专题09 二次函数-将军饮马求最小值（对称）（解析版）

第九讲二次函数--将军饮马求最值（对称）

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一两定点一动点.....................................................................................................................................2

考点二一定点两动点.....................................................................................................................................7

考点三两定点两动点...................................................................................................................................11

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必备知识点

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

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（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的

四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最

短.

考点一两定点一动点

1．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+1过B、

C两点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M（3，1）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE

⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM

的最小值．

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【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1过B、C两点，

当x＝0时，得y＝1，

∴C（0，1），

当y＝0时，代入y＝﹣x+1，得x＝4，

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，1）分别代入y＝﹣x2+bx+c，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；

（2）设点D的坐标为（x，﹣+x+1），

则点E的坐标为（x，﹣x+1），

∴DE＝﹣+x+1﹣（﹣x+1）＝﹣+x+1+x﹣1＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，

∵﹣＜0，

∴当x＝2时，DE有最大值，最大值为1，

此时，点D的坐标为（2，），

∵C（0，1），M（3，1），

∴点C和点M关于对称轴对称，

连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，如图所示：

第3页共17页.

连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），

∴CD＝＝，

∵PD+PM＝PC+PD＝CD，

∴PD+PM的最小值为．

2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c

（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；

【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，

∴B（0，﹣2），

当y＝0时，﹣x﹣2＝0，

∴x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，

，

∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；

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（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，

∴b＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，

∴抛物线的对称轴是：x＝1，

由对称性可得C（4，0），

要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，

如图1，连接BC交直线x＝1于点P，

因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，

此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，

Rt△AOB中，AB＝＝＝2，

Rt△BOC中，BC＝＝＝2，

∴△ABP周长的最小值为2+2；

2

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点

A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得

△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；

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【解答】解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

∴，

∴y＝﹣x2+x+8；

（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，

∴对称轴为直线x＝2，

令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，

∴x＝﹣4或x＝8，

∴C（8，0），

设直线CD的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+4，

过点E作EH⊥x轴交CD于点H，

设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），

∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，

222

∴S△ECD＝×8×（﹣m+m+4）＝﹣m+6m+16＝﹣（m﹣3）+25，

∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，

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此时E（3，），

连接BE，交对称轴于点F，连接CF，

∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，

∴BF＝CF，

∴CF+EF＝BF+EF≥BE，

当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，

∴BE＝＝；

考点二一定点两动点

4．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5

交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标，

并写出△DMN周长的最小值；

第7页共17页.

【解答】解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，

故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），

则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5…①；

（2）过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，

令y＝0，则x＝﹣1或5，

故点A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°，

∵∠OCB＝45°，则CD″∥x轴，则点D″（2，5），

连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，

将点D′、D″的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

m＝4，n＝﹣3，故：直线D′D″的坐标代入一次函数表达式为：y＝4x﹣3，

则点M、N的坐标分别为（，）、（，0），

△DMN周长的最小值＝DM+DN+MN＝D′D″＝＝2；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中

点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求

△DEF周长的最小值；

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【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，

D2F，D1D2．

由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，

∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或3，

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∴B（3，0），

∴OB＝OC＝3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），

∴D2（1，﹣3），

∵D，D1关于x轴对称，

∴D1（0，2），

∴D1D2＝＝＝，

∴△DEF的周长的最小值为．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物

线为．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛

物线于点E．

（1）当DE＝2时，求四边形CAEB的面积；

（2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△

BPQ周长的最小值；

【解答】解：（1）设点C的横坐标为m，

由CD⊥x轴得：xE＝xD＝m．

2

则有yE＝﹣m﹣m+2，yD＝m+2．

2

则DE＝yE﹣yD＝（﹣m﹣m+2）﹣（m+2）＝2．

解得：m1＝m2＝﹣2．

2

则yE＝﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）+2＝3．

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由x+2＝0得x＝﹣4，则A（﹣4，0），OA＝4．

则S四边形CAEB＝S△ACE+S△BCE

＝CE•AO＝×3×4＝6．

（2）过点B作CE的对称点B′，作x轴的对称点B″，连接PB′、QB″、B′B″，如图2，

则点B′必在抛物线上，且yB′＝yB，OB″＝OB，PB′＝PB，QB″＝QB．

则△BPQ的周长＝PB+PQ+QB＝PB′+PQ+QB″．

根据“两点之间线段最短”可得：

当B′、P、Q、B″共线时，△BPQ的周长最小，最小值等于B′B″的长．

当x＝0时，y＝×0+2＝2，则点B（0，2）．

则有OB″＝2．

2

解方程﹣x﹣x+2＝2得：x1＝0，x2＝﹣3．

则点B′的坐标为（﹣3，2）．

在Rt△BB′B″中，

∵∠B′BB″＝90°，BB′＝3，BB″＝2+2＝4，

∴B′B″＝5．

∴△BPQ的周长的最小值为5．

考点三两定点两动点

7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，

其中点B的坐标为（3，0）

第11页共17页.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线

PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，

F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说

明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）

∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4

∵点B（3，0）在抛物线上

∴a（3﹣1）2+4＝0

解得：a＝﹣1

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．

如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'

∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3

∴D（0，3）

∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0

解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴A（﹣1，0）

∵点E在抛物线上且横坐标为2

2

∴yE＝﹣2+2×2+3＝3

∴E（2，3）

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∴点D、E关于对称轴对称

∴DG＝EG

设直线AE解析式为y＝kx+e

∴解得：

∴直线AE：y＝x+1

∴F（0，1）

∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2

∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H

∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小

∵EF'＝

∴C四边形DGHF＝2+2

设直线EF'解析式为y＝mx﹣1

∴2m﹣1＝3

∴m＝2

∴直线EF'：y＝2x﹣1

当y＝0时，解得x＝

∴H（，0）

当x＝1时，y＝2﹣1＝1

∴G（1，1）

∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．

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8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（1，4），交x轴于A、B两点，且经过点C（2，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，M为线段O、B之间一动点，N为y轴正半轴上一动点，是否存在使M、C、D、N

四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及M、N的坐标；若不存在，请说明理由；

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，

将C（2，3）代入，解得：a＝﹣1

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3．

（2）作D（1，4）关于y轴对称点G（﹣1，4），

C（2，3）关于x轴对称点H（2，﹣3），

∵CD是一个定值，∴要使四边形MCDN的周长最小，

只要使DN+MN+MC最小即可

由图形的对称性，可知，

DN+MN+MC＝GN+NM+HM，

只有当GH为一条直线段时，

可求得：CD＝，GH＝，

∴四边形MCDN的周长最小为+，

此时直线GH为y＝﹣x+，

∴点N（0，），点M（，0）．

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9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两

点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如