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微分中值定理及其应用定理4.1(费马引理)

费马引理与函数最值

设在点

的某邻域内有定义，并且在处可导,如果对于任意证不妨设有所以,由函数在可导及极限的保号性,有推论4.1(最值的必要条件)的点称为函数的驻点.

设如果存在,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要条件,最大、最小值点只可能是驻点、不可导点或区间的端点.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标是最小值;比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就种思想求应用问题的最值.函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这例4.1

求函数在[-1,4]上的最大值解计算与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值解驻点:可能是不可导点.与最小值.练习

求函数在的最大值比较得,最大值最小值例4.2欲建造一个粮仓,粮仓内下部为圆柱形,顶部解则建造粮仓所需材料的总价为为半球形.设用于建造圆柱形部分的材料的单价为由题意有用于建造半球形部分的材料单价为如果粮食只能储存在圆柱形部分,且规定粮仓储藏量为问如何选取圆柱形的尺寸才能使造价最低？故代入上式得求导得令得驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,唯一驻点,即当时,

造价最低.例4.3在一个半径为R的广场中心安装一灯塔,解则问灯塔多高时才能使广场周围的路上最亮？由物理知识有,照度.

求导得

所求问题的最大值一定存在,故驻点就是问题的最大值点,当灯塔的高度为时,

能使广场周围的路上最亮.令得唯一驻点例4.4铁路线上段的距离为工厂距处为垂直于(见图).为了运输需要,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路上每公里货运的费用与公路上每公里的费用之比为3:5.为了使货物从供应站运到工厂的运费最少,问点应选在何处？则解则设铁路上每公里货运的费用为,公路上每公里的费用,从点到点的总运费为,故

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