江苏省淮安市重点中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

江苏省淮安市重点中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,且,则的值是()A. B. C.4 D.2.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.4.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、、分别为侧棱,,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为()A. B. C. D.5.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.6.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.57.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,188.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.10.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}11.若复数是纯虚数,则实数的值为()A.或 B. C. D.或12.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,若,,则______,的最大值是______.14.已知集合,,则____________.15.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB16.已知函数为上的奇函数,满足.则不等式的解集为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在极坐标系中,曲线的方程为,以极点为原点,极轴所在直线为轴建立直角坐标,直线的参数方程为(为参数),与交于,两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)设点;若、、成等比数列,求的值18.(12分)设函数.(1)解不等式;(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.19.(12分)选修4­4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.20.(12分)网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此,实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式,最近某信息机构调研了患者对网络看病,实地看病的满意程度,在每种看病方式的患者中各随机抽取15名,将他们分成两组,每组15人,分别对网络看病,实地看病两种方式进行满意度测评,根据患者的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图:(1)根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高?并说明理由;(2)若将大于等于80分视为“满意”,根据茎叶图填写下面的列联表:满意不满意总计网络看病实地看病总计并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关?(3)从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人,求这2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.22.(10分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由,可得,所以数列是公比为的等比数列,所以,则,则,故选B.点睛:本题考查了等比数列的概念,等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用,试题有一定的技巧,属于中档试题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.2、C【解析】

由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.3、B【解析】

依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.4、D【解析】

如图,平面截球所得截面的图形为圆面,计算,由勾股定理解得,此外接球的体积为,三棱锥体积为,得到答案.【详解】如图,平面截球所得截面的图形为圆面.正三棱锥中,过作底面的垂线,垂足为,与平面交点记为,连接、.依题意,所以,设球的半径为,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的体积为,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距离为,则,所以三棱锥体积为,所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,三棱锥体积,球体积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.6、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【详解】解:由,所以,,,故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.7、A【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量,利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数.【详解】样本容量为:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的户主对四居室满意的人数为:故选A.【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意统计图的性质的合理运用.8、B【解析】

作出图形,设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,推导出,由线面平行的性质定理可得出,可得出点为的中点,同理可得出点为的中点,结合中位线的性质可求得的值.【详解】如下图所示:设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,四边形为正方形,、分别为、的中点,则且,四边形为平行四边形,且,且,且,则四边形为平行四边形,,平面,则存在直线平面,使得,若平面,则平面,又平面,则平面,此时,平面为平面,直线不可能与平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四边形为平行四边形,可得,为的中点,同理可证为的中点,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算,涉及线面平行性质的应用,解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置,考查推理能力与计算能力,属于中等题.9、D【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.10、A【解析】

解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【点睛】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.11、C【解析】试题分析:因为复数是纯虚数,所以且,因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点:纯虚数12、A【解析】

因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用等差数列前项和公式,列出方程组,求出首项和公差的值,利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式,可求出的表达式,然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,所以,数列的通项公式为;(2),,令,则且,,由双勾函数的单调性可知,函数在时单调递减,在时单调递增,当或时,取得最大值为.故答案为:;.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14、【解析】

由于,,则.15、-7【解析】

由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,16、【解析】

构造函数,利用导数判断出函数的单调性,再将所求不等式变形为,利用函数的单调性即可得解.【详解】设,则,设,则.当时,,此时函数单调递减;当时,,此时函数单调递增.所以,函数在处取得极小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函数在上为增函数,函数为上的奇函数,则,,则不等式等价于,又,解得.因此,不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题主要考查不等式的求解,构造函数,求函数的导数,利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.综合性较强.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为;(2)【解析】

(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化,即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)把的参数方程代入抛物线方程中,利用韦达定理得,,可得到,根据因为,,成等比数列,列出方程,即可求解.【详解】(1)由题意,曲线的极坐标方程可化为,又由,可得曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程为(为参数),消去参数,得,即直线的普通方程为;(2)把的参数方程代入抛物线方程中,得,由,设方程的两根分别为,,则,,可得,.所以,,.因为,,成等比数列,所以,即,则,解得解得或(舍),所以实数.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及参数方程与普通方程的互化,以及直线参数方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)采用零点分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值,然后利用基本不等式及其变形完成证明.【详解】(1)当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得∴原不等式的解集为(2)当且仅当即时取等号,∴,∴∵,∴,∴(当且仅当时取“”)同理可得,∴∴(当且仅当时取“”)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式,难度一般.(1)常见的绝对值不等式解法:零点分段法、图象法、几何意义法;(2)利用基本不等式完成证明时,注意说明取等号的条件.19、(1),(2)【解析】

试题分析:利用将极坐标方程化为直角坐标方程:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,即为x+y=1.再利用点到直线距离公式得:设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离试题解析:解:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,则直线l的直角坐标方程为x+y=1.设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离,dmax=.考点:极坐标方程化为直角坐标方程,点到直线距离公式20、(1)实地看病的满意度更高,理由见解析;(2)列联表见解析,有;(3).【解析】

(1)对实地看病满意度更高,可以从茎叶图四个方面选一个回答即可;(2)先完成列联表,再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关;(3)利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.【详解】(1)对实地看病满意度更高,理由如下:(i)由茎叶图可知:在网络看病中,有的患者满意度评分低于80分;在实地看病中,有的患者评分高于80分,因此患者对实地看病满意度更高.(ii)由茎叶图可知:网络看病满意度评分的中位数为73分,实地看病评分的中位数为87分,因此患者对实地看病满意度更高.(iii)由茎叶图可知:网络看病的满意度评分平均分低于80分;实地看病的满意度的评分平均分高于80分,因此患者对实地看病满意度更高.(iV)由茎叶图可知:网络看病的满意度评分在茎6上的最多,关于茎7大致呈对称分布;实地看病的评分分布在茎8,上的最多,关于茎8大致呈对称分布,又两种看病方式打分的分布区间相同,故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高,因此实地看病的满意度更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.(2)参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意,10名对网络看病不满意;参加实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意,5名对实地看病不满意.故完成列联表如下:满意不满意总计网络看病51015实地看病10515总计151530于是,所以有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.(3)网络看病的评价的分数依次为82,85,85,88,92,由小到大分别记为,从网络看病的评价“满意”的人中随机

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