专题7 填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马）（解析版）

专题7填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马模型）（解析版）

模型一两定点一动点模型

（1）求两条线段和的最小值

典例1（2022春•惠东县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PABS

1

=

矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为2．3

13

思路引领：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF∥AB，由S△PABS矩形ABCD，得AB•AEAB

111

==

•AD，则AEAD＝2，延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，3则点G与点A2关于直线3EF

2

=

对称，由勾股定3理求得BG2，即可根据“两点之间线段最短”求得PA+PB的最小值

22

是2．=��+��=13

解：过13点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DEF＝∠DAB＝90°，

∴EF∥AB，

∵S△PABS矩形ABCD，AD＝3，

1

=3

∴AB•AEAB•AD，

11

=

∴A2EAD33＝2，

22

延长=AD3到点=G3，×使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则EF垂直平分AG，

∴点G与点A关于直线EF对称，

∵∠BAG＝90°，AB＝6，AG＝2AE＝2×2＝4，

∴BG2，

2222

∵PG+=PB�≥�BG+，�且�P=G＝6PA+，4=13

∴PA+PB≥2，

∴PA+PB的最1小3值是2，

13

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故答案为：2．

13

总结提升：此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段之间的关系、两

点之间线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

变式训练

1．（2022•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝2，

BC＝2，则PE+PB的最小值为

3

思路引领：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，则PE+PB的最小值即为BE'的长；由已知可求E'C，

=3

∠ECE'＝60°；过点E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G，CG，在Rt△BE'G中，BG，

3333

BE'＝3；=2=2=2

解：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，

则PE+PB的最小值即为BE'的长；

∵AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，

∴∠ACB＝30°，3

∴∠ECE'＝60°，

∵EC＝CE'，

∴E'C，

过点E='作3E'G⊥BC，

在Rt△E'CG中，E'G，CG，

33

==

在Rt△BE'G中，BG2，2

33

∴BE'＝3；=2

∴PE+PB的最小值为3；

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总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE+PB转化为线段BE'的长是解题

的关键．

2．（2022春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线

AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为

A．B．2C．1D．5

思路引3领：连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC＝120°得

出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出

DE的长．

解：连接BD，DE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴B、D关于直线AC对称，

∴DE的长即为PE+PB的最小值，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BCD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴DE⊥BC，CEBC2＝1，

11

==×

∴DE22．

2222

总结=提升�：�本−题�考�查=的是2轴−对1称=﹣最3短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关

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键．

（2）求两条线段差的最大值

典例2（2022春•重庆期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点

M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为1．

思路引领：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，依据PM﹣PN＝PM﹣PE≤ME，可得当P，

M，E三点共线时，取“＝”，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CME＝90°，再根据

��𝐶1

==

△ECM为等腰直角三角形，即可得到�C�M＝M��E＝13．

解：

如图所示：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，

因为正方形的对角线互相垂直平分且相等，

∴点N和E关于BD成轴对称，

∴PN＝PE，

∴PM﹣PN＝PM﹣PE，

∴当点P，E，M三点共线时，PM﹣PE的值最大，为ME的长，

在正方形ABCD中，AB＝4，

∴AC＝4，

∵N是AO2的中点，点N和E关于BD成轴对称，

∴，

��𝐶1

==

����4

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∴PM∥AB∥CD，∠CME＝90°，

∵∠NCM＝45°，

∴△ECM为等腰直角三角形，

∴CM＝ME＝1，

即PM﹣PN的最大值为1，

故答案为：1．

总结提升：本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线

段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

变式训练

1．（2022•金牛区校级模拟）如图，已知直线yx+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2+bx+c

11

与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C=两2点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上=找2一点M，

使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标（，）

31

−

22

思路引领：根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入yx2+bx+c即可求得函数解析

1

式，据此知抛物线的对称轴．易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称=轴2的对称点B，连接AB交对

称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．

解：∵直线yx+1与y轴交于点A，

1

∴点A的坐标=为2（0，1），

将A（0，1）、B（1，0）坐标代入yx2+bx+c

1

=

得，2

�=1

1

解得2：+�+�=．0

3

�=−2

∴物线的�解=析1式为yx2x+1（x）2；

13131

=2−2=2−2−8

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则抛物线的对称轴为x，B、C关于直线x对称，

33

∴MC＝MB，=2=2

要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．

知直线AB的解析式为y＝﹣x+1

∴，

�=−�+1

3

�=2

解得：．

3

�=2

1

�=−

则M（，）2，

31

−

故答案为2：（2，）．

31

−

总结提升：本2题综合2考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；

求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．

2．（2017秋•太仓市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交

于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且

CP：PD＝1：2，tan∠PDB．

4

（1）则A、B两点的坐标分=别3为A（﹣1，0）；B（3，0）；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC﹣MB|的值最大，则点M的坐标为（1，）．

9

−2

思路引领：（1）先求得抛物线的对称轴为x＝1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，

从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；

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（2）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，设直线

AC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得

解．

解：（1）如图所示：

∵由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，

∴OE＝1．

∵OC∥PE∥BD，CP：PD＝1：2，

∴．

𝐸1

=

∴B�E�＝22．

∴OB＝3．

∴B（3，0）．

∵点A与点B关于PE对称，

∴点A的坐标为（﹣1，0）．

故答案是：﹣1，0；3，0；

（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．

将x＝0代入得：y＝c，

∴点C的坐标为（0，c）．

将x＝1代入得y＝﹣a+c．

∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．

∴PF＝a．

∵PE∥BD，tan∠PDB，

4

=

∴tan∠CPF＝tan∠PDB3．

4

=

∴．3

𝐶14

==

解得𝐶a�．3

3

=

将a代4入抛物线的解析式得：yx2x+c．

333

=4=4−2

将点A的坐标代入得：c＝0，解得：c．

339

++=−

424

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∴抛物线的解析式为yx2x．

339

由三角形的三边关系，=|M4C﹣−M2B−|＜4AC，

∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

则，

9

�=−4

解得−�+�=，0

9

�=−4

9

�=−

∴yx4，

99

∵抛=物−线4对−称4轴为直线x＝1，

∴当x＝1时，y1，

999

=−×−=−

∴点M的坐标为（14，）4．2

9

−

故答案是：（1，）．2

9

−2

总结提升：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函

数的定义，平行线分线段成比例定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解

题的关键．

（3）造桥选址模型

典例3（2020•市中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在

坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四

边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（，0）．

8

3

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思路引领：点A向右平移2单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形

APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可．

解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，

此时MQ+EQ最小，

∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE，

22

∴要使四边形APQE的周长最=小6，+只2要=AP2+E1Q0最小就行，

即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，

设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，

∵△MNQ∽△FCQ，

∴

����

=

∵M𝐶N＝A�B�＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，

∴，

44−�

=

解得2：x�，

4

=

∴BP＝6﹣32，

48

−3=3

故点P的坐标为：（，0）．

8

故答案为：（，0）．3

8

总结提升：本3题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，掌握矩形的性质，灵活运用相似三

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角形是解题的关键

变式训练

1．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，

A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为2．

10

思路引领：将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作

点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．

解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．

则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，

EA′2，

22

∴AC=+BD2的+最6小=值为120．

故答案为：2．10

总结提升：此题10主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．

2．（2021•河北模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，

且FG，点P是BC中点，连接EF，EP，PG，则EF+BG的最小值为（）

��

=2

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A．B．C．D．

思路引2领：连接DG，PD，2首+先2可证四边形EPGF2+为平5行四边形，则EF5＝PG，从而EF+BG＝BG+PG，

而BG＝DG，从而有EF+BG的最小值为为PD的长度，求出PD的值即可．

解：如图，连接DG，PD，

由题意得，EP为△ABC的中位线，

∴EP∥AC，且EP，

1

∵正方形ABCD的=边2长�为�2，

∴AC2，

22

∴EP=�，�F+G��=，2

∴EP=∥FG2且EP=＝F2G，

∴四边形EPGF为平行四边形，

∴EF＝PG，

根据正方形的对称性可知：BG＝DG，

∴EF+BG＝PG+DG，

当P，G，D三点共线时，PG+DG取得最小值，

即此时EF+BG的最小值为线段PD的长度，

在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝2，

∴PD，

2222

=��+��=1+2=5

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故EF+BG的最小值为．

故选：D．5

总结提升：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，

将EF+BG的最小值转化为线段DP的长是解题的关键．

模型二一定点两动点模型

典例4如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，

△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是6cm．

思路引领：由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠

POB，得出∠AOB∠COD，证出△OCD是等边三角形，可得OC＝OD＝CD＝OP，即可得出结果．

1

解：分别作点P关=于2OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、

PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，

∴OC＝OP＝OD，∠AOB∠COD，

1

∴∠COD＝60°，=2

∴△COD是等边三角形，

∴OC＝OD＝CD＝OP，

∵△PMN周长的最小值是6cm，

∴PM+PN+MN＝6cm，

∴DM+CN+MN＝6cm，

即CD＝6cm＝OP，

故答案为：6cm．

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总结提升：本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性

质，证明△COD等边三角形是解决问题的关键．

变式训练

1．（2021秋•工业园区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、

N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是128°．

思路引领：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD

于N点，此时△AMN周长最小．

解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，

∴AM＝EM，AN＝NF，

∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，

由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，

∵∠BAD＝116°，

∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，

∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，

∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，

故答案为：128°．

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总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形的性质是解题的关

键．

2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），P，Q分别是

AC，AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，∠PDQ的度数为100°．

思路引领：作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC

于点P，交AB于点Q，在△DEF中，∠E+∠EDF+∠F＝180°．∠EDF＝∠CDP+∠PDQ+∠QDG．

解：如图，作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC

于点P，交AB于点Q，

则此时△DPQ的周长最小．

∵∠AGD＝∠ACD＝90°，∠A＝40°，

∴∠EDF＝140°，

∴∠E+∠F＝40°．

∵PE＝PD，DQ＝FQ，

∴∠CDP＝∠E，∠QDG＝∠F，

∴∠CDP+∠QDG＝∠E+∠F＝40°，

∴∠PDQ＝140°﹣40°＝100°．

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故答案为：100°．

总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形

是解题的关键．

3．（2021•江州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D

点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为

24

5

思路引领：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE

＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．

解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．

CH，

��⋅��24

∵E=F+C�E�＝E=F′5+EC，

∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，

24

故答案为：5

24

总结提升：本5题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利

用对称，解决最短问题

4．（2020春•昆山市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点G是边CD的中点，点E、F

分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是4．

3

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思路引领：先做对称点再利用垂线段最短求值．

解：连接EC，FC，如图，

在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8，

∴△ACD是边长为8的等边三角形，

∵G是CD的中点，

∴AG⊥CD，

∴AG是CD的垂直平分线，

∴EC＝ED，

∵EF+EC≥FC，CF⊥AD时，CF最小，

∴EF+ED的最小值是等边△ACD的高，

3

×8=43

故答案为：．2

43

总结提升：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键

是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．

5．（2022•兴义市模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，BC＝4，点M，N分别是线段AC，AB上的两个动

点，则BM+MN最小值为．

32

5

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思路引领：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，EN就是所

求的线段．

解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，交AC于M，

则BM+MN的最小值＝EN，

∵AB＝8，BC＝4，

∴AC4，

22

=8+4=5

∴AC边上的高为，

8×485

=

所以BE，455

165

∵∠NBE=+∠5CBE＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，

∴∠NBE＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠ENB，

∴△ABC∽△ENB，

∴，即，

����845

==165

𝑀��𝑀

5

∴EN．

32

=

故答案为5：．

32

5

总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形

的性质求得解．

6．（2021春•乐山期中）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，

B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是（）

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A．4B．5C．D．

52

42

思路引领：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣21，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，则PN′

＝PM+MN的最小值，根据直线AB的解析式为y＝﹣x+4，得出A（4，0），B（0，4），即可得到OA＝

OB，推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到结论．

解：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，

则PN′＝PM+MN的最小值，

∵y＝﹣x+4，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA＝OB，

∴∠BAO＝45°，

∴△PAN′是等腰直角三角形，

∵AN′＝5，

∴PN′，

52

=2

∴PM+MN的最小值是．

52

故选：C．2

总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、

点E位置，属于中考常考题型．

模型三两定点一定线模型

典例4（2021春•玉林期中）如图，已知正方形ABCD边长为6，点E在AB边上且BE＝2，点P，Q分别

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是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的最小周长是4+4．

13

思路引领：根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，

连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

解：如图所示：

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD＝A′D＝6，BE＝BE′＝2，

∴AA′＝12，AE′＝8．

∴A′E′4，

22

∴四边形=AEP1Q2的+周8长=最小1值3＝4+4．

总结提升：本题考查了正方形的性质以13及最短路线的问题，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得

出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．

变式训练

1．（2020•碑林区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边CD、DA上的动点，点G在

对角线AC上，且CG＝3AG，则四边形BEFG的周长的最小值为．

10+74

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思路引领：作G关于AD的对称点G′，作B点关于CD的对称点B′，连接G′B′，交BC于E，交

AD于F，此时BG+GF+EF+EB＝GB+B′G′，即此时四边形BEFG的周长最小，根据勾股定理求得BG、

B′G′，即可求得四边形BEFG的周长的最小值．

解：作G关于AD的对称点G′，作B点关于CD的对称点B′，连接G′B′，交BC于E，交AD于

F，此时BG+GF+EF+EB＝GB+B′G′，即此时四边形BEFG的周长最小，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴AC＝4，

∵CG＝3A2G，

∴AG，

∴TG＝=AT2＝1，

∴GS＝BH＝1，

∴G′H＝1+4＝5，HC＝4﹣1＝3，

∴B′H＝4+3＝7，

∴B′G′