人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题及答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题及答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【题型1曲线方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线C:x24a+y23a+2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“1<m<5”是“方程x2m−1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程x225−m+y2m+9=1A．−9<m<25 B．−8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程x225−k+y2k−9=1A．9,25 B．−∞,9∪25,+【题型2椭圆的定义】【方法点拨】利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，FA．13 B．1 C．7 D．5【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，FA．32 B．2 C．56【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【题型3椭圆方程的求解】 【方法点拨】(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是−22,0和22,0，且椭圆经过点A．x216+C．x224+【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-5），P为C上一点，满足|OP|=|OF|,|PF|=4则椭圆C的标准方程为（）A．y215+C．y212+【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【题型4动点轨迹方程的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【变式4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点Mx,y始终满足关系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为x−12+y2=16，B−1,0，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线A．x216+y29=1 B．【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的周长等于10，BC=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（

A．x29+C．x236+【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点拨】①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点P在椭圆x216+y24=1上，F1与A．43 B．63 C．83【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：x225+y216=1的右焦点，A，B为A．4 B．8 C．10 D．20【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过FA．2 B．4 C．6 D．8【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设P为椭圆x225+y216=1上一点，FA．△PF1F2为锐角三角形C．△PF1F2为直角三角形 D．P，【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点A．3 B．5 C．41 D．13【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）F1，F2分别为椭圆x24+y23=1的左､A．4−102 B．2−102 C．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(x+3)A．4 B．5 C．6 D．7【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知A1,1，F1是椭圆5x2+9y2A．6+2；6−2 B．4+2；4−2 C．6+22；6−2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·浙江·高二期末）已知椭圆x225+y2m2A．3 B．4 C．9 D．21【解题思路】由a2【解答过程】由题知c=4，a所以m2=25−42=9故选：A.2．（3分）（2021·北京高二期中）设p:mx2+ny2=1表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【解答过程】若mx2+ny2=1表示的是椭圆，则反例：当m=n=1时，mx2+n即p是q成立的充分不必要条件，故选：A.3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知F1、F2是椭圆C:x216+A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为4【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得PF【解答过程】由题意知，a=4，则PF由基本不等式，知PF（当且仅当PF1=故选：A．4．（3分）（2021·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段A．x24+y2=1 B．x【解题思路】利用相关点法即可求解.【解答过程】设线段MN的中点Px,y，Mx所以x=x0y=又点M在圆O:x则x2+2y故选：A.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【解题思路】首先设MF1=m，MF2【解答过程】设MF1=m，MF2=n，因为MF1⊥MF2，MF1⋅MF2=8，故选：C.6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）F是椭圆x29+y25=1的左焦点，PA．9−2 B．3+2 C．6−2【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.【解答过程】椭圆x29+如图，设椭圆的右焦点为F'则PF+∴PA+PF由图形知，当P在直线AF'上时，当P不在直线AF根据三角形的两边之差小于第三边有，PA－∴当P在F'A的延长线上时，PA∴PA+PF故选：C．7．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2A．8 B．82 C．16 D．【解题思路】求出PF2，可知△PF1F2为等腰三角形，取PF【解答过程】在椭圆x225+y216=1中，a=5由椭圆的定义可得PF取PF2的中点M，因为PF由勾股定理可得MF所以，S△P故选：B.8．（3分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左､右焦点分别为F1，F2A．x212+y29=1 B．【解题思路】由离心率的值，可得a,c的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由∠F1PF2=π3及余弦定理可得【解答过程】由离心率e=12，得ca因为△F1PF2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为r由椭圆的定义可知PF在△F1PF2即PF∴PF∴3PF1所以S△而S△所以可得34a2=3由a2=b所以该椭圆的方程为x2故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（

）A．x28+C．x26+【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出a,b，再根据关系逐一判断即可.【解答过程】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，b=c，则a2A，a2=8，b2B，a2=5，b2C，a2=6，b2D，a2=9，b2故选：AC.10．（4分）（2022·湖北·高三开学考试）对于曲线C:x24−kA．曲线C不可能是椭圆B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件【解题思路】根据曲线C的形状求出参数k的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【解答过程】对于A选项，若曲线C为椭圆，则4−k>0k−1>04−k≠k−1，解得1<k<4且对于B选项，因为k1<k<4k1<k<2.5或所以，“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k−1>4−k4−k>0，解得2.5<k<4又因为k2.5<k<4k所以，“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则k−1<4−kk−1>0，解得1<k<2.5所以，“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件，D对.故选：CD.11．（4分）（2022·江苏·高二）已知P是左右焦点分别为F1，F2的x212+A．MP的最大值为5 B．PC．存在点P，使∠F1PF2【解题思路】设P(x0,y0)，则x02=12−3y02，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据P为短轴端点时，【解答过程】解：对于A选项，设P(x0,y0所以MP=x0又−2≤y0≤2，所以当y对于B选项，由椭圆定义，PF对于C选项，当P为短轴端点时，PO=2，OF2=22，tan对于D选项，PF1−PF2≤F1F2故选：BD.12．（4分）（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2A．存在P使得∠F1PF2C．PF1⊥PF2，则△F1P【解题思路】设椭圆C短轴顶点为D,E根据DF1⋅DF2<0得∠F1PF【解答过程】解：设椭圆C短轴顶点为D,E，由题知椭圆C：x225+所以，F1−4,0，F24,0，对于A选项，由于DF1=−4,−3,DF2=对于B选项，记|PF1|=m,|P由余弦定理：cos∠≥18m+n2对于C选项，由于PF1⊥PF2对于D选项，设Px,yx≠±5,A−5,0,B5,0，则故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+【解题思路】根据两点间距离公式，即可判断点M轨迹满足椭圆的定义.【解答过程】x2+y+32+x2+y−32=43可看作M（x，y）到故答案为：椭圆.14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.【解答过程】由椭圆x24+由椭圆的定义可得AF所以△ABF2的周长故答案为：8.15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(1,3)，F是椭圆C：x29+y25=1【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.【解答过程】设椭圆C的右焦点为F'，依题意，F'(2,0)而||PA|−|PF'||≤|AF'因此，|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|−2=4，当且仅当点P是线段F所以|PA|+|PF|的最小值为4.故答案为：4.16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(−25,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP=OF，PF=4，则椭圆C的标准方程为x【解题思路】引入右焦点为F'，根据平面几何性质得PF⊥PF'，由勾股定理求得PF'【解答过程】设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b由已知，得c=25．又OP=OF=OF'在Rt△FPF'由椭圆的定义，可知2a=PF+PF'=4+8=12所以b2故椭圆C的标准方程为x2故答案为：x2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1【解题思路】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1【解答过程】解：由已知a=10,b=6，c=100−36=8，F1PF1+所以PF1=15因此点P在分别以F1、F因此(x+8)2+y所以点P的坐标为25418．（6分）（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点Q22,1(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P13,【解题思路】（1）法一：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，根据与椭圆x29+y（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1（a1>b1【解答过程】（1）解：方法一：设所求椭圆的标准方程为x2a2由x29+y24又点Q22,1在所求椭圆上，所以由①②得a2=10，即所求椭圆的标准方程是x2方法二：设所求椭圆的方程为x2因为点Q2所以89+λ+1所以所求椭圆的标准方程为x2（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a1依题意有132a由a1当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程x2a2依题意有132a所以所求椭圆的标准方程为y2方法二：设椭圆的方程为mx2+y2=1（依题意有19m+1所以所求椭圆的方程为5x2+419．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆x225+y2(1)若∠F1P(2)求PF【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及a,b,c的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.【解答过程】（1）在椭圆x225+y29=1则PF1+在Rt△F1PF即100−2PF1则△F1P（2）设PF1=m，PF2所以10≥2mn，即mn≤25，当且仅当m＝n所以PF20．（8分）（2021·吉林·高二阶段练习（理