专题29圆与相似及三角函数综合问题（原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题29圆与相似及三角函数综合问题

【例1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线

与相切于点．𝐴𝐵⊙������𝐴

⊙��

(1)如图1，若，且，求证：平分；

(2)如图2，连接∠𝐴�，=若30°��=��，求证：��∠𝐴�．

𝐴∠���=2∠𝐴�△�𝐴∽△𝐵�

【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯

的中点为�,𝐴��𝐸,𝐸//𝐴,

��⊥𝐴,𝐸�,��=4.

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．

(2)如图②，一�个�玻璃镜与圆相�切，𝐴为切点𝐶，=为1.6,�上�一=点0.，8,�为�入射光线，为反射光线，

求的长�度．��𝐴����∠�𝐶=∠���=

3

(435)°如,t图an③∠�，��是=线4,段��上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到

的过程中，求�点的运𝐴动路径长．��∠�𝐶=50°,����,���

�

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【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点

D，点E分别是半径的中点，连接��⊙，�且．⊙���,𝐴

��,𝐴𝐵,��,��∠���=2∠�𝐴

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，延长∠交𝐵�于=点∠�F�，�若，求证：；

(3)如图3，在（�2）�的�条�件下，点G�是�⊥�上�一点，连接��=��，若，，求的长．

��𝐴,��,𝐴,𝐸𝐴:��=5:3𝐴=2𝐸

【例4】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在的内接中，，，作

于点P，交于另一点B，C是上的一个动点⊙（不�与A，△M�重�合�），射∠�线��交=线90段°𝐶的=延2长��线于点𝐴D⊥，�分�

别连接和⊙�，交于点E．𝐶����

��������

(1)求证：．

(2)若△𝐶，�∽△𝐴�，求的长．

(3)在�点�C=运1动0过�程�中=，�当���时，求的值．

3��

tan∠���=4��

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一、解答题【共20题】

1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，

的延长线于点E和F，连接交于点N⊙，�△的𝐴平�分线交𝐸于点⊙M�．𝐸∥��𝐴��

𝐵��∠𝐴���𝐵

(1)求证：平分；

(2)若𝐵∠，���，求线段的长．

𝐴:��=5:2𝐵=14��

2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连

接、、，且．𝐵⊙�⊙���

𝐴��𝐵∠���=∠𝐵�

(1)求证：直线是的切线；

(2)若�，�求⊙�的值；

(3)在（��2）=的2�条�件下，ta作n∠𝐵�的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．

∠�𝐵��⊙�𝐵��𝐵𝐴=26��⋅��

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3．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，

AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．��

∥

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若，CG＝2，求阴影部分的面积．

��=��3

4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交

的延长线于点，与交于点，连⊙接�，△若𝐴�𝐴．⊙��⊙�𝐸∥��𝐴

1

���𝐴���∠���=2∠𝐴�

(1)求证：是的切线．

(2)若𝐸，⊙�，求的半径．

3

��=2sin∠���=5⊙�

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5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF

＝∠B．

(1)求证：AF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．

△

6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中

点，过点D作于点G，交BA的△延�长�线�于点H．⊙�

��⊥��

(1)求证：直线HG是的切线；

(2)若⊙，�求CG的长．

2

��=3,cos�=5

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7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC

于点E，，垂足为H，连接DE并△延𝐴长�交BA𝐴的=延�长�线于点F．�

��⊥��

(1)求证：DH是⊙的切线；

(2)若E为AH的中�点，求的值．

𝐸

��

8．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，

平分，与交于点．𝐴⊙����∠�𝐵=∠�𝐵��=2��

∠�𝐵�����

(1)求证：是的切线；

(2)若��⊙�，求的长；

2

(3)延长tan∠�，��=交于2点，𝐸若，求的半径．

��𝐴�𝐴=��⊙�

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9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直

线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)求AD的长．

10．（2022·山东济宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接

OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．

����=𝐸

(1)求证：DF与半圆相切；

(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．

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11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相

切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交𝑅于△点�M��．∠�=90°⊙�

(1)求证：四边形EMFC是矩形；

(2)若，的半径为2，求FM的长．

��=5⊙�

12．（2022·辽宁大连·中考真题）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，

与的延长线相交于点E．𝐴⊙�⊙�𝐵⊥��⊙�

��

(1)如图1，求证；

(2)如图2，连接∠�，=若∠�的半径为2，，求的长．

𝐵⊙���=3𝐵

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13．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作

的切线EF，交AB的延长线于点E，⊙交�AC的延长线于点⊙F�．⊙�

⊙�

(1)求证：；

(2)若𝐸，⊥𝐸，，求BE的长．

𝐸=1��=2𝐴=4

14．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，

连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分𝐴线DG交

AF于点G，交FB于点H．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)求sin∠FHG的值；

(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．

42

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15．（2022·广西河池·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，

过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．

(1)求证：PC为⊙O的切线；

(2)若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．

22

16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与

BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接△O�D�并�延长交CB的延长线于点F，．⊙�

∠�𝐵=∠�𝐵

(1)连接AF，求证：AF是的切线；

(2)若，，求⊙F�D的长．

��=10��=6

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17．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一

点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．

(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．

3

5

18．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，

AC与OD相交于点E．⊙�