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极限的运算法则证设且于是

定理2.6两个无穷小之和为无穷小.即有

定理2.7

无穷小与有界函数的乘积为无穷小.定理2.7其实是比较法的直接推论.都是无穷小.例如,当例2.13求解由有界,有练习计算解由有界,有几个极限不存在的例子:因因定理2.8(极限四则运算法则)

则有

证(2)设

故由

再由定理2.6

是无穷小.

所以是无穷小.

特别地

即:常数因子可以提到极限记号外面.有,都是无穷小,且在附近有界.有利用极限的运算法则及我们可以求解一些简单的极限问题:

例如,对任意的多项式函数注意:(1)和(2)可以推广到有限多个函数.

例2.14

求

解由函数商的极限法则,有一般地,设

则商的法则不能使用.则当时,有解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得

练习求

解消去零因子法时,分子、分母的极限都是零.例2.15

求

解时,分子、分母的极限都是无穷大,例2.16

求

分子、分母同时除以

x的最高次幂.一般地,当为非负整数时,有解根式有理化

原式例2.17

求

解原式练习求

解先作恒等变形,使和式的项数固定,再求极限.和式的项数随着n在变化,原式不能用运算法则.方法:练习求

定理2.9(复合函数的极限运算法则)则根据复合函数的极限法则,为了求

如果

设复合函数在的某个空心邻域内有定义.

再求令(称为变量代换),先求得

例2.18

求解由有如果定理2.10(函数极限与数列极限之间的关系)则

且

例2.19证明不存在.

证令则

令由定理2.10,有则

如果

存在,设

矛盾。

由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序,

在数列中任意得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列).

设在数列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子数列

第三次在后抽取注意:

严格单调递增，显然有

无休止地如果数列收敛于A,

则它的任意子数列定理2.11(收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于A.有因例2.11考察数列的敛散性.

解由所以数列

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