初中数学动点问题【合集】

专题1动点在等腰三角形中的分类讨论（基础篇）【专题说明】点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍。比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形。这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样？又有什么规律可遵循？下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题。既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心。等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。等腰三角形的判定：等角对等边。而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；②角的不确定性。当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法！

【精典例题】1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AAQCDBP【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．2、已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【解析】：（1）过点作，垂足为．则，当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，CPQBCPQBAMNCPQBAMN四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．，（2）当时，当时，当时，【点评】此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。CCPQBAMN3、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时．所以．②如图6，当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6

4、如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1图2思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3图4图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝，△ACM是等边三角形．又因为AE＝，所以FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6图7如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8图9图10图11

5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．图2当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．（3）点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此时点M的坐标为(1,)或(1,)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5

专题2动点在等腰三角形中的分类讨论（提高篇）1、如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1图2思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3图4图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝，△ACM是等边三角形．又因为AE＝，所以FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6图7如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8图9图10图11

2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．已知A(0,2)，所以＞．而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．图4图5考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．已知B(0,1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．

3、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时．所以．②如图6，当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．

4、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．图2所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．（3）点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此时点M的坐标为(1,)或(1,)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5

5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．求点A和点B的坐标图1（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组得所以点A的坐标是(3，4)．令，得．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，为定值，，．如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．专题3动点在四边形中的分类讨论（基础篇）【专题说明】动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。一、解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。

【精典例题】1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．AABDCPQMN【解析】（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，（舍去）．因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意．②当点Q与点M重合时，．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由，解得．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由，解得．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即．解得．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形2、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因为PE//BC，所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）或．考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．，，，．如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．图2图3

3、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1图2思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．图图3过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．在Rt△APE中，，所以．当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运动速度为．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．图4图5图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

4、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4)，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1备用图思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x,ax2－2ax－3a)，F(x,ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此时P．图1图2图3考点伸展第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．

5、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A(－3,0)、B(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．图2图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得点D的横坐标为．将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．图4

专题4动点在四边形中的分类讨论（提高篇）1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4)，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1备用图思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x,ax2－2ax－3a)，F(x,ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此时P．图1图2图3

2、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A(－3,0)、B(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．图2图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得点D的横坐标为．将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．图43、如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1思路点拨1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A(0,1)、B(4,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以抛物线的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，，图2所以．所以，．在Rt△ABH中，．（3）直线AB的解析式为．设点M的坐标为，点N的坐标为，那么．当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．图3图4

4、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1图2思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图图3在Rt△APE中，，所以．当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运动速度为．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．图4图5图6

5、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因为PE//BC，所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）或．6、已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1图1思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．图2图3

7、将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．3．根据矩形的对角线相等列方程．满分解答（1）抛物线c2的表达式为．（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．图2图3图4②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．

专题5动点在梯形中的分类讨论（基础篇）【精典例题】1、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？图（15）图（15）CcDcAcBcQcPcEc【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．即解得即秒时，与相互平分．（3）①当在上，即时，作于，则即=当秒时，有最大值为②当在上，即时，=易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为2、在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．【解析】：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（图①）（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形∵∴∴∴由题意知，当、运动到秒时，∵∴又∴∴即解得，AADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴②当时，如图④，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（图⑤）（图⑤）ADCBHNMF③当时，如图⑤，过作于点.解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴综上所述，当、或时，为等腰三角形3、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1图1满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以抛物线的解析式为．（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．图2图3如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以点E的坐标为，或．（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF//AC时，由，得．解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．②如图5，当CF//AD时，由，得．解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．图4图5

4、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．图2图3（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．因此．所以．所以．于是．因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．

5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1图2思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．满分解答（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得解得所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．图3图4图5（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．此时．

专题6动点在梯形中的分类讨论（提高篇）1、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1图1思路点拨1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．2．因为∠CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况．满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以抛物线的解析式为．（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．图2图3如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以点E的坐标为，或．（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF//AC时，由，得．解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．②如图5，当CF//AD时，由，得．解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．图4图5

2、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．图1思路点拨1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．2．AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．满分解答（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°，点A的坐标为(－2,0)．因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD＝4．所以点B的坐标为(4,6)．（2）将A(－2,0)、B(4,6)代入，得解得b＝2，c＝6．所以抛物线的解析式为．（3）由，得抛物线的对称轴为直线x＝2，点C的坐标为(0,6)．如果AQ＝CP，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ//CP，此时点P的坐标为(2,6)．②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上．设点F的坐标为(x,0)，根据FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以OF＝8，HF＝6．因此．此时点P的坐标为．图2图33、已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．图1图1

思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此点E的坐标为（3，6）．所以．图2图34、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．图2图3（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．因此．所以．所以．于是．因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．

5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1图2思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．满分解答（1）设抛物线的解析