专题17 解答题压轴题新定义题型（原卷版）

专题17解答题压轴题新定义题型（原卷版）

模块一2022中考真题集训

类型一函数中的新定义问题

1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶

方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．

1112

=

（1）在①（﹣2，3）3；②（﹣1，﹣1）；③（21，1）三点中，是反比例函数y�图象的“1阶方点”

11

的有（填序号）；

−2=�

（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值

范围．

2．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称

22

为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax+2ax+c组成一个开口向上的“月

牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交

点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN

与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG

是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1和k2两个

��

值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．

Pk=�=�

（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；

（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；

②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；

（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，

且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．

3

4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物

222

线”．例如：抛物线y＝2x+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax+ax+4a﹣

3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．

（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．

①当MN＝6a时，求点P的坐标；

②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

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5．（2022•赤峰）阅读下列材料

定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．

例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．

完成下列任务

（1）①min|（﹣3）0，2|＝；

②min|，﹣4|＝．

（2）如−图，1已4知反比例函数y1和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，

��

﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，=求这两个函数的解析式．

��

6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc

≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．

（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；

（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．

①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任

意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

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类型二几何图形中的新定义问题

7．（2022•青岛）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC

和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，

则S△ABCBC•AD，S△A'B'C′B′C′•A′D′，

11

∵＝′′

ADA=2D=2

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性质应用】

（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；

（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S

△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；

（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S

△ABC＝a，则S△CDE＝．

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8．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向

下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NTOM；

1

=2

（2）O的半径为1，M是O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为O外一点，

1

点Q为⊙点P的“对应点”，连⊙接PQ．当点M在O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小⊙值的差（用

2

含t的式子表示）．

⊙

模块二2023中考押题预测

9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数

自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一

个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1

的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为

，也可以写成y＝|x|+1．�=

＜

�+1(�≥0)

−�+1(�0)

（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．

（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线

x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．

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10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与

a≠0，a、b、c是常数）满足a+a＝0，2b＝b，c+c＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．2例

22221�=2�1�+1�1�2+�112�=�2�+

22

如：求函数y＝2x﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2

�2�+�2

＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．

请思考并解决下面问题：

（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原

点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋

转函数”．

11．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个

函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．

（1）在函数①y＝﹣x+5，②，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是（填序

6

号）．

�=�

（2）设函数＜与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当

4

△为等腰三角形时，求的值；

ABC�=�(�0)k

（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余

部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．

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12．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y

轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做

原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且

它的“新生函数“的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．

＜

�+1(�≥0)

（1）在图③中画出函数y＝﹣2=x+l的“新生函数“的图象．

−�+1(�0)

（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生

函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．

13．（2022•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有

一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数

y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．

（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；

（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；

（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，

若有则求出C坐标，若无则说明理由．

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14．（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，

0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．

（1）当t＝1时，

①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为；

②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为；

（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是．

15．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：

22

定义：如果二次函数y＝a1x+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2

2

是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x﹣3x+1的“旋

转函数”．

2

小组同学是这样思考的，由函数y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，

c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参照小组同学的方法解决下面问题：

（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是；

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原

点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋

转函数”．

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o

16．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180，得到新的函数C2的图

象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．

例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．

（1）当m＝0时，

①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．

②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．

（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．

（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的

值．

17．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应

的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：

＜

一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y．已知二次函数y＝﹣x2+4x．

−�+1(�0)1

=−2

（1）当第二象限点B（m，）在这个函数�的−关1(联�≥函数0)的图象上时，求m的值；

3

（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函2数y＝﹣x2+4x的关联函数的最大值和最小值．

1

−2

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18．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的

“梅岭点”．

（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝；

若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝；

32

（2）若点P（p，﹣2）�是=二�次−函2数y＝x+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；

（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅

2

岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b+2b+2，请直接写出k的

取值范围．

19．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：

若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线

⊙

段AB是O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．

⊙

⊙

（1）如图1，线段CD、EF、GH中是O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；

（2）已知A点的坐标为（0，2），B点坐标为（1，1）．

⊙

①如图2，若线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M

的坐标是．

⊙

②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM

的取值范围为yM，求S的取值范围．

113

（3）已知点M、≤N是≤在以（2，0）为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是

26

O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的

13=2

取值范围是．

⊙

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20．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为

邻余线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．

求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB

是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若

N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．

21．（2022•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠

B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．

（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是．

①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形

（2）深入探究：

①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝°．

②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四

边形．

（3）拓展应用：

如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥

CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．

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22．（2022•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．

我们学习过的四边形中是垂美四边形的是；（写出一种即可）

【性质探究】

利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是；

【性质应用】

（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，

则AB的长为；

（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与

CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；

【拓展应用】如图④，在ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB

＝8，求BG的长．

▱

23．（2022•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，

若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．

概念理解．

（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．

①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为；

②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝．

拓展延伸．

（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF∠ABC时，试猜想AE，

1

，之间的数量关系，并证明．

CFEF=2

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24．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则

称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图

1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．

（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是

点A关于点O的锐角旋转点的是．

2323222

（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取

值范围．

（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一

个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．

25．（2022•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是

学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作

规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括

以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定

义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形

叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B∠D，∠C∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C

11

的度数之和；

=2=2

（2）如图2，锐角△ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA

于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？

⊙

并说明理由．

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26．（2022•泗洪三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．

（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，经过点A，B的O交AC边于点D，交BC

于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；

⊙

（3）如图2，AD是△ABC外接圆O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交O于点F，

已知PB2＝PE•PA．问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？

⊙⊙

27．（2022•淮阴区校级一模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行

四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．

【概念理解】

（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐

边．

①△ADG与△BCG的形状是三角形．

②若AD＝4，则BD＝．

【问题探究】

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，

AD＝4，AB＝k．

①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；

②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

【应用拓展】

（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与

AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值．

28．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？

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思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“”定义：如图1，

点C把线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的“白银分割点”如2图2，矩形ABCD

𝐴

=2

中，，那么矩形ABCD叫�做�白银矩形．

𝐴

=2

��

应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白

银矩形．

（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C

落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”．

=2

（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）

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29．（2022•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于

点P的“垂直图形”．

例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．

①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；

②若点B的坐标为（2，1），直接写出点