人教版高一上学期数学(必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题含答案

第第页人教版高一上学期数学(必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题含答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：

(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型1对函数概念的理解】【方法点拨】定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函数的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【变式1-3】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（）A． B． C． D．【题型2同一函数的判断】【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．【例2】（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2−1x−1，D．y1=【变式2-1】（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【变式2-2】（2021秋•黑龙江期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【变式2-3】（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与y=x2x+1 B．y＝x3与y＝（x﹣C．y＝|x|与y=(x)2 D．y＝x【题型3函数的定义域问题】【方法点拨】(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例3】（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【变式3-1】（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【变式3-2】（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x−2x中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【变式3-3】（2022春•阎良区校级期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【题型4函数的值域问题】【方法点拨】(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；(2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例4】（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−A．(−∞，−158] B．(−∞，−15【变式4-1】（2021秋•宁乡市期末）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=x2−2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【变式4-2】（2022春•水富市校级期中）若函数f(x)=x−2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数A．(14，4] B．[14，4]【变式4-3】（2022春•天河区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数f(x)=12x2−3x+4(1＜x＜4)，则函数A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【题型5求函数值或由函数值求参】【方法点拨】(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例5】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【变式5-1】（2022春•祥云县期末）已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）设函数f(x)=12x−1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【变式5-3】（2021秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）=x，(x≥0)x2，(xA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【题型6函数的表示法】【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例6】（2021•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点【变式6-1】（2021秋•城关区校级期中）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能【变式6-2】（2021秋•钦州月考）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15 B．10 C．9 D．6【变式6-3】（2022秋•青羊区校级月考）某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案【题型1曲线方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线C:x24a+y23a+2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可【解答过程】若曲线C是椭圆，则有：4a>03a+2>0解得：a>0，且a≠2故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C.【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“1<m<5”是“方程x2m−1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据椭圆的标准方程可得−1>0,5−m>0,m−1≠5−m,，解不等式组得出1<m<5且【解答过程】若方程表示椭圆，则有−1>0,因此1<m<5且m≠3，故“1<m<5”是“方程x2故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程x225−m+y2m+9=1A．−9<m<25 B．−8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【解题思路】由题知m+9>25−m>0，再解不等式即可.【解答过程】解：∵方程x225−m+∴m+9>25−m>0，解得：8<m<25．故选：D．【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程x225−k+y2k−9=1A．9,25 B．−∞,9∪25,+【解题思路】根据题意可得k−9>25−k>0，解之即可得解.【解答过程】解：因为方程x225−k+所以k−9>25−k>0，解得17<k<25，所以实数k的取值范围为17,25.故选：C.【题型2椭圆的定义】【方法点拨】利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，FA．13 B．1 C．7 D．5【解题思路】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到PF【解答过程】椭圆方程为：x24+故PF故选：D.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，FA．32 B．2 C．56【解题思路】先利用椭圆得到a=4，根据椭圆的定义可得到PF1+PF2=8【解答过程】解：由椭圆C:x216+y因为P为椭圆C:x216因为PF1−PF2=故选：B．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【解题思路】根据椭圆方程求得a=3，再由椭圆的定义可得|MF【解答过程】解：由椭圆C:x29+y因为点M在C上，所以|MF所以|MF当且仅当|MF1|=|M故选：C．【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【解题思路】根据椭圆方程求得F1F2=27，由椭圆的定义，得MF1+M【解答过程】解：由题意，椭圆方程x29+所以焦点F1又由椭圆的定义，可得MF1+MF在△F1M所以(27)2又由∠F1M故选:C．【题型3椭圆方程的求解】 【方法点拨】(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【解题思路】首先设MF1=m，MF2【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，故选：C.【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是−22,0和22,0，且椭圆经过点A．x216+C．x224+【解题思路】根据椭圆的焦点可求c，根据经过点4,0，可得a，进而可求解b，即可得椭圆方程.【解答过程】因为焦点坐标为−22,0和22,0，所以c=22.椭圆经过点4,0，且焦点在x轴上，所以a=4故选:A.【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-5），P为C上一点，满足|OP|=|OF|,|PF|=4则椭圆C的标准方程为（）A．y215+C．y212+【解题思路】设出点P(m,n),根据题意列出等式即可求出点P.再将其带入椭圆即可求出答案.【解答过程】由题意可知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆为y2由题意知：设P(m,n).则{|OP|将P(m,n)代入椭圆：{所以椭圆C的标准方程为y2故选:B.【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【解题思路】由椭圆定义求得a，已知焦点坐标得c，再求出b可得椭圆方程．【解答过程】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴b=a∴椭圆的方程为x2故选：A．【题型4动点轨迹方程的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【解题思路】用定义法求出轨迹方程，把上下两个顶点去掉.【解答过程】解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为y24+故选：B.【变式4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点Mx,y始终满足关系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【解题思路】由等式x2【解答过程】因动点Mx,y满足关系式x则该等式表示点Mx,y到两个定点F1(0,−2),即动点M的轨迹是以F1,F2为焦点，长轴长2a=8的椭圆，于是短半轴长所以动点M的轨迹方程为x2故选：B.【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为x−12+y2=16，B−1,0，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线A．x216+y29=1 B．【解题思路】由椭圆定义确定P点轨迹是椭圆，然后求出a,b，可得其方程．【解答过程】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以PA=所以PB+PC=所以P点轨迹是以B,C为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为x22a=4，a=2，c=1，则b=a所以P点轨迹方程是x2故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的周长等于10，BC=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（

A．x29+C．x236+【解题思路】根据椭圆的定义进行求解即可.【解答过程】因为△ABC的周长等于10，BC=4所以AB+因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且A不在直线BC上，因此有2a=6,2c=4⇒a=3,c=2⇒b所以顶点A的轨迹方程可以是x2故选：A.【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点拨】①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点P在椭圆x216+y24=1上，F1与A．43 B．63 C．83【解题思路】由椭圆的定义结合余弦定理解得PF【解答过程】由PF1+PFS△故选：A.【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：x225+y216=1的右焦点，A，B为A．4 B．8 C．10 D．20【解题思路】设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得：AF+BF+AB=2a−【解答过程】解：设F1为椭圆C则由椭圆的定义可得：AF=4a+AB当A,B,F1共线时，当A,B,F1不共线时，所以△ABF周长的最大值为20.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过FA．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】运用椭圆的定义进行求解即可.【解答过程】由x2因为M，N是椭圆的上的点，F1、F所以MF因此△F1MN故选：D.【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设P为椭圆x225+y216=1上一点，FA．△PF1F2为锐角三角形C．△PF1F2为直角三角形 D．P，【解题思路】根据椭圆方程求出a