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定积分在物理中的应用

6.6.1变力沿直线所做的功由物理学知道,如果物体在作直线运动的且这力的方向与物体的运动方向一致.那么,在如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,过程中有一个不变的力F作用在这物体上,物体移动了距离

s时,力F对物体所做的功为就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.例1已知距离为r的两个电荷间的作用力的大小为放在

r

轴上坐标原点O处,它产生一个电场．把一个带+q电量的点电荷场力将单位正电荷从

r=a移动到r=b处时,电场力对它所做的功．求电解功元素所求功为取

r

为积分变量，任取解建立坐标系如图例2一圆柱形蓄水池高为5米,底半径3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需做多少功?取

x为积分变量,这一薄层水的重力为功的元素为所求功为6.6.2液体的静压力由物理学知道,在水深为h处的压强为

如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强

p不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想．这里

是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为解建立坐标系.oxyC(0,5)D(20,3)直线CD的方程为压力元素例3某水库的闸门是等腰梯形,上底长为10m,好位于水平面上,求闸门所受的水压力.下底长为6m,高为20m,闸门与水面垂直,上底恰闸门所受的压力为

解取液面上的某点为坐标原点,

建立坐标系.取

x为积分变量,例4边长为a和b的矩形薄板对应薄板上的小矩形的长为a,的密度为求薄板的一侧所受的压力.置于液体中,长边平行于液面位于深h处,设液体与液面成角yOx宽为

小矩形的面积为小矩形一侧所受压力的元素为薄板所受压力为相距为r的引力的方向沿着两质点间的连线方向.两质点间的引力大小为

但是若要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点间的距离是变化的,

简单的情况下,可以用定积分来计算.

且各点对该质点的引力方向也是变化的,6.6.3引力由物理学可知,质量分别为

用上述公式来计算.因此不能解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点,小段的质量为例5有一长度为l,线密度为r的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引

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