专题06 二次函数-周长最大值问题（原卷版）

第六讲二次函数--周长最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一三角形周长的最大值.........................................................................................................................1

考点二四边形周长的最大值.........................................................................................................................4

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必备知识点

考点一三角形周长的最大值

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴

为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在

射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长

的最大值；

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2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x+4的交点分别位于x轴、y轴上的A、B两

点，与x轴的另一交点为C（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过

点P作PR⊥x轴交AB于点R．求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；

3．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y

轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，

过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；

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4．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，已知抛物线顶点坐

标为（﹣1，﹣）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，点P是抛物线上位于直线AC下

方的一个动点，过点P作PN∥y轴，交BD于点N，点M是直线BD上异于点N的一点，且PN

＝PM，连接PM，求△PNM的周长最大值以及此时点P的坐标；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B

左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；

（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于

点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；

（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P

的坐标．

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6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA＝1，tan

∠ABC＝．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x轴交

BC于H，求△PQH周长最大值及此时点P的坐标；

考点二四边形周长的最大值

47．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜2．分

别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN是平行四边形，

并求其周长的最大值；

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8．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段OA上有一动点P（不与

O、A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，交抛物线于点M．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点N为线段AB下方抛物线上一动点，点D是线段AB上一动点；

①若四边形CMND是平行四边形，证明：点M、N横坐标之和为定值；

②在点P、N、D运动过程中，平行四边形CMND的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点

D的坐标，若不存在，说明理由．

9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于

点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于

点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点

P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

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10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

连接AC、BC．

（1）直接写出点A的坐标和直线BC的解析式；

（2）如图1，点D是抛物线第一象限上一点，∠DBA＝∠ACB，求点D的横坐标；

（3）如图2，点M是BC上方抛物线上的动点，过点M作MN∥BC交抛物线于另一点N，过点

M作ME∥y轴交BC于点E，过点N作NF∥y轴交BC于点F，求四边形MEFN周长的最大值．

2

11．如图，抛物线C1：y＝ax+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，

其顶点为D，将该抛物线沿直线l：y＝m（0≤m＜）折叠后得到抛物线C2，折痕与抛物线C1，

交于点G，H两点．

（1）求抛物线C1的函数袤达式；

（2）如图2，当m＝0时，动点M，N在抛物线C1上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），

过M，N分别作y轴的平行线交抛物线C2于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩

形周长的最大值；

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12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（2，0），C（0，﹣3）．