2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：概率（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：概率（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•东湖区校级模拟）下列说法中，正确的是（）A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位数为32 B．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是1591C．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，则n＝40 D．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，则P（ξ＜3）＝1﹣p（多选）2．（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=2B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(-1≤ξ≤0)=D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人（多选）3．（2024•东莞市校级三模）下列选项中正确的有（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2 D．若数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2（多选）4．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（）A．A⊆B B．事件B与事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=（多选）5．（2024•新县校级模拟）下列说法正确的是（）A．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，则P（X＞4）＝0.1 B．设a＞0，b＞0，则“logb3＞loga3”成立的充要条件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14（多选）6．（2024•日照模拟）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是（）A．A与B相互独立 B．A与B互斥 C．P(B|C)=23 D（多选）7．（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D．P（C）＝P（AB）（多选）8．（2024•鲤城区模拟）已知随机变量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若数列{Pn}是等差数列，则（）A．若n为奇数，则P(X=n+1B．PnC．若数列{Pn}单调递增，则nP1＜1 D．E(X)=（多选）9．（2024•城区校级模拟）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为X，且X服从正态分布N（90，σ2），X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在[90，110]的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1（多选）10．（2024•樊城区校级模拟）下列结论正确的是（）A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点（xi，yi）都在直线y＝0.95x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 B．已知随机变量ξ∼N（3，4），若ξ＝2η+1，则D（η）＝1 C．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2也变成原来的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：概率（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•东湖区校级模拟）下列说法中，正确的是（）A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第25百分位数为32 B．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是1591C．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝20，D（X）＝10，则n＝40 D．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ＞1）＝p，则P（ξ＜3）＝1﹣p【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；二项分布的均值（数学期望）与方差．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】由百分位数的定义进行判断A项，由超几何分布公式求概率判断B项，由二项分布的数学期望与方差的性质判断C项，由正态分布的性质判断D项．【解答】解：对数据排列：27，30，31，32，38，40，50，54，因为8×25%＝2，所以第25百分位数=30+312，故对于B，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为p=C42对于C，X∼B（n，p），得np=20np(1-p)=10，解得n=40p=1对于D，∵ξ∼N（2，σ2），则正态曲线的对称轴为ξ＝2，根据正态曲线的对称性可得P（ξ＞1）＝P（ξ＜3）＝p，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查百分位数的定义，超几何分布，二项分布的数学期望与方差的性质，正态分布的性质相关知识，属于中档题．（多选）2．（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=2B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(-1≤ξ≤0)=D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；n重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；分层随机抽样．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得p=13，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知【解答】解：对于A，∵X～B（n，p），∴E(X)=np=30D(X)=np(1-p)=20∴1-p=23，解得对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%＝4.5，∴45%分位数为第5个数，即78，故B正确；对于C，∵ξ～N（0，1），∴P(-1≤ξ≤0)=12对于D，∵抽样比为20400∴高二应抽取360×120=18人，则高三应抽取57﹣20﹣18＝故选：BCD．【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与方差，考查转化能力，属于中档题．（多选）3．（2024•东莞市校级三模）下列选项中正确的有（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2 D．若数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数；变量间的相关关系．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】BD【分析】对于A，B，结合相关系数，残差的定义，即可求解；对于C，结合正态分布的对称性，即可求解；对于D，结合方差的线性公式，即可求解．【解答】解：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1，故A错误；在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故B正确；随机变量X服从正态分布N（2，σ2），则P（2＜X＜4）＝P（X＜4）﹣P（X≤2）＝0.8﹣0.5＝0.3，故C错误；设数据x1，x2，…，x16的方差为m，数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则22×m＝8，解得m＝2，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．（多选）4．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（）A．A⊆B B．事件B与事件C是互斥事件 C．P(AB)=2D．P(B+C)=【考点】互斥事件与对立事件；随机事件．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】CD【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断．【解答】解：由题意可得，A＝{（红，红），（绿，绿）}，B＝{（红，红），（绿，红）}，C＝{（红，红），（红，绿）}，则A⊈B，选项A错误；B∩C≠∅，选项B错误；P（AB）=4×310×9=P（B+C）=4×3+6×4×210×9=故选：CD．【点评】本题主要考查了事件基本关系的判断，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题．（多选）5．（2024•新县校级模拟）下列说法正确的是（）A．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（0＜X＜2）＝0.4，则P（X＞4）＝0.1 B．设a＞0，b＞0，则“logb3＞loga3”成立的充要条件是“a＞b＞1” C．已知P(B|A)=12，P(AB)=3D．若P(AB)=16，P（A）=13，P(B)=14【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AD【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断A，根据对数函数的性质可判断B，根据条件概率公式可判断C，根据独立事件的定义可判断D．【解答】解：对于A，∵X～N（2，σ2），且P（0＜X＜2）＝0.4，∴P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.5﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.4＝0.1，故A正确；对于B，设a＞0，b＞0，若logb3＞loga3，则a＞b＞1或0＜b＜a＜1，设a＞0，b＞0，若a＞b＞1，则log3a＞log3b＞0，所以loga3＜logb3，即设a＞0，b＞0，则“logb3＞loga3”成立的充分不必要条件是“a＞b＞1”，故B错误；对于C，已知P(B|A)=12，P(AB)=38，则P（A）对于D，因为P（A）=13，所以P（A）所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了对数函数的性质，以及条件概率公式，属于中档题．（多选）6．（2024•日照模拟）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是（）A．A与B相互独立 B．A与B互斥 C．P(B|C)=23 D【考点】条件概率；互斥事件与对立事件．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AC【分析】根据独立事件和互斥事件的定义判断AB，利用条件概率公式判断C，利用独立事件的概率乘法公式判断D．【解答】解：对于A，由题意可知，事件A与事件B相互独立，故A正确；对于B，由题意可知，事件A与事件B有可能同时发生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A与事件B不是互斥事件，故B错误；对于CD，P（C）＝1-12×12=3所以P（B|C）=P(BC)P(C)=23故选：AC．【点评】本题主要考查了独立事件和互斥事件的定义，考查了条件概率公式，属于基础题．（多选）7．（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D．P（C）＝P（AB）【考点】互斥事件与对立事件；随机事件．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学抽象．【答案】BC【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出P（A）P（B），P（AB），根据P（AB）＝P（A）P（B）可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出P（A）P（C），P（AC），根据P（AC）＝P（A）P（C）可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知P（C），P（AB），即可判断是否相等．【解答】解：由题意，得P(A)=12，P(B)=1对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；对于B，由题意知P(AB)=C31C31C61对于C，P(AC)=336=112，又P(A)P(C)=12对于D，由上知，P(C)=16＜故选：BC．【点评】本题主要考查了相互独立，互斥及对立事件的判断，属于中档题．（多选）8．（2024•鲤城区模拟）已知随机变量X的分布列如下：X123…nPP1P2P3…Pn若数列{Pn}是等差数列，则（）A．若n为奇数，则P(X=n+1B．PnC．若数列{Pn}单调递增，则nP1＜1 D．E(X)=【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】ACD【分析】由分布列的性质及等差数列的前n项和公式可得P1【解答】解：由数列Pn是等差数列且P1+P2+⋯+Pn＝1，得n(P1+对于A，当n为奇数时，P(X=n+12)=对于B，由P1+Pn=对于C，若数列{Pn}单调递增，则Pn-P1=2n-2由kPk=k[所以E（X）=k=1nkPk=n(n+1)2•（P1﹣d故选：ACD．【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）9．（2024•城区校级模拟）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为X，且X服从正态分布N（90，σ2），X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在[90，110]的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（）A．P（90≤X≤110）＝0.3 B．P（Y＝1）＝0.3×0.79 C．E（Y）＝2 D．D（Y）＝2.1【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AD【分析】根据题意，由正态分布的性质分析A，由二项分布的性质分析BCD，综合可得答案．【解答】解：根据题意，X服从正态分布N（90，σ2），则有P（X＜70）＝P（X＞110），故P（X＞110）＝0.2，则有P（90≤x≤110）＝P（X≥90）﹣P（X≥110）＝0.5﹣0.2＝0.3，故选项A正确；由题意可知Y～B（10，0.3），则P（Y＝1）=C101×0.3×0.7Y～B（10，0.3），则E（Y）＝10×0.3＝3，D（Y）＝10×0.3×（1﹣0.3）＝2.1，故选项C错误，选项D正确．故选：AD．【点评】本题考查正态分布和二项分布的性质，涉及概率的计算，属于基础题．（多选）10．（2024•樊城区校级模拟）下列结论正确的是（）A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点（xi，yi）都在直线y＝0.95x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 B．已知随机变量ξ∼N（3，4），若ξ＝2η+1，则D（η）＝1 C．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2也变成原来的2倍（χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+bD．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数；独立性检验；命题的真假判断与应用；随机事件．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BCD【分析】根据统计的有关定义，公式逐项判断即可．【解答】解：A选项，样本点（xi，yi）都在直线上，这组样本数据的样本相关系数为1，故A错误；B选项，因为ξ～N（3，4），所以D（ξ）＝4，又ξ＝2n+1，所以D（ξ）＝4D（η）＝4，∴D（η）＝1，故B正确；C选项，由χ2公式可知，χ2也变成原来的2倍，故C正确；D选项，由于事件A的发生不影响事件B的发生，故A，B互为独立事件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查统计的有关知识点，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．随机事件【知识点的认识】1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）2．特点：（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．3．注意：（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．3．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=12，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．4．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．5．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)6．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．7．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．8．n重伯努利试验与二项分布【知识点的认识】1、二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p【解题方法点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【命题方向】典例1：如果ζ～B（100，12），当P（ζ＝k）取得最大值时，k＝50解：∵ζ～B（100，12当P(ξ=k)=C由组合数知，当k＝50时取到最大值．故答案为：50．典例2：一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p=C（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p=2∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为C3（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）=C31p(1-p)2=3p3﹣6p2+3p∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，13）上单调递增，在（13，∴p=13时，f（p）取得最大值，即∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．9．二项分布的均值（数学期望）与方差【知识点的认识】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（数学期望）：E(X)=n×p，其中n为试验次数，﹣方差：D(X)=n×【解题方法点拨】﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．【命题方向】﹣重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题．10．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12π（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πeA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有x1+典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，19），问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．11．分层随机抽样【知识点的认识】1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．2．三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，54×16故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35B.25C.15D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为7715故选C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．12．用样本估计总体的离散程度参数【知识点的认识】用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫