专题9 填空题压轴题之图形变换问题（平移翻折旋转）（解析版）

专题9填空题压轴题之图形变换问题（平移翻折旋转）（解析版）

模块一2022中考真题集训

类型一图形的折叠

1．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，

AB＝3，BC＝5，则AE＝．

4

3

思路引领：由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF

中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．

解：在矩形ABCD中，

∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，

由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，

在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF4，

22

∴AF＝AD﹣DF＝1，=��−��=

设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，

在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，

即（3﹣x）2＝x2+12，

解得x，即AE，

44

==

故答案为3：．3

4

总结提升：本3题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建

立方程求解是关键．

2．（2022•镇江）如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB＝5，AD＝7，将这张纸片折叠，使得点B落在

边AD上，点B的对应点为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等于2．

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思路引领：由折叠可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如图，当E与A重合时，B'D最短，可得B'D＝AD﹣AB'

＝7﹣5＝2．

解：由折叠可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如图，当E与A重合时，B'D最短．

∵AB＝5，AD＝7，

∴AB'＝5，

∴B'D＝AD﹣AB'＝7﹣5＝2，

即DB′长的最小值为2．

故答案为：2．

总结提升：本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．

3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AB，BC上，将

△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB'，若CB'＝BB'，则AD的长为7.5．

思路引领：在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据CB'＝BB'得出AB′＝BB′AB，

1

=

再根据折叠的性质可得BD＝B′DBB′．根据AD＝AB′+B′D求得AD的长．2

1

解：在Rt△ABC中，=2

AB，

22

=��+��

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∵AC＝6，BC＝8，

∴AB．

22

∵CB='＝B6B'，+8=10

∴∠B＝∠BCB′，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝∠ACB′+∠BCB′＝90°．

∴∠A＝∠ACB′．

∴AB′＝CB′．

∴AB′＝BB′AB＝5．

1

∵将△BDE沿直=线2DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，

∴B′D＝BDBB′＝2.5．

1

∴AD＝AB′+=B2′D＝5+2.5＝7.5．

故答案为：7.5．

总结提升：本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中根据CB'＝BB'通过推理论证得到CB′是斜

边上的中线是解题的关键．

4．（2022•兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落

在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝3cm．

5

思路引领：根据将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠

DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，而AF＝2EF，即得AF＝6cm，AE＝9cm，由四边形ABCD

是矩形，可得AB＝CD＝DF，AD∥BC，从而AD＝AE＝9cm，在Rt△ADF中，用勾股定理得DF＝3cm，

从而AB＝DF＝3cm．5

解：∵将△CDE沿5DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，

∴EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，

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∵AF＝2EF，

∴AF＝6cm，AE＝AF+EF＝6+3＝9（cm），

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝DF，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝∠DEF，

∴AD＝AE＝9cm，

在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，

∴62+DF2＝92，

∴DF＝3（cm），

∴AB＝DF5＝3（cm），

故答案为：35．

总结提升：本题5考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解

决问题．

5．（2022•大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折

叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB

＝6cm，则AD的长是5cm．

3

思路引领：由矩形性质和折叠性质可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′

BM，可得∠BA′E＝30°，从而可得∠A′BE＝60°，可得∠ABM＝30°，从而可得AM＝2cm，∠

DMF＝30°，DF＝3cm，即可求解DM，进而求出AD的长．3

解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，

∴∠A＝90°，

由折叠性质可得：

BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，

在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，

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∴∠BA′E＝30°，

∴∠A′BE＝60°，

∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，

∴AM＝tan30°•AB2cm，

3

∵MF⊥BM，=3×6=3

∴∠BMF＝90°，

∴∠DMF＝30°，

∴∠DFM＝60°，

在Rt△DMF中，MD＝tan60°•DFcm，

∴AD＝AM+DM＝2=cm．3×3=33

故答案为：5．3+33=53

总结提升：本题3考查折叠性质，长方形的性质，30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之

间的关系推出∠BA′E＝30°．

6．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，，，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE

翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的�平�行=线2交�AD�=于点3G，交直线BC于点H．若点G是边AD

的三等分点，则FG的长是或．

36

33

思路引领：过点E作EM⊥GH于点M，根据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明HE＝FE，等

面积法求得ME，勾股定理求得HM，可得HF的长，进而即可求解．

解：①如图，过点E作EM⊥GH于点M，

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∵DE∥GH，AD∥BC，

∴四边形HEDG是平行四边形，

∴，

1

∵折𝐻叠=，��=3��=1

∴∠FED＝∠CED，

∵∠MED＝90°，

即∠FEM+∠FED＝90°，

∴∠CED+∠HEM＝90°，

∴∠HEM＝∠FEM，

∵∠EMF＝∠EMH＝90°，ME＝ME，

∴△HEM≌△FEM（ASA），

∴HM＝MF，EF＝HE＝1，

∴EF＝EC＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，，

∠�=90°��=��=2

Rt△EDC中，，

2222

∴𝐻，=��+��=(2)+1=3

∵M��E⊥=H�G�，=HG3∥DE，

∴，

11

�△𝐻�=𝐻×𝐻=�△𝐻�=��×��

∴2，2

��×��2×16

𝐻===

𝐻33

Rt△HME中，，

22623

��=𝐻−𝐻=1−(3)=3

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∴，

23

��=��−��=��−2��=3−3=

②如图，当时，33

1

��=3��=1

同理可得HE＝GD＝AD﹣AG＝3﹣1＝2，EC＝EF＝HE＝2，

∴，

22

𝐻=2+(2)=6

∴，

��×��2×223

𝐻===

𝐻63

Rt△HME中，，

22223226

��=𝐻−𝐻=2−()=

∴3，3

466

��=��−��=2��−��=−6=

故答案为：或．33

36

总结提升：本3题考3查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意

分类讨论是解题的关键．

7．（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，

那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．

2

思路引领：由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解决问题．

解：由第②次折叠知，AB＝AB'，

由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，

∴△AD'B'是等腰直角三角形，

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∴AB'AD'，

∴AB=与宽2AD的比值为，

故答案为：，2

总结提升：本2题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是

解题的关键．

8．（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE

＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：①④．（填写序号）

①BD＝8

②点E到AC的距离为3

③EM

10

④EM∥=A3C

思路引领：根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM＝x，则EM

＝8﹣x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用锐角三角函数可判断④．

解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，

∴BD＝DCBC＝8，故①正确；

1

如图，过点=E2作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，

∵AD⊥BC，AB＝AC，

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∴AE平分∠BAC，

∴EH＝EF，

∵BE是∠ABD的角平分线，

∵ED⊥BC，EF⊥AB，

∴EF＝ED，

∴EH＝ED＝4，故②错误；

由折叠性质可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，

设DM＝x，则EM＝8﹣x，

Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，

∴（8﹣x）2＝42+x2，

解得：x＝3，

∴EM＝MC＝5，故③错误；

设AE＝a，则AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，

∴AB2＝（4+a）2+82，

∵11，

�△�𝐻2��×��2𝐻×��

11

△�𝐻==

�2����2����

∴，

𝐻��

=

∴���，�

���

=

∴4AB＝28a，

∴（4+a）2+82＝（2a）2，

解得：a或a＝﹣4（舍去），

20

=3

∴tanC，

20

��3+44

===

又∵tan∠�E�MD83，

��4

∴∠C＝∠EMD=，��=3

∴EM∥AC，故④正确，

故答案为：①④．

总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关性质定理，

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正确添加辅助线是解题的关键．

9．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，

点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的

最小值为．

8

5

思路引领：过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，

利用相似三角形的判定和性质求解即可．

解：作点P关于CE的对称点P′，

由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，

∴点P′在CD上，

过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，

∵MN+NP＝MN+NP′≥MF，

∴MN+NP的最小值为MF的长，

连接DG，DM，

由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，

∵AD＝CD＝2，DE＝1，

∴CE，

22

=1+2=5

∵CE×DOCD×DE，

11

=2

∴D2O，

25

=5

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∴EO，

5

∵MF=⊥C5D，∠EDC＝90°，

∴DE∥MF，

∴∠EDO＝∠GMO，

∵CE为线段DM的垂直平分线，

∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，

∴△DOE≌△MOG，

∴DE＝GM，

∴四边形DEMG为平行四边形，

∵∠MOG＝90°，

∴四边形DEMG为菱形，

∴EG＝2OE，GM＝DE＝1，

25

=

∴CG，5

35

∵DE∥=M5F，即DE∥GF，

∴△CFG∽△CDE，

∴，即35，

������5

==

𝐻𝐻15

∴FG，

3

=

∴MF＝51，

38

+5=5

∴MN+NP的最小值为；

8

方法二：同理方法一得5出MN+NP的最小值为MF的长，DO，

25

=

∴OC，DM＝2DO，5

224545

=��−��=5=5

∵S△CDMDM•OCCD•MF，

11

=2=2

即2×MF，

4545

×=

∴M5F，5

8

=5

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∴MN+NP的最小值为；

8

故答案为：．5

8

总结提升：5此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题中的应用，熟悉对称点的运用和画法，知道何

时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．

10．（2022•辽宁）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接

BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是55．

5−

思路引领：由翻折知BF＝BA＝10，得点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点G、F、B

三点共线时，GF最小，再利用面积法可得AE的长．

解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，

∴BF＝BA＝10，

∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，

∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，

连接EG，设AE＝x，

由勾股定理得，BG＝5，

∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△A5BE+S△EBG，

∴（5+10）×10，

1111

=×5×(10−�)+×10�+×55�

解得2x＝55，222

5−

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∴AE＝55，

故答案为：55−5．

总结提升：本题5−主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，

GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．

11．（2022•沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的

对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN＝2，

AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为24或4．

13−

思路引领：根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN

＝∠MNG，得到MG＝NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝

AB＝4，设MD＝MF＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．

解：当HNGN时，GH＝2HN，

1

∵将矩形纸=片3ABCD折叠，折痕为MN，

∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，

∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，

∴∠GMN＝∠MNG，

∴MG＝NG，

∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，

∴△FGH∽△ENH，

∴2，

����

==

∴�F�G＝2�EN�＝4，

过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，

设MD＝MF＝x，

则MG＝GN＝x+4，

∴CG＝x+6，

∴PM＝6，

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∵GP2+PM2＝MG2，

∴42+62＝（x+4）2，

解得：x＝24，

∴MD＝2134−；

13−

当GHGN时，HN＝2GH，

1

∵△FG=H3∽△ENH，

∴，

����1

==

∴F��G�E�N＝1，2

1

∴MG=＝2GN＝x+1，

∴CG＝x+3，

∴PM＝3，

∵GP2+PM2＝MG2，

∴42+32＝（x+1）2，

解得：x＝4，

∴MD＝4；

故答案为：24或4．

13−

总结提升：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方

程求解是解题的关键．

12．（2022•扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使

点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′

于点P．若BC＝12，则MP+MN＝6．

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思路引领：先把图补全，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得

GN＝6，可得答案．

解：如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，

∴GN∥BC，

∴AG＝BG，

∴GN是△ABC的中位线，

∴GNBC12＝6，

11

∵PM=＝2GM，=2×

∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．

故答案为：6．

总结提升：本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解

本题的关键．

13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点

B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为2．

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思路引领：连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，

设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．

解：如图，连接AP，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

点E是BC的中点，

∴BE＝CEAB＝3，

1

由翻折可知=：2AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，

∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，

在Rt△AFP和Rt△ADP中，

，

𝐴=𝐴

∴�R�t=△A�F�P≌Rt△ADP（HL），

∴PF＝PD，

设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，

在Rt△PEC中，根据勾股定理得：

EP2＝EC2+CP2，

∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，

解得x＝2．

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则DP的长度为2．

故答案为：2．

总结提升：本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

14．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于

点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数��为60°��，折痕CD的长为4．

��6

思路引领：设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，可得

OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质可证明∠EO′F＝60°，则可得的度数；然

后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．��

解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，

∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，

∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．

∴∠O��′EO＝∠O′FO＝90°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠EO′F＝60°，

则的度数为60°；

∵∠��AOB＝120°，

∴∠O′OF＝60°，

∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，

∴OO′4，

�′�6

==3=3

∴O′H＝2𝑠�6，0°2

3

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∴CH2，

22

∴CD＝=2C�H′�＝4−�．′�=36−12=6

故答案为：60°，64．

总结提升：本题考查了6翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

类型二图形的平移

15．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对

应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．

思路引领：根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单

位至A1，进而可以解决问题．

解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），

∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）．

总结提升：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．

16．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，

得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（5，2）．

思路引领：根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．

解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），

故答案为：（5，2）．

总结提升：本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右

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移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

17．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段

CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是（1，2）．

思路引领：根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．

解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），

∴平移规律为向左平移4个单位，

∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

总结提升：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐

标上移加，下移减．

18．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平

移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是（1，﹣

3）．

思路引领：由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．

解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1

个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），

即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），

故答案为：（1，﹣3）．

总结提升：本题主要考查平移的知识，根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键．

19．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1

个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；

把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再

向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为（﹣1，11）．

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思路引领：根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．

解：由图象可知，A5（5，1），

将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），

将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），

将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），

将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），

将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），

故答案为：（﹣1，11）．

总结提升：本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中

考常考题型．

20．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影

部分的面积为8cm2．

思路引领：根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积解答即可．

解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），

故答案为：8．

总结提升：本题考查了四边形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平

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移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

类型三图形的旋转

21．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连

接DF，CF，则∠BCF＝30°，FB+FD的最小值为5．

3

思路引领：首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，

连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的

长．

解：如图，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，

∴∠BAE∠BAC＝30°，

1

∵△BEF=是2等边三角形，

∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

��=��

∠�𝐻=∠���

∴�△�=BA�E�≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′

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+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．

∵∠DCF＝∠FCG＝30°，

∴∠DCG＝60°，

∵CD＝CG＝5，

∴△CDG是等边三角形，

∴DB＝DC＝DG，

∴∠CGB＝90°，

∴BG5，

2222

∴BF+=DF�的�最−小�值�为=510，−5=3

故答案为：30°，5．3

总结提升：本题考查旋3转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

22．（2022•宁夏）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针

旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝50°．

思路引领：根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．

解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，

∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，

∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，

∵直线a∥b，

∴∠1＝∠A1OD＝50°，

故答案为：50．

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总结提升：本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

23．（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转

15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝33．

3−

思路引领：先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应

角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．

解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，3AB＝6，

∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，

∵将△ABC绕点A3逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，

∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，

∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，

∴B'E＝B'C'﹣C'E＝33．3

总结提升：本题考查了3旋−转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质的

应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．

24．（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B

落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为．

�

3

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思路引领：由旋转的性质可得AB'＝AB＝2，由锐角三角函数可求∠DAB'＝60°，由扇形面积公式可求解．

解：∵AB＝2BC＝2，

∴BC＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，

∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，

∴AB'＝AB＝2，

∵cos∠DAB'，

��1

==

∴∠DAB'＝60°��，′2

∴∠BAB'＝30°，

∴线段AB扫过的面积，

2

30°×�×2�

==

故答案为：．360°3

�

总结提升：3本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些

性质解决问题是解题的关键．

25．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋

转90°后，点B的对应点B'坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．

思路引领：根据旋转可得：BM＝B1M1＝B2M2＝3，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，可得B1和B2的坐标，即

是B'的坐标．

解：∵A（﹣1，2），OC＝4，

∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，

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将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，

由旋转得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，

A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，

∴B1和B2的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），

∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），

故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．

总结提升：本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的

关键．

26．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针

旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为120°；

当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为75°．

思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，

推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，

可得结论．

解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．

∵△BPP′是等边三角形，

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∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，

∴∠ABP＝∠EBP′，

在△ABP和△EBP′中，

，

��=𝐻

∠�𝐴=∠�𝐴′

∴�△�A=B�P�≌′△EBP′（SAS），

∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，

∴点P′在射线EP′上运动，

如图1中，设EP′交BC于点O，

当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，

当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，

∴EOOB，OP′OC，

11

==

∴EP′＝2EO+OP′2OBOCBC，

111

∵BC＝2AB，=2+2=2

∴EP′＝AB＝EB，

∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，

∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，

∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．

故答案为：120°，75°．

总结提升：本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考填空题中的压轴题．

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27．（2022•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时

针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若AA'＝1，

则△BB'D的面积是．

33

4

思路引领：先证明△A'AD是等边三角形，再证明A′O⊥BC，再利用直角三角形30°角对应的边是斜边

的一半分别求出A'B'和A'O，再利用勾股定理求出OD，从而求得△BB'D的面积．

解：如图所示，设A'B'与BD交于点O，连接A'D和AD，

∵点D为BC的中点，AB＝AC，∠ABC＝30°，

∴AD⊥BC，A'D⊥B'C'，A'D是∠B′A′C′的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，

∴∠B'A'C'＝120°，∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝∠B'A'D＝60°，

∵A'D＝AD，

∴△A'AD是等边三角形，

∴A'A＝AD＝A'D＝1，

∵∠BA'B'＝180°﹣∠B'A'C'＝60°，

∴∠BA'B'＝∠A'AD，

∴A'B'∥AD，

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∴A′O⊥BC，

∴，

11

�′�=�′�=

∴22，

13

∵A�'�B'＝=2A1'D−＝42=，2

∵∠A'BD＝∠A'DO＝30°，

∴BO＝OD，

∴，，

13

��′=2−=��=2��=3

∴22．

△��′�11333

总结�提升：=本2×题�考�查×了�等′�腰=三2×角形3、×等2边=三4角形和直角三角形的性质，证明△A'AD是等边三角形是解本

题的关键．

28．（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，

再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为（，1）．

−26+

思路引领：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，根据边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O

逆时针旋转75°，得∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，即知∠B'OD＝30°，可得B（'，

），又再沿y轴方向向上平移1个单位长度，故B''（，21）．−2

解6：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，如图：−26+

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∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，

∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，

∴∠B'OD＝30°，2

∴B'DOB'，ODB'D，

1

∴B'（=2，=）2，=3=6

∵再沿−y轴2方向6向上平移1个单位长度，

∴B''（，1），

故答案−为：（26+，1）．

总结提升：本−题考2查正6方+形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性

质．

29．（2022•无锡）△A