专题06 二次函数-周长最大值问题（解析版）

第六讲二次函数--周长最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一三角形周长的最大值.........................................................................................................................1

考点二四边形周长的最大值.......................................................................................................................12

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必备知识点

考点一三角形周长的最大值

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴

为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在

射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长

的最大值；

第1页共22页.

【解答】解：（1）根据题意得：，

解得：，

∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+6x+3；

（2）如图1，过点P作PK⊥CN于点K，设直线CN交x轴于点M，

令x＝0，得y＝3，

∴C（0，3），

设直线CN的解析式为y＝kx+n，把C（0，3）、N（﹣4，﹣5）代入得：

，

解得：，

∴直线CN的解析式为y＝2x+3，

令y＝0，得2x+3＝0，

解得：x＝﹣，

∴M（﹣，0），

∴OM＝，

∵C（0，3），

∴OC＝3，

在Rt△CMO中，CM＝＝＝，

设P（t，t2+6t+3），则H（t，2t+3），

第2页共22页.

∴PH＝（2t+3）﹣（t2+6t+3）＝﹣t2﹣4t，

∴PG＝﹣t2﹣4t，

∵PH＝PG，PK⊥HG，

∴HG＝2HK，

∵PK⊥CN，

∴∠PKH＝∠MOC＝90°，

∵PH∥y轴，

∴∠PHK＝∠MCO，

∴△PHK∽△MCO，

∴＝，即＝

∴HK＝（﹣t2﹣4t），

∴HG＝（﹣t2﹣4t），

∴△PGH周长＝PH+PG+HG＝（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）＝﹣（t2+4t）

＝﹣（t+2）2+，

∵﹣＜0，﹣4＜t＜0，

∴当t＝﹣2时，△PGH周长取得最大值，此时点P的坐标为（﹣2，﹣5）；

2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x+4的交点分别位于x轴、y轴上的A、B两

点，与x轴的另一交点为C（﹣2，0）．

第3页共22页.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过

点P作PR⊥x轴交AB于点R．求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）由题意可知，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（3，0），B（0，4），

将A（3，0），B（0，4），C（﹣2，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），

∴，解得．

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．

（2）由（1）知OC＝2，OB＝4，OA＝3，

如图，过点Q作QM⊥PR于点M，

∴∠BOC＝∠QMP＝90°，

∵BC∥PQ，PR∥y轴，

第4页共22页.

∴∠OBC＝∠QPR，

∴△OBC∽△MPQ，

∴OC：OB＝MQ：PM＝2：4；

∵PR∥y轴，

∴∠OBA＝∠QRP，

∴△OBA∽△MRQ，

∴OB：OA＝MR：QM＝4：3，

设QM＝3m，则PM＝2QM＝6m，RM＝4m，

∴QR＝5m，QP＝3m，PR＝10m，

∴△PQR的周长为PQ+QR+PR＝15m+3m＝（15+3）m＝PR，

若求△PQR的周长的最大值，求出PR的最大值即可；

设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+t+4），R（t，﹣t+4），

∴PR＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣）2+，

∴当t＝时，PR的最大值为，

此时P（，），△PQR周长的最大值为×＝．

3．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y

轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，

过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；

【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：

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，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），

设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：

﹣4k+2＝0，

解得k＝，

∴直线AC解析式为y＝x+2，

设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），

∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，

∵MQ∥x轴，MN∥y轴，

∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，

∴△QMN∽△AOC，

∴＝＝，即＝＝，

∴MQ＝2MN，NQ＝MN，

∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）

＝﹣（x+2）2+6+2，

∵﹣＜0，

∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；

4．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，已知抛物线顶点坐

标为（﹣1，﹣）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，点P是抛物线上位于直线AC下

方的一个动点，过点P作PN∥y轴，交BD于点N，点M是直线BD上异于点N的一点，且PN

第6页共22页.

＝PM，连接PM，求△PNM的周长最大值以及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线顶点D（﹣1，﹣）．

∴设抛物线为：y＝ax2+x+c＝a（x+1）2﹣＝ax2+2ax+a﹣．

∴2a＝，c＝a﹣．

∴a＝，c＝﹣2．

∴抛物线为：y＝（x+1）2﹣＝x2+x﹣2；

（2）当y＝0时，x2+x﹣2＝0．

解得x＝﹣4或x＝2．

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

当x＝0时，y＝﹣2．

∴C（0，﹣2）．

设直线AC的解析式y＝kx﹣2，

代入A（﹣4，0）得，0＝﹣4k﹣2．

解得k＝﹣，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，

∵BD∥AC，

设BD的解析式y＝﹣x+b，

代入B（2，0）得，0＝﹣1+b．

解得b＝1，

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∴直线BD的解析式y＝﹣x+1，

∴T（0，1），

过点P作PH⊥MN于H，

∴∠NPH+∠PNM＝90°，

∵∠ABN+∠PNM＝90°，

∴∠NPH＝∠ABN，

∴sin∠NPH＝sin∠ABN，

∴，

∴PN＝NH，

NH＝PN，

∵PN＝PM，PH⊥MN，

∴MN＝2NH，

∴△PNM的周长＝PN+PM+MN＝2PN+PN＝PN，

设P（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x+1），

∴PN＝﹣x+1﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+2）2+4，

∴当x＝﹣2时，PN的值最大值为4，

∴△PNM的周长最大值为PN＝，

此时点P的坐标为（﹣2，﹣2）；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B

左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；

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（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于

点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；

（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P

的坐标．

【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3的表达式知：C（0，3），

∴OC＝3，

∵∠OBC＝30°，

∴OB＝＝3，

∴B（3，0），

又OB＝3OA，即3＝3OA，

∴OA＝，

∴A（﹣，0），

将A（﹣，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，

解得：，

∴y＝﹣x2+x+3；

（2）延长PF交x轴于点E，如图：

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设直线BC表达式为y＝sx+t，将B（3，0），C（0，3）代入得：

，解得，

∴直线BC的表达式为y＝x+3，

设点P（m，），则点F（m，m+3），

∴PF＝l＝

＝m﹣3

＝；

（3）∵∠OBC＝30°，

∴∠BFE＝60°＝∠PFD，

∵PD⊥BC，

∴∠P＝30°，

在△中，＝°＝，＝°＝，

RtPDFPDcos30⋅PFPFDFsin30⋅PFPF

∴△PDF的周长＝PD+PF+DF＝（+1+）PF＝PF，

∴PF最大时，△PDF的周长最大，

而由（2）知：PF＝l＝＝﹣（x﹣）2+，

∴当m＝时，l最大＝，即PF最大为，

此时，△PDF的周长＝，

∴点P的坐标为（，），△PDF的周长最大值为．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA＝1，tan

∠ABC＝．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x轴交

BC于H，求△PQH周长最大值及此时点P的坐标；

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【解答】解：（1）由题意得：C（0，﹣3），

∴OC＝3，

∵∠BOC＝90°，

∴tan∠ABC＝＝，

∴，

∴OB＝4，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

∴，

∴，

∴y＝﹣x﹣3；

（2）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3），

∴直线AB的关系式为：y＝﹣3，BC＝5，AB＝5，AC＝，

设点P（a，﹣），

由＝﹣a﹣3得，

x＝a2﹣3a，

∴H点的横坐标为：a2﹣3a，

∴PH＝a﹣（a2﹣3a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，

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∴当a＝2时，PH最大＝4，

当a＝2时，﹣﹣3＝﹣，

∴P（2，），

设△PQH的周长记作l1，△ABC周长记作l，

∵PQ∥AC，PH∥AB，

∴∠PQH＝∠ACB，∠QHP＝∠ABC，

∴△PQH∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴l1最大＝；

考点二四边形周长的最大值

7．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜2．分

别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN是平行四边形，

并求其周长的最大值；

【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，

令y＝0，则x＝4，即点B是（4，0）

第12页共22页.

令x＝0，则y＝﹣3，即点C是（0，﹣3）．

把点B（4，0），点C（0，﹣3）．

代入到抛物线y＝x2+bx+c中．得．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3

（2）∵若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，

22

∴y1＝m−m−3，y2＝（4﹣m）−（4﹣m）−3．

∵直线BC的解析式为y＝x﹣3．

∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，

∴D（m，m−3），E（4﹣m，﹣m）．

∴MD＝﹣（m2﹣m﹣3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+4m，

∴EN＝﹣（4﹣m）2+4（4﹣m）＝﹣m2+4m．

∴MD＝EN．

∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，

∴MD∥EN．

∴四边形MDEN为平行四边形．

过D作DF⊥NE于F，则DF＝4﹣2m，如图，

∵B（4，0），C（0，﹣3）．

∴OB＝4，OC＝3．

∴BC＝5．

∵DF∥OB．

第13页共22页.

∴∠EDF＝∠OBC．

∵∠COB＝∠DFE＝90°，

∴△DFE∽△BOC．

∴＝．

∴＝．

∴DE＝（2﹣m）．

∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2（﹣m2+4m）+2×（2﹣m）＝﹣2m2+3m+10．

∵﹣2m2+3m+10＝﹣2（m−）2+，

又﹣2＜0，

∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值．

8．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段OA上有一动点P（不与

O、A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，交抛物线于点M．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点N为线段AB下方抛物线上一动点，点D是线段AB上一动点；

①若四边形CMND是平行四边形，证明：点M、N横坐标之和为定值；

②在点P、N、D运动过程中，平行四边形CMND的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点

D的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A（4，0），点B（0，﹣3），

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

第14页共22页.

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3；

（2）①如图，过点D作DF⊥PM于F，

∵四边形CMND是平行四边形，

∴CM∥DN，CD∥MN，

设MN解析式为y＝x﹣3﹣n，

联立方程组得：，

∴0＝x2﹣3x+n，

∴xM+xN＝﹣＝4；

②设点P（m，0），则点C（m，m﹣3），点M（m，m2﹣m﹣3），

∴AP＝4﹣m，MC＝（m﹣3）﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+3m，

∵xM+xN＝4，

∴点N的横坐标为4﹣m，

∴DF＝4﹣2m，

∵点A（4，0），点B（0，﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

第15页共22页.

∴AB＝＝＝5，

∵PC∥OB，

∴∠DCF＝∠OBA，

∵cos∠DCF＝cos∠OBA＝＝，

∴DC＝（4﹣2m）＝5﹣，

∵平行四边形CMND的周长＝2×（CM+CD）＝2×（﹣m2+3m+5﹣）＝﹣m2+m+10＝﹣

（m﹣）2+，

∴当m＝时，平行四边形CMND的周长有最小值，

∴点C（，﹣），

则D（，﹣）；

当M，N位置对调，C，D位置对调，也满足题意，

此时：点D（，﹣），C（，﹣）；

综上所述：点D（，﹣）或（，﹣）．

9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于

点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于

点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点

P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

【解答】方法一：

解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），

第16页共22页.

令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1，

设M点的横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）

2+10，

∴当m＝﹣2时矩形的周长最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y＝kx+b，

解得k＝1，b＝3，

∴解析式y＝x+3，当x＝﹣2时，则E（﹣2，1），

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝•AM•EM＝．

10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

连接AC、BC．

（1）直接写出点A的坐标和直线BC的解析式；

（2）如图1，点D是抛物线第一象限上一点，∠DBA＝∠ACB，求点D的横坐标；

（3）如图2，点M是BC上方抛物线上的动点，过点M作MN∥BC交抛物线于另一点N，过点

M作ME∥y轴交BC于点E，过点N作NF∥y轴交BC于点F，求四边形MEFN周长的最大值．

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣3＝0，

解得x＝1或x＝4，

第17页共22页.

∴A（1，0），B（4，0），

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x﹣3；

（2）∵A（1，0），B（4，0），C（0，﹣3），

∴AB＝3，BC＝5，

过点A作AH⊥BC交于点H，过点D作DG⊥x轴交于点G，

设D（t，﹣t2+t﹣3），

∵tan∠OBC＝，

∴＝，

∴AH＝，BH＝，

∴CH＝，

∴tan∠ACB＝＝，

∵∠DBA＝∠ACB，

∴＝＝，

解得t＝，

∴D点的横坐标为；

（3）∵BC的直线解析式为y＝x﹣3，

∵MN∥BC，

设MN的直线解析式为y＝x+h，

第18页共22页.

设N（n，﹣n2+n﹣3），则F（n，n﹣3），

∴NF＝﹣n2+3n，

联立方程组，

整理得3x2﹣12x+12+4b＝0，

∴xN+xM＝4，

∴xM＝4﹣n，

∴M（4﹣n，﹣n2+n），

∴MN＝|n﹣2|，

∵四边形MEFN是平行四边形，

∴四边形MEFN周长＝2MN+2NF＝2（MN+NF）＝2（|n﹣2|﹣n2+3n），

当n≥2时，四边形MEFN周长＝2（﹣n2+n﹣5）＝﹣（n﹣）2+，

∴当n＝时，四边形MEFN周长的最大值为；

当0＜n＜2时，四边形MEFN周长＝2（﹣n2+n+5）＝﹣（n﹣）2+，

∴当n＝时，四边形MEFN周长的最大值为；

综上所述：四边形MEFN周长的最大值为．

2

11．如图，抛物线C1：y＝ax+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，

其顶点为D，将该抛物线沿直线l：y＝m（0≤m＜）折叠后得到抛物线C2，折痕与抛物线C1，

第19页共22页.

交于点G，H两点．

（1）