专题4.7 相似三角形章末重难点突破（学生版）2022年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题4.7相似三角形章末重难点突破【浙教版】【考点1比例线段与黄金分割】【例1】（2021秋•石阡县期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a＝2，b=5，c＝23，d=15 D．a=2，b＝3，c【变式1-1】（2021秋•芦溪县月考）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【变式1-2】（2021秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式1-3】（2021秋•市北区期末）如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1⋅AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜PA．(3−52)C．(12)【考点2比例的基本性质】【例2】（2021春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【变式2-1】（2021秋•河北月考）（1）若x3=y（2）若a+23=b4=c+56，且2a﹣b+3c【变式2-2】（2021•渝中区校级三模）已知x=ab+c=【变式2-3】（2021秋•雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+c【考点3平行线分线段成比例】【例3】（2021•浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若CPPE=3A．12 B．13 C．3−1【变式3-1】（2021秋•浠水县期中）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且APPD=12，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝；S△【变式3-2】（2021秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．【变式3-3】（2021秋•平房区期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．ADDB=AEDH B．CFDE=【考点4相似三角形的简单判定与性质】【例1】（2021•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（）A．42 B．82 C．4【变式4-1】（2021秋•南岸区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（）A．1613 B．3013 C．4013【变式4-2】（2021秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．（1）试证：△CDE∽△ADC；（2）若点D是BC的中点，∠BED与∠ABC是否相等，并说明理由．【变式4-3】（2021•金州区一模）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．（1）求证：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2=2AB•AE（3）MN交AC点O，若CMBM=k，则OMON=【考点5相似基本模型（一）】【例5】（2021•丛台区校级三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【变式5-1】（2021•松江区一模）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．【变式5-2】（2021秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【变式5-3】（2021•黄浦区一模）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=1（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【考点6相似基本模型（二）】【例6】（2021秋•资阳区期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-1】（2021•亳州模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．【变式6-2】（2019•南岗区二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为．【变式6-3】（2021•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE【考点7相似三角形中的折叠问题】【例7】（2021•湖州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．（1）求∠BDE的度数；（2）求证：BD2＝BE•BA．【变式7-1】（2021•渝中区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC＝12，AB＝20，则CD的长为（）A．193 B．254 C．25【变式7-2】（2021春•文登区期末）已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．【变式7-3】（2021•台安县一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE•AF．其中正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点8相似三角形中的动点问题】【例8】（2021春•文登区期末）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？【变式8-1】（2021秋•渭滨区期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2021•晋安区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．【变式8-3】（2021•启东市一模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AD＝6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值．（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值．【考点9相似三角形的实际应用】【例9】（2021春•垦利区期末）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【变式9-1】（2021秋•碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．【变式9-2】（2021秋•孝义市期末）阅读下面材料，完成学习任务：数学活动测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴AB任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．【变式9-3】（2021•碑林区校级模拟）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【考点10图形的位似变换】【例10】（2021秋•淅川县期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．【变式10-1】（2021•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（）A．（3，6） B．（4，8） C．（6，12） D．（6，10）【变式10-2】（2021秋•乐亭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（52