，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，则，即，令，，则，令得，令得，在上单调递增，在单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，又，故的解集为，此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，满足有2个变号零点.故选：C【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方20．（22-23高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数存在两个极值点，则以下结论正确的为（

）A． B．C．若，则 D．【答案】D【分析】由题可得方程有两个不相等的实数根，构造函数，利用导数研究函数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.【解析】函数的定义域为R，求导得，由，得，显然，由函数存在两个极值点，得方程，即两个不相等的实数根，于是函数的图象与直线有两个交点，且横坐标分别为，求导得，由得，由得，因此函数在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，对于A，要使函数存在两个极值点为，则，A错误；对于B，当时，由函数的图象知，，B错误；对于C，若，则，得，则，C错误；对于D，由，得，又，则，，有，即，因此，D正确．故选：D【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.08由导数求函数的最大值（含参）21．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，其中．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，函数在区间上的最小值．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）当时，求，令，，求解即可；（2）先求，令，在定义域内解得，讨论的取值范围，通过判断函数在的单调性，即可求得最小值.【解析】（1）当时，，，，因为，，所以当时，解得，当时，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）函数的定义域为，，，令，得或（舍），当，即时，当时，，则在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，当，即时，当时，，则在上单调递减，所以函数在区间上的最小值为，综上.22．（2024·山西吕梁·二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间和极值；(2)求在区间上的最大值.【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，没有极小值；(2)【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；（2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最大值.【解析】（1）当时，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的极大值为，没有极小值.（2）由题意得.若，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为；若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为.综上可得，.09恒成立问题23．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【解析】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为24．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；(2)若，使成立，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.【解析】（1）

设切点坐标为，则切线方程为，因为切线经过原点，所以，解得，

所以切线的斜率为，所以的方程为.（2），，即成立，则得在有解，故有时，.

令，，，

令得；令得，故在单调递减，单调递增，所以，

则，故的最小值为.10零点问题25．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在上的零点个数.【答案】(1)答案见解析(2)2【分析】（1）求导得到，令即可求解函数的单调区间；（2）求导得到，因无法轻易求得的解，故根据导函数的性质将的取值范围分为三段分别讨论，结合零点的存在性定理即可求解零点个数.【解析】（1）∵，故，令，所以在上单调递减，在上单调递增；（2）因为，，则．①当时，因为，所以在上单调递减．所以．所以在上无零点．②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，且．所以．设，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增．所以．所以，得．所以．所以在上存在一个零点．所以在有2个零点．③当时，，所以在上单调递增．因为，所以在上无零点．综上所述，在上的零点个数为2．【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：（1）分段处理：利用三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.26．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数．(1)函数在处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导数代入得即可求出值；（2）首先排除的情况，在时，根据，解出范围，再利用零点存在性定理证明此时有两个零点.【解析】（1），则由题意得，解得.（2）定义域为，，令，解得：，当时，在上恒成立，在上单调递增；则至多有一个零点，不符合题意;当时，若时，；若时，；在上单调递增，在上单调递减；若有两个零点，则，解得.因为，且，由零点存在定理可知，存在使得，又因为，设，因为，所以在单调递增，故，即，因为，由零点存在定理可知，存在，使得.综上可得的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用，解出的范围，再利用零点存在性定义证明此时满足题意即可.11导数的综合应用27．（2024·江苏·二模）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明；（2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.【解析】（1）因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.令，则，则在单调递增，所以，即.（2），令，则.所以在单调递增，，①时，，.则在为增函数，在上无极值点，矛盾.②当时，.由（1）知，，，则，则使.当时，，，则在上单调递减；当时，，，则在上单调递增.因此，在区间上恰有一个极值点，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数为的极值点．(1)求的最小值；(2)若关于的方程有且仅有两个实数解，求的取值范围．【答案】(1)1(2)【分析】（1）求出导函数，根据极值点的定义可得，代入，构造函数，利用导函数判断单调性，然后利用函数的单调性求出最值即可（2）由，然后分离参数得，设，求出单调区间和极值即可【解析】（1），依题意，，所以，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，取得最小值，所以的最小值为1；（2）由（1）可知，，令，则，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，且，所以．29．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)若函数，求证：在上单调递减；(3)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，根据函数恰有两个零点列出不等式，求得答案；（2）写出，利用其导数证明单调性即可；（3）采用逆推分析的方法，将证明成立，转化为证明成立，继而根据在上单调递减，需证，结合（2）的结论，即可证明．【解析】（1）由题意得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，当时，，可取到负的无穷小值，当时，，也可取到负的无穷小值，函数恰有两个零点，则，即，实数的取值范围为；（2），，，令，，，又时有，，在上单调递增，在上单调递增，从而，在上单调递减；（3）由（1）知，，要证，只需证，在上单调递减，只需证，，只需证，其中，只需证，其中，由（2）知，当时，，，．一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的极小值点为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.【解析】因为，所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2．故选：A2．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知的一个极值点为，若tan，则实数a的值为（

）A．﹣3 B． C．3 D．【答案】B【分析】由正弦函数的图像和极值点列方程求出实数a的值.【解析】函数的图像连续，且所以若为的一个极值点，由正弦函数的图像可得：，解得：.而tan，所以，所以.故选：B3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.【解析】由题意可知：，所以当时，则在上单调递增，所以.故选：D.4．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为增函数 B．有两个零点C．的最大值为2e D．的图象关于对称【答案】D【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.【解析】A：，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以函数在R上没有零点，故B错误；C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数的最小值为，故C错误；D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.故选：D5．（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数满足，则下列不等式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数探讨最值可得，再结合已知及不等式性质逐项判断即得.【解析】对于A，令函数，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，即，而，因此，A正确；对于B，由，得，则，显然，否则，，于是，则，B错误；对于C，由，得，C正确；对于D，，即，因此，D正确.故选：B6．（2023·浙江金华·模拟预测）在半径为的实心球中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球，则球的表面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为，则高为，写出圆柱的体积，利用基本不等式求最值，即可得到满足条件的值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.【解析】由球的半径为，如图，设圆柱的底面半径为，则高为，．当且仅当，即，时，上式取等号,此时圆柱的体积为，（或者令，当，所以在单调递增，在单调递减，故当取最大值4，故当时，取最大值4）要使熔成一个球的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,因此熔成的球的体积也是，故球的半径为,所以球的表面积为故选：D．7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】方程因式分解得，所以或，根据函数的草图，判断的解的个数，从而确定解的个数，可得的取值范围.【解析】当时，，由此可知在单调递减，且当时，，在上单调递增，；当时，在单调递增，在上单调递减，，如图所示．得，即或，由与有两个交点，则必有四个零点，即，得.故选：C8．（2024·福建莆田·二模）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论：①在区间上“优于”；②在区间上“优于”；③在区间上“优于”；④若在区间上“优于”，则．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数，，利用导数判断函数单调性，可证；对于④：根据结合公切线可得，并检验.【解析】对于①：若在区间上恒成立，结合余弦函数的图象可知：，若，此时与必有两个交点，由图象可知：不恒成立，即不存在实数，使得对任意恒成立，故①错误；对于②：对于，，结合正切函数图象可知，不存在在实数，使得对任意恒成立，故②错误；对于③：构建，则，令，解得；，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即；构建，则，令，解得；，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即；综上所述：，即存在实数，使得对任意恒成立，所以在区间上“优于”，故③正确；对于④：因为，且，若在区间上“优于”，可知符合条件的直线应为在处的公切线，则，可得，则切线方程为，构建在即内恒成立，可得；由③可知：，可得;综上所述：.所以符合题意，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明；对于④：根据，结合题意分析可得，即可得，注意检验.二、多选题9．（2024·贵州安顺·一模）设函数，则（

）A．有个极大值点B．有个极小值点C．是的极大值点D．是的极小值点【答案】ABD【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值点.【解析】函数的定义域为，且，所以当或时，当或时，所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值.故选：ABD10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则在上递增B．若为奇函数，则C．若是的极值点，则D．若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为【答案】BCD【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A；由奇函数即可判断B；根据已知条件计算出即可判断C；由已知求出范围，即可判断D．【解析】对于A，，当时，，因为时单调递减，时，单调递增，故A错误；对于B，若为奇函数，则，则，又，所以，故B正确；对于C，当时，，则，又是的极值点，所以，即，又，则，经检验为的极值点，故，故C正确；对于D，由和都是的零点得，，两式相减得，由在上具有单调性且和都是的零点得，，解得，所以的取值集合为，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：对于D选项中求的范围，一是根据和是的零点得出，二是结合在具有单调性，即区间左端点为零点，得出.11．（2024·广东广州·模拟预测）设函数，则（

）A．函数的单调递增区间为B．函数有极小值且极小值为C．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为D．经过坐标原点的曲线的切线方程为【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的几何意义，依次判断选项即可.【解析】对A：由题意可知的定义域为，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A正确；对B：当时，取得极大值为，故B错误；对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为，故C正确.对D：设曲线在处的切线经过坐标原点，则切线斜率，得，解得，所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确.故选：ACD三、填空题12．（2023·广东汕头·一模）函数的一个极值点为1，则的极大值是．【答案】4【分析】由极值点定义得到，求出，进而得到或时，，时，，得到函数单调性和极大值.【解析】定义域为R，，由题意得，，解得，故，令，解得，令得，或，单调递增，令得，，单调递减，故在处取得极大值，极大值为.故答案为：413．（2024·全国·模拟预测）方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为．【答案】【分析】分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性与最值，作出函数大致图象，数形结合计算即可.【解析】由题意，得方程有两个不相等的实数根．令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取最大值．作出函数的大致图象，如图．由图可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，所以实数的取值范围为．故答案为：.14．（2024·重庆·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围为．【答案】【分析】依题意关于的方程恰有三个不等实数根，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，令，则（且），令（且），依题意可得与有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于，另一个交点的横坐标位于之间，即可求出参数的取值范围.【解析】令，则，即，依题意关于的方程恰有三个不等实数根，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，当时，当时，所以，令，则（且），则（且），令（且），因为在定义域上单调递增，在，上单调递增，所以在，上单调递增，又，，要使关于的方程恰有三个不等实数根，则与有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于，另一个交点的横坐标位于之间，则，解得，综上可得实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将函数的公共点问题转化为方程的解，从而转化为常数函数的定函数的交点问题.四、解答题15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数，当时，取得极值．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)(2)的最小值为，最大值为.【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式；（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.【解析】（1）依题意可得，又当时，取得极值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，当变化时，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.16．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．【答案】(1)，(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.【解析】（1）因为，所以，又在处的切线方程为，所以，，解得，．（2）由（1）可得定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则在处取得极小值，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，因此极小值为，无极大值．17．（2024·江苏南京