专题14 二次函数-主从联动（瓜豆原理）求最小值（原卷版）

第十四讲二次函数--主从联动（瓜豆原理）求最值

知识导航

必备知识点

一、轨迹为线段

引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨

迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂

线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到

BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，

求Q点轨迹？

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时

候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹

线段．

第1页共9页.

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹

角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

二、轨迹为圆

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

第2页共9页.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP

一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

第3页共9页.

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接

下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

第4页共9页.

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

第5页共9页.

例题演练

1．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接

BC，点P是抛物线上一动点．

（1）求二次函数的表达式．

（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4

倍，求点P的横坐标．

（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰

直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，

请说明理由．

第6页共9页.

2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c

经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积

的，求此时点M的坐标；

（3）如图2，以B为圆心，2为半径的B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是B上一动

点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PA⊙D，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连⊙接FD．求

FD长度的取值范围．

第7页共9页.

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣

3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC

于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当时，求点P的坐标；

（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，

①求满足条件的所有点H的坐标

②当点H在线段AB上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持QH＝，连接BQ，将线段BQ绕着

点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，请直接写出线段MH的取值范围．

第8页共9页.

4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若以点C为圆心，1为半径的圆上有一动点P，连接BP，点Q为线段BP上一点，且BQ＝BP，

求线段OQ的最大值；为线段BP上一点，且BQ＝BP，求线段OQ的最大值；

（2）若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的

圆上，求DE+EF的最小值