专题34 中考命题核心元素铅锤法求面积（原卷版）

专题34中考命题核心元素铅锤法求面积（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一三角形面积问题

【模型解读】作以下定义：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两

条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂

1

高”(h)．于是可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积

2

的一半．

典例1（2022•会理县校级模拟）铅锤定理：一个三角形，从一条边上的两个顶点作垂线，且互相平行，铅

锤定理就是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题．具体公式是：三角形面积

等于水平宽和铅锤高乘积的一半．该三角形面积等于两垂线乘积的一半．如图1所示：．

△𝑂�1

应用：�=2ℎ�

（1）如图2所示：平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（6，2），点C（4，1）求：△OAB的面积；

（2）抛物线经过点原点O且与x轴交于点C（6，0）直线y2＝k2x+b2经过原点和点

2

B（4，4），点�1P=在�抛1�物+线�上1�移+动�，且在直线OB的上方．

（a）求抛物线和直线OB的解析式；

（b）当△OBP面积最大时，求P的坐标．

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针对训练

1．（2019•沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2（x＞0）的图象相交于点A（，

�2

2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB=，�AB，则△AOB的面积是．3

3

典例2（2023•岳阳县一模）如图，抛物线yx2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

1

（1）请直接写出点A，B，C的坐标；=2

（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的

最大值；

针对训练

1．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），

AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

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2．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是

抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

模型二四边形面积问题

【模型解读】求四边形的面积问题时，可将四边形分割成两个三角形，从而转变成求三角形的面积问

题．

典例3（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，

点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；

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针对训练

1．（2022秋•平阴县期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4

4

经过A，C两点，且与x轴的另一个交�点=为3B�，+对4称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D

点的坐标；

（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四

边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．

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模块二2023中考押题预测

1．（2020春•雨花区校级月考）如图，已知函数y＝x+3的图象与函数y的图象交于A、B两点，

�

=(�≠0)

连接BO并延长交函数y的图象于点C，连接AC，若△ABC的�面积为12，则k的值为．

�

=�(�≠0)

2．如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积．已

知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）

（1）求抛物线的解析式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；

（3）求△BCM的面积．

3．（2021秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；

（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出AQ+BQ的最小值为．

1

2

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4．（2022秋•临淄区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，

与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；

（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．

5．（2020•中原区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点

（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），

直线BC与对称轴相交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为直线x＝1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、

C、M四点所构成的四边形面积为S，若S＝3S△BCD，请求出m的值；

（3）点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△

BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．

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6．（2021•酒泉一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的

对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P

点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置

时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

7．（2022春•李沧区期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面

积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：

如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做

水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂

高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．

【结论提炼】

容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“Sdh”

1

【结论应用】=2

为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．

已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，

所以△ABC面积的大小为．

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【再探新知】

三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带

着这个问题，我们进行如下探索：

（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，

得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小

是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“Sdh”这一方法

1

对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）=2

（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，

得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小

是，用其它的方法进