函数的极限-课件

函数的极限函数的极限是微积分中的一个重要概念。它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于什么值。一、函数的极限概念直观理解当自变量无限接近于某个值时，函数值无限接近于一个常数，这个常数就是函数的极限。数学定义函数的极限是通过极限符号来定义的，表示当自变量无限接近于某个值时，函数值无限接近于一个常数。重要性函数的极限是微积分的基础，是研究函数变化趋势的关键概念。极限的定义函数极限的定义函数极限的定义是描述当自变量无限接近某一个值时，函数值无限接近一个特定值的趋势。图形化理解函数图像上点的横坐标无限接近某一个值时，纵坐标无限接近一个特定值，即函数值无限接近该特定值。ε-δ定义ε-δ定义是极限的精确定义，通过设置ε和δ，可以控制函数值与特定值之间的距离。极限的性质加法性质极限的和等于和的极限。乘法性质极限的积等于积的极限。除法性质极限的商等于商的极限，但分母的极限不能为零。常数倍性质常数乘以极限等于极限乘以常数。极限的计算规则1极限的加减法两个函数的极限之和等于它们各自极限的和。2极限的乘除法两个函数的极限之积等于它们各自极限的积，除法同理。3极限的复合函数复合函数的极限可以通过先求内部函数的极限，再求外部函数的极限。函数极限的性质函数极限的性质是数学分析中的重要概念。它描述了函数在趋近于某个点的行为方式，并为我们提供了对函数行为的深入理解。单侧极限11.左极限当自变量x从左侧逼近点a时，函数值f(x)趋近于一个确定的值A，则称A为函数f(x)在点a的左极限，记作lim(x→a-)f(x)=A。22.右极限当自变量x从右侧逼近点a时，函数值f(x)趋近于一个确定的值B，则称B为函数f(x)在点a的右极限，记作lim(x→a+)f(x)=B。33.极限存在条件当且仅当函数f(x)在点a的左极限和右极限都存在且相等时，函数f(x)在点a的极限才存在，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=lim(x→a)f(x)。无穷小量定义当自变量趋于某一个值时，函数的值无限接近于零，则称该函数为该点的无穷小量。简单来说，无穷小量就是当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于零，最终趋于零的量。性质无穷小量的和仍为无穷小量。无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。无穷小量除以不为零的常数仍为无穷小量。等价无穷小11.定义当自变量趋于某个值时，两个无穷小量之比的极限为1，则称这两个无穷小量为等价无穷小。22.意义等价无穷小可以简化函数的极限计算，在某些情况下可以用等价无穷小替换原函数，从而简化运算。33.应用等价无穷小的应用非常广泛，例如求函数的极限、求导数、求积分等。44.例子例如，当x趋于0时，sinx和x是等价无穷小，因为lim(x->0)sinx/x=1。三、函数连续性函数连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某个点或某个区间上的平滑程度。连续函数的图像没有跳跃或断裂，可以连续地画出来。连续函数的定义定义在定义域内，函数的图像是一条连续的曲线，没有间断或跳跃。数学表达式对于定义域内的任意点x0，当x趋近于x0时，函数值f(x)也趋近于f(x0)，即极限lim(x->x0)f(x)=f(x0)存在。重要性连续函数在数学分析中扮演着重要的角色，许多重要的定理和结论都建立在连续函数的基础之上。连续函数的性质连续性连续函数的图像可以连续地绘制。可微性连续函数在其定义域内可以求导。积分性连续函数可以在其定义域内进行积分。有界性连续函数在闭区间上是有界的。间断点第一类间断点函数在该点的左右极限存在且相等，但函数值不存在或与左右极限不等。跳跃间断点函数在该点的左右极限存在但不相等。无穷间断点函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。振荡间断点函数在该点的左右极限都不存在。四、函数极限的应用函数极限在数学、物理、工程等领域具有广泛应用。函数极限可以用来解决许多实际问题，例如求解曲线的切线斜率、计算面积和体积等。洛必达法则求极限的工具洛必达法则提供了一种求解极限的工具，尤其适用于当函数趋向于无穷大或无穷小的情况。应用条件洛必达法则仅适用于当函数的分子和分母都趋向于0或无穷大时，并且满足导数存在的条件。步骤洛必达法则要求对分子和分母分别求导，然后取极限，即求解导数的极限。重要极限计算函数极限计算对于理解和应用微积分至关重要。许多函数的极限可以通过简单的代数操作或使用重要极限来求解。一些常见的极限，例如：这些极限可以帮助简化计算并提供对函数行为的更深入理解。函数的性质和图像函数的性质和图像之间存在着密切的联系。通过图像可以直观地反映函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等。例如，函数的图像可以帮助我们判断函数的单调性。如果函数的图像在某一区间上是上升的，则该函数在该区间上是单调递增的。如果函数的图像在某一区间上是下降的，则该函数在该区间上是单调递减的。除了单调性，函数的图像还可以帮助我们判断函数的奇偶性和周期性。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，周期函数的图像具有周期性。五、无穷小和无穷大的比较无穷小和无穷大是微积分中重要的概念，它们描述了函数在自变量趋于某个值时函数值的变化趋势。无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值也趋于零的函数。无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数值无限增大的函数。等阶无穷小无穷小比较比较两个无穷小量在趋近于零时的增长速度。阶数用两个无穷小量的比值在趋近于零时的极限来描述增长速度。等阶如果两个无穷小量的比值的极限为非零常数，则称它们是等阶无穷小。比较无穷小定义比较无穷小是指当自变量趋于极限点时，两个无穷小量的比值趋于一个非零的常数。此常数称为这两个无穷小的等价关系。方法常用方法包括：利用等价无穷小替换、利用洛必达法则、利用函数的单调性等。等价无穷小定义当自变量趋近于某一值时，两个无穷小量之比的极限为1，则称这两个无穷小量为等价无穷小。重要性等价无穷小可以简化极限计算，将复杂的无穷小量替换为更简单的等价无穷小量，从而简化计算过程。例子x趋近于0时，sinx与x等价x趋近于0时，tanx与x等价六、函数的单调性与极值函数的单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值的变化趋势，而极值则是函数在某个点取得的最大值或最小值。单调函数11.定义在某个区间内，函数的图像始终保持上升或下降趋势，称为单调函数。22.判定可以通过函数的一阶导数判断函数的单调性：导数大于零时单调递增，导数小于零时单调递减。33.意义单调性是描述函数变化趋势的重要性质，有助于分析函数图像的形状和性质。极值点的定义峰值函数在某点取得最大值，称为峰值点。谷值函数在某点取得最小值，称为谷值点。鞍点函数在某点附近既有上升趋势也有下降趋势，称为鞍点。极值点的求法函数的极值点是函数取得极值时的自变量的值。求极值点的方法主要有两种：导数法和函数图像法。1导数法利用函数的导数信息。2函数图像法利用函数图像的形状。3极值点判断验证导数符号的变化。七、函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性描述了函数图形的弯曲程度。拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。凹凸性的定义11.凹函数函数图像在定义域内，任意两点连线都在函数图像下方。22.凸函数函数图像在定义域内，任意两点连线都在函数图像上方。33.凹凸性的判别若函数二阶导数在定义域内恒大于零，则函数为凸函数。44.凹凸性的判别若函数二阶导数在定义域内恒小于零，则函数为凹函数。拐点的定义凹凸性变化函数图像从凹到凸或从凸到凹的转变点称为拐点。拐点处函数的二阶导数为零或不存在。切线斜率变化拐点处函数切线的斜率达到极值，即二阶导数等于零或不存在。拐点处的切线可能与函数图像相交，也可能与函数图像相切。拐点的求法1求二阶导数计算函数的二阶导数2令二阶导数