专题07 二次函数-面积最大值问题（原卷版）

第七讲二次函数--面积最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一三角形面积的最大值.........................................................................................................................1

考点二四边形面积的最大值.........................................................................................................................3

考点三图形面积和、差、比的最大值.........................................................................................................5

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必备知识点

考点一三角形面积的最大值

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l

与抛物线交于A、D两点，点D的坐标为（4，n）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标

及该面积的最大值；

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2．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，

0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣

2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，

过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大

值及此时点P的坐标．

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4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P点为一象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△

BDP面积的最大值以及此时P点坐标；

考点二四边形面积的最大值

5．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x

＝交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）点E是线段BC上的一个动点．过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点

H，连接CF、BF、OE．当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．

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6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于

点C，且OC＝3．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的

最大值，以及此时点P的坐标；

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），

交y轴于点C，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．

（1）求点D的坐标；

（2）点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PE

∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；

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8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，

y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y

轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；

考点三图形面积和、差、比的最大值

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣，0）、B（1，0）两点，

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥BC交线段AC上方的抛物线于点E，

过点E作EM∥y轴交直线AC于点M，过点D作DN⊥EM于点N，求阴影部分面积S的最大值

和此时点E的坐标．

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10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A的坐标；

（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于

E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的

坐标；

11．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面

积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；

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12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．

（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；

（2）点