2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•汇川区三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于点E．（1）写出图中一个与∠ACD相等的角；（2）试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）若⊙O的半径为23，∠ABC＝60°，求AC2．（2024•汝南县一模）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP•BP＝CP•DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根据）∴APDP=∴AP•BP＝CP•DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：（1）请将上述证明过程补充完整．根据：；@：．（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．3．（2024•津南区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若AD＝3，DC=3，求劣弧AC4．（2024•湖南三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，S△QAC①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式．5．（2024•蒸湘区校级模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；（3）在（2）的条件下，①记△CEF，△CDE，△ADE分别为S1，S2，S3，若S22=S1•S3②若BD，AC交于点P，PECE=m，试用含m的式子表示6．（2024•东营）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=3，∠ABC＝60°，求线段AF7．（2024•新丰县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的长．8．（2024•孝南区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CF＝3，CE＝33，求图中阴影部分的面积．9．（2024•港南区二模）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．10．（2024•茅箭区校级模拟）如图1，A，B，C为半径为1的⊙O上的点，∠AOB＝2∠BOC＝2α，AC交直径BD于点E，过点B的切线交AC的延长线于点F．（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若OC∥AB，如图2，①求α；②求△ABF的面积．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：圆（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•汇川区三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于点E．（1）写出图中一个与∠ACD相等的角∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）若⊙O的半径为23，∠ABC＝60°，求AC【考点】圆的综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）△DEC是等腰三角形，理由见解析；（3）6．【分析】（1）根据题意得，则∠ACD＝∠ABD＝∠CBD＝∠DAC；（2）根据题意得，则∠ABD＝∠CBD，由角平分线的∠ACE＝∠BCE，结合∠DEC＝∠CBD+∠BCE和∠DCE＝∠ACD+∠ACE，则∠DEC＝∠DCE，故DE＝DC；（3）连接OD，交AC于点F，连接OA．由题意得∠ABD＝30°，∠OFA＝90°，则∠AOD＝60°，在Rt△OFA中AF＝OA•sin60°，结合AC＝2AF即可．【解答】解：（1）∵D是弧AC的中点，∴AD⌢∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD＝∠DAC，故答案为：∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）△DEC是等腰三角形，理由如下：∵点D是AC⌢∴AD⌢∴∠ABD＝∠CBD，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，在△DEC中，∠DEC＝∠CBD+∠BCE，∵∠DCE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形．（3）连接OD，交AC于点F，连接OA．如图，∵∠ABC＝60°，D是弧AC的中点，∴∠ABD＝30°，∠OFA＝90°，∵AD＝AD，∴∠AOD＝60°，在Rt△OFA中，OA=23∴AF＝OA•sin60°＝23×3又OF⊥AC，∴AC＝2AF＝2×3＝6．【点评】本题主要考查圆的知识，涉及同弧所对圆周角相等、角平分线的定义、等腰三角形的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的相关知识．2．（2024•汝南县一模）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP•BP＝CP•DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（根据）∴APDP=∴AP•BP＝CP•DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：（1）请将上述证明过程补充完整．根据：有两个角对应相等的两个三角形相似；@：CPBP（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．【考点】相交弦定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP（2）7cm．【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根据（1）中结论代入求解即可．【解答】解：（1）连接AC，BD．∵∠C＝∠B，∠A＝∠D．∴△APC∽△DPB，（有两个角对应相等的两个三角形相似）∴APDP∴AP⋅BP＝CP⋅DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF＝（5+r）cm，PD＝（r﹣5）cm，根据（1）中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×（10﹣4）＝（r+5）（解得：r＝7或r＝﹣7（不符合题意，舍去），⊙O的半径为7cm．【点评】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．3．（2024•津南区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若AD＝3，DC=3，求劣弧AC【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）43π【分析】（1）连接OC，求出AD∥OC，求出OC⊥DC，再根据切线的判定求出即可；（2）求出∠DAC＝30°，求出∠AOC，求出BC和AB，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC过O，∴DC为⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝3，DC=3∴tan∠DAC=DC∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACO＝∠DAC＝30°，AC＝2DC＝23，∴∠AOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵AC＝23，∴（2BC）2＝（23）2+BC2，解得：BC＝2，AB＝4，即AO＝2，∴劣弧AC的长是120π×2180=【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，弧长公式等知识点，能熟记切线的判定和弧长公式是解此题的关键．4．（2024•湖南三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，S△QAC①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）97；（2）①证明见解析；②y=【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和勾股定理求得OE的长，利用直角三角形的边角关系即可求得结论；（2）①连接BQ，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换即可得出结论；②通过证明△PDQ∽△CAQ，利用相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到S△QAC=90【解答】（1）解：连接OD，如图，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∴DE＝EC=12CD＝∵AB＝10，∴OA＝OB＝OD＝5，∴OE=OD∴AE＝OA+OE＝9，∵DP＝4，∴PE＝DP+DE＝7．∵PE⊥AE，∴tan∠P=AE（2）①证明：连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AQB＝90°，∴∠QAB+∠B＝90°，∵PE⊥AE，∴∠QAB+∠P＝90°，∴∠P＝∠B，∵∠B＝∠ACQ，∴∠ACQ＝∠CPA．②解：∵CE⊥AB，∴AC＝3AE∵四边形AQDC为圆的内接四边形，∴∠PDQ＝∠QAC，∵∠ACQ＝∠CPA，∴△PDQ∽△CAQ，∴S△PDQ∴S△QAC∵△PDQ与△DCQ是等高的三角形，∴S△DCQ∴S△DCQ∵S△QAC∴y=S∴y与x之间的函数关系式为y=15【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．5．（2024•蒸湘区校级模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F．（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；（3）在（2）的条件下，①记△CEF，△CDE，△ADE分别为S1，S2，S3，若S22=S1•S3②若BD，AC交于点P，PECE=m，试用含m的式子表示【考点】圆的综合题．【专题】作图题；运算能力．【答案】（1）33°；（2）33（3）①30°；②3m+1【分析】（1）先证明∠CAD＝∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；（2）证明△CDF∽△CBD，得出CDCB=CFCD=DFBD，根据CF：BF＝1：2可设CF＝a，BF＝2a，则（3）①由S22=S1•S3可得CEAE=EFDE，则可证△CEF∽△AED，得出∠ECF＝∠EAD，则AD∥BC，然后证明四边形ABCD是矩形，得出AB=CD=②过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则QFCF=PECE=m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDFDE=3m2(m+1)DF，由平行线分线段成比例得出DP=m2DB，在Rt△PDE中，【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠CAD＝∠CDE，∵CD⌢∴∠CAD＝∠CBD，∴∠CDF＝∠CBD＝33°；（2）由（1）得：∠CDF＝∠CBD，∵∠DCF＝∠BCD，∴△CDF∽△CBD，∴CDCB∵CF：BF＝1：2，设CF＝a，BF＝2a，则BC＝3a，∴CD=3∴DFBD（3）①∵S22=S1•∴S2S3∵∠CEF＝∠AED，∴△CEF∽△AED，∴∠ECF＝∠EAD，∴AD∥BC，∴∠BCD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3在Rt△ABC中，tan∠∴∠ACB＝30°；②过点P作PQ∥DF交BC于点Q，∴QFCF∴PQDF=BQEFPQ=CE∴DE=DF-∵PQ∥DF，∴DPDB=FQ在Rt△PDE中，cos∠由（2）得：DFBD∴cos∠【点评】本题考查了圆周角定理以及推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键．6．（2024•东营）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=3，∠ABC＝60°，求线段AF【考点】切线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】（1）连接OC，由点C是BE的中点，得到BC=CE，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠CAE，求得∠OCA＝∠CAD，根据平行线的性质得到OC⊥（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BAC＝30°，得到AD=3CD=【解答】（1）证明：连接OC，∵点C是BE的中点，∴BC=∴∠BAC＝∠CAE，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∵AE⊥CD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠D＝90°，CD=3∴AD=3CD=∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，∴AF＝2AD＝6．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理正确地作出辅助线是解题的关键．7．（2024•新丰县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧AD的长．【考点】弧长的计算；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；（2）如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答．【解答】（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴AD的长为：72×π×3180【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．8．（2024•孝南区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CF＝3，CE＝33，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解析；（2）183-6π【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；（2）由勾股定理求出半径，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OF，作OM⊥BC于M，设⊙O的半径为R，则∠OMC＝∠ACB＝∠OEC＝90°，BM＝FM，∴四边形OMCE是矩形，∴CM＝OE＝R，OM＝CE＝33，∵OM2+FM2＝OF2，∴(33解得R＝6，∴BM＝FM＝CM﹣CF＝3，∴OB＝OF＝BF＝6，∴△OBF是等边三角形，∴∠OBF＝60°，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠OBF＝60°，∴∠A＝90°﹣∠AOE＝30°，∴OA＝2OE＝12，∴AE=OA2∴S阴影＝S△AOE﹣S扇形ODE=12×6×63-【点评】本题考查的是切线的性质，扇形面积计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2024•港南区二模）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．【考点】切线的判定与性质；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠FED+∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE，∵OE是半径，∴EF为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，∴FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得，FE2+OE2＝OF2，∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，解得r＝3，或r＝1（舍去），∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．10．（2024•茅箭区校级模拟）如图1，A，B，C为半径为1的⊙O上的点，∠AOB＝2∠BOC＝2α，AC交直径BD于点E，过点B的切线交AC的延长线于点F．（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若OC∥AB，如图2，①求α；②求△ABF的面积．【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析过程；（2）①α＝45°；②22【分析】（1）由圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，即可求解；（2）①由平行线的性质可得∠ABO＝∠BOC，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，由三角形内角和定理可求解；②先证明△ABE∽△COE，△AOE∽△FBE，利用相似三角形的性质可求BF的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC；（2）解：①∵OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝2∠BOC＝2α，∴∠AOB＝2∠ABO＝2∠OAB，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴4α＝180°，∴α＝45°；②如图2，连接OF，∵α＝45°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2OB=∵OC∥AB，∴△ABE∽△COE，∴OCAB∵BF是⊙O的切线，∴∠OBF＝90°，∴∠AOB＝∠OBF＝90°，∴AO∥BF，∴△AOE∽△FBE，∴AOBF∴BF=2∴S△OBF=12×OB•∵AO∥BF，∴S△ABF＝S△OBF=2【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质求出BF的长是解题的关键．

考点卡片1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．5．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等