2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：圆（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：圆（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，则图中阴影部分的面积为cm2．（结果保留根号和π）．2．（2024•哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝度．3．（2024•岷县校级三模）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，则CB＝．4．（2024•广元）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为．5．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米．6．（2024•玉环市二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝4cm，锯道AB＝16cm，则这根圆柱形木材的半径是cm．7．（2024•通辽二模）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为．8．（2024•章丘区二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB进行折叠，使点O落在弧AB的中点C处．若折痕DE=22，则图中阴影部分的面积为9．（2024•宿城区一模）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝5，则AD＝．10．（2024•武威二模）如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：圆（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，则图中阴影部分的面积为(-2π+93)cm【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】(-【分析】取BC的中点D，连接AD，根据等边三角形的性质，证明AD⊥BC，由三角函数求出AD，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积；分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，得到3个相同的扇形，根据扇形的面积公式求出一个扇形的面积，从而求出3个扇形的总面积，根据“阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣3个扇形的面积”计算即可．【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD．∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=AB⋅∴S△ABC分别以点A、B、C为圆心，以2cm为半径画弧，得到3个完全相同的扇形，每个扇形的面积为60360∴3个相同的扇形的总面积为23∴S阴影故答案为：(93【点评】本题考查扇形的面积和等边三角形的性质，掌握扇形的面积公式及等边三角形的性质是解题的关键．2．（2024•哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝50度．【考点】切线的性质；直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】50．【分析】由直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上得AB⊥OA，则∠OAB＝90°，而∠OBA＝40°，根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠AOB的度数，得到问题的答案．【解答】解：∵直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．【点评】此题考查圆的切线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，根据切线的性质定理证明AB⊥OA是解题的关键．3．（2024•岷县校级三模）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，则CB＝3．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】3．【分析】作圆的直径BD，连接CD，由圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，由锐角的正弦即可求出BC的长．【解答】解：作圆的直径BD，连接CD，∴∠BCD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴sinD=BC∵圆O的半径为1，∴BD＝2，∴BC=3故答案为：3．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造直角三角形．4．（2024•广元）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为18°．【考点】正多边形和圆．【专题】三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】18°．【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，∴∠DFG＝90°，∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，∴∠FDG=360°5∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，故答案为：18°．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键．5．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为20米．【考点】垂径定理的应用．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】20．【分析】根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题．【解答】解：由题知，CD垂直平分AB，所以圆弧所在圆的圆心在CD延长线上．连接AO，因为OC垂直平分AB，所以AD=1设⊙O的半径为r米，则OD＝（r﹣4）米．在Rt△AOD中，122+（r﹣4）2＝r2，解得r＝20，所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米．故答案为：20．【点评】本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．6．（2024•玉环市二模）如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝4cm，锯道AB＝16cm，则这根圆柱形木材的半径是10cm．【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】10．【分析】连接OA、OD，由垂径定理得AD＝BD＝8cm，设圆的半径为xcm，再在Rt△OAD中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径．【解答】解：连接OA、OD，如图：由题意得：D为AB的中点，则O、D、C三点共线，OD⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝8设圆的半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm，在Rt△OAD中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10．∴这根圆柱形木材的半径为10cm．故答案为：10．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2024•通辽二模）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为（﹣14，0）．【考点】垂径定理；关于原点对称的点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】（﹣14，0）．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．【解答】解：连接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵点A、点B关于原点O对称，∴AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝6、MQ＝8，∴OM＝10，又∵MP'＝r＝4，∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，∴AB＝2OP'＝2×14＝28；∴A点坐标为（﹣14，0），故答案为：（﹣14，0）．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，得出AB取得最大值时点P的位置是解答本题的关键．8．（2024•章丘区二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB进行折叠，使点O落在弧AB的中点C处．若折痕DE=22，则图中阴影部分的面积为2π﹣4【考点】扇形面积的计算；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】2π﹣4．【分析】根据折叠的性质可得AC=BC，可得OC⊥DE，OD＝DC＝CE＝OE，可得四边形ODCE是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积减去正方形【解答】解：如图所示，连接OC，交DE于点F，∵将扇形AOB折叠，点O落在弧AB的中点处，∴AC=∴∠AOC=∠BOC=12∴∠ODE＝∠OED＝45°，∴OD＝DC＝CE＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴DE=OC=22∴DE2＝2OD2，即(22解得，OD＝2（负值舍去），∴S扇形AOB=∴阴影部分的面积为：2π﹣4，故答案为：2π﹣4．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．9．（2024•宿城区一模）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝5，则AD＝52．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】52．【分析】连接CD、OC，根据弧、弦、圆周角之间的关系证明△ACD是等腰直角三角形，即可求得AD的长．【解答】解：如图，连接CD、OC．∵∠DAC＝∠ABC，∴AC=∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝CD＝5，∴AD=2AC＝52故答案为：52．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，证明△ACD是等腰直角三角形是关键．10．（2024•武威二模）如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝36°．【考点】正多边形和圆；圆周角定理；切线的性质．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接OB，OA多边形是正五边形可求出∠AOB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OAB的度数，利用切线的性质求出∠PAB即可．【解答】解：连接OB，OA，∵多边形ABCDEF是正多边形，∠AOB=360°5∴∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°．∴∠BAP＝90°﹣54°＝36°．故答案为：36°．【点评】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．

考点卡片1．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．2．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．4．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．5．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．6．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点