2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的相似（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的相似（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为．2．（2024•昭阳区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是（写出一个即可）．3．（2024•丰台区一模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线交于点M．若BC＝8，则线段CM的长为．4．（2024•新华区校级模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为．5．（2024•江西模拟）如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C（﹣1，0）为位似中心，位似比为1：2的位似图形，若点B的对应点B′的横坐标为a，则点B的横坐标为．6．（2024•七里河区三模）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是．7．（2024•大连模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得AB＝1.5m，BD＝6.2m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为m．8．（2024•凤城市一模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为．9．（2024•中宁县一模）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为．10．（2024•钱塘区二模）已知ab=23，则代数式a+ba-b的值为

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的相似（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为12．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】12．【分析】根据AB∥CD，得出△AOB和△DOC相似，从而得出ABDC=1【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴S△AOB∴ABDC∵AB＝6，∴6DC∴DC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2024•昭阳区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是∠ACD＝∠B（写出一个即可）．【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】∠ACD＝∠B．【分析】利用相似三角形的判定方法可求解．【解答】解：添加的条件为：∠ACD＝∠B，理由如下：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故答案为：∠ACD＝∠B．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3．（2024•丰台区一模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线交于点M．若BC＝8，则线段CM的长为10．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】10．【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝4，DE∥BC，证明△FBM∽△FDE，根据相似三角形的性质求出BM，进而求出CM．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE=12BC=12×8＝4∴△FBM∽△FDE，∴BMDE=BF解得：BM＝2，∴CM＝BM+BC＝2+8＝10，故答案为：10．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2024•新华区校级模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为2．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【答案】2．【分析】由勾股定理求出AB=42+22=25，DM=22+12=5，求出tan∠ABN＝2，tan∠DCM＝2，得到∠ABN＝∠【解答】解：由勾股定理得：AB=42+22=∵tan∠ABN=ANBN=42=2，∴∠ABN＝∠DCM，∴AB∥DC，∴△ABE∽△CDE，∴△ABE的周长△CDE故答案为：2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由AB∥DC，推出△ABE∽△CDE，掌握相似三角形周长的比等于相似比．5．（2024•江西模拟）如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C（﹣1，0）为位似中心，位似比为1：2的位似图形，若点B的对应点B′的横坐标为a，则点B的横坐标为-a+32【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】推理能力．【答案】-a+3【分析】设B点横坐标为x，过B作BM⊥x轴于点M，过B′作B′N⊥x轴于点N，根据平行线分线段成比例定理得到CMCN=BC【解答】解：设B点横坐标为x，如图，过B作BM⊥x轴于点M，过B′作B′N⊥x轴于点N，∴BM∥B′N，∴△BCM∽△B′CN，∴CMCN∵△ABC和△A′B′C是位似比为1：2的位似图形，即-1-xa+1解得x=-∴B点横坐标为-a+3【点评】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出-1-xa+16．（2024•七里河区三模）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（﹣2，1）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（﹣2，1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′，点B′的坐标是（4，﹣2），∴点B的坐标是（4×（-12），﹣2×（-12）），即（﹣故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（2024•大连模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得AB＝1.5m，BD＝6.2m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为4.6m．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．【答案】4.6．【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求出CH的长即可求解．【解答】解：由题意知，四边形ABDH是矩形，EF∥CH，DH＝AB＝1.5cm，AH＝BD＝620cm，△AFE∽△AHC，∴EFCH∴30CH∴CH＝310cm＝3.1m，∴CD＝CH+DH＝3.1+1.5＝4.6（m），故答案为：4.6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2024•凤城市一模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为103【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】网格型；图形的相似；推理能力．【答案】103【分析】由网格可得BC＝1，AD＝2，AC=32+42=5，BC∥【解答】解：由网格可知：BC＝1，AD＝2，AC=32+42=∴△OBC∽△ODA，∴BCAD∴12∴AO=10故答案为：103【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△OBC∽△ODA．9．（2024•中宁县一模）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为（25-2）【考点】黄金分割．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为4cm，∴APAB∴AP=5-12×4＝（25故答案为：（25-2【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．10．（2024•钱塘区二模）已知ab=23，则代数式a+ba-b的值为【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用设k法进行计算，即可解答．【解答】解：∵ab∴设a＝2k，则b＝3k，∴a+ba-b=故答案为：﹣5．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=124．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则②合比性质．若ab=c③分比性质．若ab=c④合分比性质．若ab=c⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…5．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5-12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5-16．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．7．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考