专题26 解答题重点出题方向二次函数的实际应用（原卷版）

专题26解答题重点出题方向二次函数的实际应用（原卷版）

模块一2022中考真题集训

类型一最大利润问题

1．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽

子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A

品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．

（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进

行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每

袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

2．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）

与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元

时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利

润最大？最大利润是多少元？

3．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价

m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式mx+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，

1

发现每天销售量（）与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．

ykgx=2

时间第x天…259…

销售量y/kg…333026…

（1）求y与x的函数解析式；

（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？

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4．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30

元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销

售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价x（元/件）…354045…

每天销售数量y（件）…908070…

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

5．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第

一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．

（1）求第二批每个挂件的进价；

（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售

价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖

90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

6．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销

售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．

1

（）求出商场销售这种商品的净利润（万元）与销售价格函数解析式，销售价格定为多少时净利

1=z−10xx

润最大，最大净利润是多少？

（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销

售价格x应定为多少元？

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7．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整

箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，

批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售

价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每

天所获利润最大？最大利润是多少？

8．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本

共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32

元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售

量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

售价（元/本）……22232425……

每天销售量（本）……80787674……

（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；

（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销

售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；

①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；

②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

9．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不

高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关

系，部分数据如表：

每千克售价x……202224……

（元）

日销售量y（千……666054……

克）

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为

多少元？

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10．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于

18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函

数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

类型二图形面积最大问题

11．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．

12．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，

木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

13．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的

长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长

度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

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14．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围

墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方

案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总

种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多

少？

类型三物体的运动轨迹是抛物线的问题

15．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一

条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，

建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离

为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．

𝐶3

求：（1）点A的坐标；=

𝐶4

（2）该抛物线的函数表达式；

（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）

（参考数据：1.73）

3≈

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16．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，

铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y

＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）

作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．

（2）当a时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

12

（3）在试=跳9中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v的对应数据，

在平面直角坐标系中描点如图3．

①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：1.73，2.24）

3≈5≈

17．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，

实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出

时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

5

（1）求y关于x的函数表达式；

3

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的

水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

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18．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳

后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，

运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离02581114

x/m

竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记

该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2

（填“＞”“＝”或“＜”）．

19．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距

地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角

坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是

水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶

恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

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20．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，

运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停

止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行

了深入研究：

如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线

为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处

起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）

与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为yx2+bx+c．

1

（）求，的值；

1bc=−60

（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一

次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．

①求x关于t的函数解析式；

②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？

21．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛

物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点

K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准

台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动

员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）c的值为；

（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a，b，求基准点K的高度h；

19

=−=

②若a时，运动员落地点要超过K点，则b的取50值范围为10；

1

（）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，

3=−5025m76mK

并说明理由．

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类型四拱桥隧道问题

22．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为

坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设

计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已

知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

模块二2023中考押题预测

23．（2023•南海区一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，大沥

镇超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超

过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均

费用为56元1套．

（1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？

（2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1

元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？

24．（2023•咸宁模拟）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品

牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工

的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．

（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；

（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？

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25．（2022•云安区模拟）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，

郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购

进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．

（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？

（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，

每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单

位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

26．（2022•市南区三模）某企业生产一种新产品，每件成本为50元．由于新产品市场有率较低，去年上市

初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得

到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量y（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月

销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．

（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60x（1≤x≤6，x

5

+

为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函2数关系：px

1

（≤≤，为整数），从月至月每件产品的售价和杂费均稳定在月的水平．去年至月，

1x6x7126112=2

该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．

（3）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不

论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以

单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每

降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售

出，如何定价可使获利最大？

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27．（2022•东莞市校级一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小

明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙

灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？

最大利润是多少元？

28．（2023•凤翔县模拟）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路

线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的

基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起

跳台的高度OA为60m，基准点K到起跳台的水平距离为70m，高度为18m．设运动员从起跳点A起跳

后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为．

12

（）若运动员落地点恰好到达点，求，的值．

1Kbc�=−50�+��+�

（2）若运动员飞行的水平距离为21m，恰好达到最大高度68.82m，试判断他的落地点能否超过K点，

并说明理由．

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29．（2022•东城区一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水

平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进

行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：

（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．

d/米00.611.82.433.64

h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和h这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；

（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公

园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C

处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）

30．（2022•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表

示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右

自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二

次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．

（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．

（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．

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31．（2022•安顺模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟

测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛

物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为

坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（，），点B的横坐

33

22

标为，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax﹣2ax和y＝2ax+bx（a≠0）．28

3

（1）−求2抛物线C1的函数表达式．

（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．

（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高

度至少为多少米？

32．（2022•孟村县校级模拟）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮

圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为

抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如

图所示的平面直角坐标系．

（1）请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；

（2）请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？

（3）此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小

明至少多远？（1.414，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下

来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2

2≈

分．）

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33．（2022•碧江区校级一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象

成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平

面直角坐标系如图所示，OM＝6．

（1）求OAM这条抛物线的函数关系式；

（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离

均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？

34．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每

节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，

学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一

部分，A为抛物线的顶点）．

（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；

（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；

（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？

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35．（2022•大名县校级四模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面

BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA

所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部

分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上

的落点为D，经测试，得到如下部分数据：

t（s）00.20.40.60.8…

x（m）00.511.52…

y（m）0.250.40.450.40.25…

（1）当t＝s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与t之间是否存在二次函数关系，如果存在，求

出函数关系式；如果不存在，请说明理由；

（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网

正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）

（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.5（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球

拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF

3

在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的

距离CE的取值范围．

36．（2022•惠水县模拟）城市立交桥在缓解道路拥堵，让城市交通更加顺畅方面发挥了重要作用．如图，

是某市立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥

拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为10m，AD和A′D′是两侧高为8m的支柱，OA和OA′

为两个方向的汽车通行区，宽都为18m，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：3.5．

（1）求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC′的长；

（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为6m，相应的AB和A'B′为两个方向的行人及非机动车

通行区，试求AB和A'B'的宽；

（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于lm．今有一大型运货汽车，

装载某大型设备后，其宽为4.5m，车载大型设备的顶部与地面的距离为8m，它能否从OA（或OA'）区

域安全通过？请说明理由，

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37．（2022•亭湖区校级一模）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而

上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑

雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过

点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为yx2

1

﹣（≥）．运动员（看成点）在方向获得速度米秒后，从处向右下飞向滑道，点是下

4x+cx1BAv/AM=5

落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动

员与点A的水平距离为l米，经实验表明：h＝6t2，l＝vt

（1）求滑道对应的函数表达式；

（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；

（3）在某一次的试跳中，运动员甲从A处飞出，飞出的路径近似看作函数yx2x图象的一部

1289

分，根据实践可知，若运动员在飞行的过程中，存在飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在～米的范

=−5+5+5810

围内即可成功，请你通过计算说明该运动员此次试跳是否能成功．

38．（2022•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受

产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/

件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之

间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线的一部分．

12

�=4�−4�+�

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？

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39．（2022•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在

距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨

江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的

高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要

求．

（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．

（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．

40．（2022•惠民县二模）要建设六间长方形鸡舍，如图是其平面示意图，一面靠墙，其余各面用铁丝网围

成．设每间鸡舍的长为xm，宽为ym．

（1）现有长度为144m的铁丝网，受地形影响要求15≤x≤18，如何设计可使每间鸡舍面积最大？（建

设过程中的损耗忽略不计）

（2）若使每间鸡舍面积为200m2，每间鸡舍的长、宽各设计为多少时，可使围成鸡舍的铁丝网总长度最

小？（精确到0.1m，）

3≈1.732

41．（2022•常山县模拟）在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一

农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽

为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）．

（1）求S关于x的函数表达式．

（2）如果要围成面积为54m2的花圃，AB的长为多少米？

（3）若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长．

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42．（2022•潍坊三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝

2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x

轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求

抛物线C的表达式．

43．（2022•茂南区二模）如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙

MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m．

（1）为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙