九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．（3分）已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A． B． C． D．3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（）A．大于4的点数 B．小于4的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数4．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y15．（3分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上 B．当a＜1时，点B在圆A内 C．当a＜﹣1时，点B在圆A外 D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内6．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50° B．70° C．110° D．120°7．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（）A．5 B．π C． D．π8．（3分）一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（）A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0 C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜09．（3分）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（）A． B． C． D．10．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关 C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在题中的横线上）11．（4分）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为．12．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝．13．（4分）已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．14．（4分）如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．（4分）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在一直线上，BC＝2，若点E是BD的中点，则AB的长度为．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝．三、解答题：(本大题共7小题，共66分）17．（6分）已知x：y＝2：3，求：（1）的值；（2）若x+y＝15，求x，y的值．18．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c过（1，0），（0，﹣3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若﹣1≤x≤1，求y的取值范围．19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球；①判断摸到什么颜色的球可能性最大？②求摸到黄颜色的球的概率；（2）如果把白球拿出来，将剩下的5个球摇匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个都是黄颜色球的概率．20．（10分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．21．（10分）如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，AH⊥BC于H．（1）若，求证：CH＝HO；（2）若BC＝10，AC＝6；①求AH的长；②若DB∥OA，求DB的长．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+c，y2＝﹣x2+bx﹣c（b，c是实数）．（1）若函数y1的图象经过点（r，g），求证函数y2的图象经过点（﹣r，﹣g）．（2）设函数y1和函数y2的最值分别为m和n；①若函数y1的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到函数y3，若函数y3的最值为k，若k＝n，求b，c的值．②若m＝n且函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点，求q的值．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．（1）求证：∠CGF＝∠AGD．（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．①求CD的长．②若，求△CDG与△ADG的面积之比．

2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．（3分）已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的性质即可得出结论．【解答】解：A．由＝可得，7x＝3y，不合题意；B．由＝可得，3x＝7y，符合题意；C．由＝可得，7x＝3y，不合题意；D．由＝可得，7x＝3y，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．2．（3分）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．【解答】解：∵∠FEG＝50°，若P点圆心，∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（）A．大于4的点数 B．小于4的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数【分析】求出各个选项概率即可判断【解答】解：A、P1＝＝；B、P2＝＝；C、P3＝；D、P4＝＝．骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．故选：D．【点评】本题考查可能性的大小，解题的关键是理解题意，掌握概率公式．4．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣1，∴抛物线的对称轴为y轴，∵A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，∵抛物线开口向上，∴y2＜y1＜y3．故选：C．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．5．（3分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上 B．当a＜1时，点B在圆A内 C．当a＜﹣1时，点B在圆A外 D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内【分析】画出图形，根据A的坐标和圆A的半径求出圆与x轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案．【解答】解：如图：∵A（1，0），⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当d＝r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，当d＜r时，点在圆内．6．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50° B．70° C．110° D．120°【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．7．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（）A．5 B．π C． D．π【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∴的长＝＝π，故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC＝60°．8．（3分）一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（）A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0 C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜0【分析】将题设的3个条件代入抛物线表达式，即可求解．【解答】解：由题意得：，解得，由c﹣4a＜0得，﹣5a﹣4a＜0，故a＞0，则b＜0，c＜0，故选：B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．9．（3分）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（）A． B． C． D．【分析】如图作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F．解直角三角形求出OH，利用全等三角形的性质证明OF＝OH，再利用三角形的中位线定理求出BC即可．【解答】解：如图，作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵＝，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝20，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AM＝2，BM＝4，∵•AM•BM＝•AB•MH，∴MH＝，∴OH＝，∵，∴OM⊥AC，∴AF＝FC，∵OA＝OB，∴BC＝2OF，∵∠OHM＝∠OFA＝90°，∠AOF＝∠MOH，OA＝OM，∴△OAF≌△OMH（AAS），∴OF＝OH＝，∴BC＝2OF＝．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关 C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，当x＝﹣＜0，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，当x＝﹣＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，当0≤﹣＜此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝7﹣p﹣，＜﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣，x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣∵w＝s﹣t，∴w的值与p有关，但与q无关，故选：D．【点评】本题考查了考查了二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在题中的横线上）11．（4分）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为4．【分析】直接把x的值代入进而求出答案．【解答】解：当x＝0时，函数y＝2x2+4＝0+4＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确代入x的值是解题关键．12．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝1.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，求出DF，再求出EF即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵，DE＝2，∴＝，解得：DF＝3.5，∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5，故答案为：1.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．13．（4分）已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为﹣1．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．14．（4分）如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为π﹣．（结果保留π）【分析】连接AD，AE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到∠BAD＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB是圆的直径，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接AD，AE，∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴弧BE所对的圆心角为90°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（4分）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在一直线上，BC＝2，若点E是BD的中点，则AB的长度为．【分析】过点A作AH⊥BE于H，由平行四边形的性质和旋转的性质可证BD＝BC＝2，由等腰三角形的性质可得EH＝BH＝，由勾股定理可求AH的长，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BE于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB，AD＝BC＝2，AB∥CD，∴∠ABE＝∠BDC，∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，∴AB＝AE，∠GAE＝∠DAB，AG∥EF，∴∠AEB＝∠ABE，∠GAE＝∠AEB，∴∠DAB＝∠GAE＝∠AEB＝∠ABE＝∠BDC，∴∠C＝∠BDC，∴BD＝CB＝2，∵点E是BD的中点，∴DE＝BE＝1，∵AB＝AE，AH⊥BE，∴BH＝EH＝，∴DH＝DE+EH＝，∴AH＝＝＝，∴AB＝＝＝，方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB，AD＝BC＝2，AB∥CD，∴∠ABE＝∠BDC，∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，∴AB＝AE，∠GAE＝∠DAB，AG∥EF，∴∠AEB＝∠ABE，∠GAE＝∠AEB，∴∠DAB＝∠GAE＝∠AEB＝∠ABE＝∠BDC，∴∠C＝∠BDC，∴BD＝CB＝2，∵点E是BD的中点，∴DE＝BE＝1，∵∠AEB＝∠ABE＝∠BDC＝∠C，∴△ABE∽△BDC，∴，∴AB2＝1×2，∴AB＝故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明BC＝BD是本题的关键．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝．【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而可以得到ab的值．【解答】解：依题意知a＜0，，故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，∴﹣a﹣1＜0，∴a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0，∴﹣1＜2a+1＜1，又∵a﹣b为整数，∴2a+1＝0，解得，a＝﹣，∴b＝﹣a﹣1＝﹣（﹣）﹣1＝﹣，∴ab＝（﹣）×（﹣）＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等．三、解答题：(本大题共7小题，共66分）17．（6分）已知x：y＝2：3，求：（1）的值；（2）若x+y＝15，求x，y的值．【分析】（1）利用已知表示出x，y的值，进而求出答案；（2）直接利用已知x+y＝15，进而得出答案．【解答】解：由x：y＝2：3，设x＝2k，y＝3k；（1）＝＝﹣2；（2）∵x+y＝15，∴2k+3k＝15，解得：k＝3，∴x＝6，y＝9．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．18．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c过（1，0），（0，﹣3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若﹣1≤x≤1，求y的取值范围．【分析】（1）将A与C坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把二次函数解析式化成顶点式，得到对称轴和顶点，然后求得x＝1时的函数值，根据二次函数的性质即可求得﹣1≤x≤1时，y的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c过（1，0），（0，﹣3）．∴，解得：，则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4），把x＝1代入y＝x2+2x﹣3得，y＝0，故当﹣1≤x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球；①判断摸到什么颜色的球可能性最大？②求摸到黄颜色的球的概率；（2）如果把白球拿出来，将剩下的5个球摇匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个都是黄颜色球的概率．【分析】（1）①那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；②用黄球的个数除以总球的个数即可得出答案；（2）先画出树状图，再根据概率公式可得出答案．【解答】解：（1）①∵不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，红球最多，∴摸到红球的可能性最大；②摸到黄颜色的球的概率是＝；（2）画树状图如图：共有20个等可能的结果，摸到2个都是黄颜色球的结果有2个，∴摸到2个都是黄颜色球的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．【分析】（1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再由勾股定理及正方形的面积公式可得S关于m和n的函数关系式，然后将n＝m﹣2代入化简即可；（2）将（1）中的函数关系式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质及m的取值范围可得答案．【解答】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，∴直角三角形较长边长为m+n，由勾股定理及正方形的面积公式可知：S＝（m+n）2+n2，∵n＝m﹣2，∴S＝（m+m﹣2）2+（m﹣2）2＝4m2﹣8m+4+m2﹣4m+4＝5m2﹣12m+8，∵n＝m﹣2＞0，∴m＞2．∴S关于m的函数关系式为S＝5m2﹣12m+8（m＞2）；（2）由（1）知，S＝5m2﹣12m+8＝5（m﹣1.2）2+0.8，∵S关于m的二次函数的对称轴为直线m＝1.2，二次项系数为正，∴当2＜m≤3时，S随m的增大而增大，∴当m＝3时，S最大．∴当大正方形面积最大时，m＝3．【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．21．（10分）如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，AH⊥BC于H．（1）若，求证：CH＝HO；（2）若BC＝10，AC＝6；①求AH的长；②若DB∥OA，求DB的长．【分析】（1）易求得△AOC是等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）①根据圆周角定理和勾股定理即可求得AB，然后根据三角形面积公式即可求得AH；②连接CD，因为DB∥AO，则∠AOC＝∠DBC，因此△AHO相似于△CDB，从而求出CD，再求出DB．【解答】（1）证明：∵，∴∠AOB＝2∠AOC，∴∠AOC＝×180°＝60°，∵AO＝CO，∴△AOC是等边三角形，∵AH⊥BC于H，∴CH＝HO；（2）解：①∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝＝＝8，∵BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝＝4.8；②连接CD交OA于E，则∠BDC＝90°＝∠AHO，∵DB∥OA，∴∠CBD＝∠AOC，∴△AHO∽△CDB，∴，∴，∴CD＝9.6，根据勾股定理得，DB＝＝＝2.8．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理三角形面积公式的应用，平行线的性质，含30°角直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+c，y2＝﹣x2+bx﹣c（b，c是实数）．（1）若函数y1的图象经过点（r，g），求证函数y2的图象经过点（﹣r，﹣g）．（2）设函数y1和函数y2的最值分别为m和n；①若函数y1的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到函数y3，若函数y3的最值为k，若k＝n，求b，c的值．②若m＝n且函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点，求q的值．【分析】（1）函数y1的图象经过点（r，g），可得g＝r2+br+c，推出﹣g＝﹣r2﹣br﹣c，把x＝﹣r代入y2＝﹣x2+bx﹣c得，y2＝﹣r2﹣br﹣c＝﹣g，可得结论．（2）①先求得y1的顶点为（﹣，），y2的顶点为（，﹣），根据平移的规律得到y3的顶点为（﹣+2，﹣2），由题意得到﹣+2＝，﹣2＝﹣，解得b＝2，c＝2；②由题意得m＝，n＝，由m＝n，即可求得c＝，得到y1＝x2+bx+＝（x+）2，根据函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点的纵坐标相同，得到﹣＝＝p+3，从而得到y1＝（x﹣p﹣3）2，把点（p，q）代入即可求得q的值．【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（r，g），∴g＝r2+br+c，∴﹣g