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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题26以旋转为载体的几何综合问题
【例1】(2022·山东济南·中考真题)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,
连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;
(2)延长ED交直线BC于点F.
①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为_______;
②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析
(2)①𝐵=𝐶;②,理由见解析
𝐶=𝐶+𝐶∠�𝐵=45°
【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到,再由全等
三角形的性质求解;△�𝐵≌△�𝐶���
(2)①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形,
由等边三角形的性�质�和(1)的结论来求解;②6过0°点A作𝐶△�于�点�G,连接AF,根据等
边三角形的性质和锐角三角函数求值得到�,�⊥��,进而得到
𝐴𝐸
,进而求出,结合∠�,�E�D==∠E�C�得�到𝐵=��,再用等腰△直��角�三∽角△形
�的�性�质求解.∠𝐵�=90°𝐵=𝐶𝐵=𝐵
(1)
解:.
证明:𝐵∵=𝐶是等边三角形,
∴△,���.
∵�线�段=��绕点∠�A�按�逆=时60针°方向旋转得到,
∴𝐵,,60°𝐶
∴𝐵=𝐶∠��,�=60°
∴∠���=∠�𝐶,
∠���−∠���=∠�𝐶−∠���
第1页共68页.
即.
在∠�𝐵=和∠�𝐶中
△�𝐵△�𝐶
,
��=��
∠�𝐵=∠�𝐶
∴,
𝐵=𝐶
∴△�𝐵≌;△�𝐶���
(�2)�=𝐶
解:①
理由:�∵�线=段𝐶+绕�点�A按逆时针方向旋转得到,
∴是等�边�三角形,60°𝐶
∴△𝐵�,
由(𝐵1)=得��=𝐶,
∴𝐵=𝐶;
②�过�点=A�作�+𝐵=�于�点+G�,�连接AF,如下图.
𝐴⊥��
∵是等边三角形,,
∴△𝐵�,𝐴⊥��
1
∴∠�𝐴=2∠�𝐶=3.0°
𝐴3
∵𝐵=co是s∠等�边𝐴三=角2形,点F为线段BC中点,
∴△���,,,
1
∴𝐸=𝐸𝐸⊥��,∠�𝐸=2∠���=30°
𝐸3
∴��=cos∠�𝐸=,2,
𝐴𝐸
∴∠�𝐸=∠�𝐴𝐵=��,
即∠�𝐸+∠�𝐸,=∠�𝐴+∠�𝐸
∴∠�𝐵=∠�𝐴,
∴△�𝐵∽△�𝐴.
∵∠𝐵�=,∠𝐴�==90,°
∴𝐵=𝐶,����
即𝐵=�是�等腰直角三角形,
△�𝐵
第2页共68页.
∴.
【点∠�睛𝐵】本=题45主°要考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直
角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,理解相关知识是解答
关键.
【例2】(2022·山东菏泽·中考真题)如图1,在中,于点D,
在DA上取点E,使,连接BE、CE.△���∠���=45°,𝐵⊥��
��=��
(1)直接写出CE与AB的位置关系;
(2)如图2,将绕点D旋转,得到(点,分别与点B,E对应),连接、,
′′′′′
在旋转△的�过��程中与的位置△关�系�与�(1�)中�′的CE与AB的位置关系是否𝐶一致�?�请
′
说明△理𝐶由�;𝐶′��
(3)如图3,当绕点D顺时针旋转30°时,射线与AD、分别交于点G、F,若
′
,△求𝐶�的长.𝐶′��𝐴=
′
�【�答,�案�】=(1)3CE⊥�AB�,理由见解析
(2)一致,理由见解析
(3)
53
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°,∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,
可得结论;
(2)通过证明,可得,由余角的性质可得结论;
′′′′
(3)由等腰直角△的𝐵性�质≅和△直𝐵角�三角形的∠性��质�可=得∠�𝐶,即可求解.
′
【详解】(1)如图,延长CE交AB于H,��=3𝐵
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∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,∠ABC=∠DAB=45°,
∵DE=CD,
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°,
∴CE⊥AB;
(2)在旋转的过程中与的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致
′
的,理由△如�下��:𝐶′��
如图2,延长交于H,
′′
𝐶��
由旋转可得:CD=,=AD,
′′
∵∠ADC=∠ADB=�90�°,��
∴,
′′
∵∠𝐵�=∠𝐵,�
𝐵𝐵
′′
∴��=��=1,
′′
△𝐵�∼△𝐵�,
′′
∴∵∠���+=∠∠D�G�C�=90°,∠DGC=∠AGH,
′
∴∠�D�A�+∠AGH=90°,
′
∴∠AHC�=90°,
;
′′
∴(�3�)如⊥图��3,过点D作DH于点H,
′
⊥��
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∵△BED绕点D顺时针旋转30°,
∴,
′′
∠𝐵�=30°,𝐵=𝐵=𝐵,
′′′
∴∠𝐵�=120°,∠���,=∠���=30°
′′
∵∴�A�D=⊥2D�H�,,�A�H==��DH=,
′
,3��
′
∴由�(�2)=可3知𝐵:,
′′
△𝐵�∼,△𝐵�
′′
∴∵∠A�D�⊥�BC=,∠C�D𝐶==,30°
∴DG=1,CG=2DG3=2,
∴CG=FG=2,
,
′′
∵∴∠A�G�=�2G=F=340,°,��⊥��
∴AD=AG+DG=4+1=5,
∴.
'
【点��睛=】本3题𝐵是=三5角形3综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,旋转的性质,
相似三角形的判定和性质等知识,证明三角形相似是解题的关键.
【例3】(2022·内蒙古通辽·中考真题)已知点在正方形的对角线上,正方形
与正方形有公共点.���𝐵��𝐸��
��𝐵�
(1)如图1,当点在上,在上,求的值为多少;
2𝐶
�𝐵���2��
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(2)将正方形绕点逆时针方向旋转,如图2,求:的值为多少;
𝐶
(3)�,����,将正方形�(0绕°<逆�时<针90方°)向旋转��,当,,
2
三�点�共=线8时2,�请�直=接2写�出�的长度.𝐸����(0°<�<360°)��
�【答案】(1)2��
(2)
(3)2或
46−4246+42
【分析】(1)根据题意可得,根据平行线分线段成比例即可求解;
(2)根据(1)的结论,可得��∥��,根据旋转的性质可得,进而证明
𝐴𝐵1
,根据相似三�角�形=的��性=质2即可求解;∠�𝐴=∠�𝐶
△(3�)𝐵分∽两△种�情��况画出图形,证明△ADG∽△ACE,根据相似三角形的判定和性质以及勾股
定理即可得出答案.
(1)
解:正方形与正方形有公共点,点在上,在上,
∵𝐸����𝐵��𝐵���
∴��∥��
𝐴𝐶
∴=
����
��𝐶
四边形是正方形∴=
��𝐴
∵𝐸��
∴𝐶=2𝐴
2𝐶2𝐶2𝐶
∴(2)2��=��=𝐴=2×2=2
解:如图,连接,
𝐶
正方形绕点逆时针方向旋转,
∵𝐸����(0°<�<90°)
∴∠�𝐴=∠�𝐶
𝐴𝐵1
∵==
𝐶��2
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,∴△�𝐵∽△���
𝐶��
∴(3�)�=𝐵=2
解:①如图,
,,
2
∵��=82𝐴,=2𝐵,,
2
∴𝐵=三��点=共8线2,𝐴=2×82=8��=2��=16
∵�,�,�中,,
2222
Rt△𝐴���=��−,𝐴=16−8=83
∴由�(�2=)�可�知−��=83−8,
△�,𝐵∽△���
𝐶��
∴��=��=2.
��⋅𝐶82×83−8
∴②�如�图=:��=16=46−2=46−42
由(2)知ADG∽△ACE,
∴△,
��𝐵2
∴D𝐶G==��C=E,2
2
∵四边形2ABCD是正方形,
∴AD=BC=8,AC=,
22
∵AG=AD,2��+��=16
2
2
第7页共68页.
∴AG=AD=8,
2
∵四边形2AFEG是正方形,
∴∠AGE=90°,GE=AG=8,
∵C,G,E三点共线.
∴∠AGC=90°
∴CG=,
2222
∴CE=CG��+EG−=�8�+=8,16−8=83
∴DG=CE=3.
2
综上,当2C,4G,6E+三4点2共线时,DG的长度为或.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,相似4三6角−形4的2性质4与6判+定4,2正方形的性质,勾股
定理,旋转的性质,综合运用以上知识是解题的关键.
【例4】(2022·山东潍坊·中考真题)【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处,
将甲绕点O顺4时5°针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,
并连接,如图③所示,交于E,交于F,通过证明,可得
𝐴.,𝐷��������△�𝐶≌△�𝐸
�请�你=证�明�:.
𝐴=𝐷
【迁移应用】
延长分别交所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明与的位.置.关系.
【拓�展�延伸】��,����𝐷
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接,
如图⑥所示,其他条件不变,3请0°你猜想并证明与的数.量.关系.��,𝐴
𝐴𝐷
第8页共68页.
【答案】证明见解析;垂直;
【分析】证明�,�即=可得3�出�结论;通过,可以求出
△𝐻�,≅△得�出�结�论;证明∠𝐷�=∠�,��得出∠��,�得+出
𝐴��3
∠结�论�;�+∠���=90°𝐴⊥𝐷△𝐻�∽△𝐻�𝐷=��=3
【详解】证明:,
∵��=�,�,𝐻⊥��
∴��=��,∠𝐻�=90°,
∵∠𝐻�+∠𝐻�,=90°,∠𝐻�+∠𝐻�=90°
∴∠𝐻�=∠,𝐻�
∵��=��,
∴△𝐻�≅△;𝐻�
∴迁移𝐴应=用�:�,
证明:��⊥𝐷,
∵△𝐻�≅,△𝐻�
∴∠𝐷�=∠𝐴�,
∵∠���+∠𝐴�=45°,
∴∠���+∠𝐷,�=45°
∵∠���=45°,
∴∠���+∠𝐷,�+∠���=90°
∴∠���=9;0°
∴拓展��延⊥伸�:�,
证明:在𝐷=中3�,�,
��3
在𝑅△中�,��tan30°=�,�=3
��3
𝑅△��,�tan30°=��=3
����
∴由上��一=问��题可知,,
,∠𝐻�=∠𝐻�
∴△𝐻�∽△�,��
𝐴��3
∴𝐷=��=3.
∴【点𝐷睛=】本3题𝐴考查旋转变换,涉及知识点:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与
性质、锐角三角函数、等角的余角相等,解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.
【例5】(2022·辽宁锦州·中考真题)如图,在中,,D,E,
F分别为的中点,连接.△�����=��=25,��=4
��,��,����,��
第9页共68页.
(1)如图1,求证:;
5
(2)如图2,将�绕�点=D2�顺�时针旋转一定角度,得到,当射线交于点G,射线
交于点∠N�时�,�连接并延长交射线于点M,判∠�断��与的�数�量关��系,并说明理
�由�;����������
(3)如图3,在(2)的条件下,当时,求的长.
【答案】(1)见解析��⊥����
(2),理由见解析
5
(3)��=2��
10
3
【分析】(1)连接,可得,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
,根据�中�位线定�理�可⊥得��,即可得证;��=
11
(2�2�)=证明5,根据�(�1=)2的��结=论2即可得;
5
(3)连接△�,�过�点∽△作���于,证明��=,2可�得�,勾股定
145
理求得𝐸,根据�𝐷⊥���,△𝐴�∽△𝐷,�可得��=2��=5,进而
𝐴3��3
求得�,�,根𝐴据tan∠𝐵�求=得��=4,根∠�据�(�2=)∠的�结��论tan∠�,��即=可�求�解=.4
5
(1)����=��+������=2��
证明:如图,连接,
𝐸
第10页共68页.
,D,E,F分别为的中点,
∵��=��=2,5,��=4,��,��,��
1
∴��=2��=2,𝐸⊥��
1
∴��=2��=,5
5
∴(2�)�=2��
,理由如下,
5
�连�接=2,�如�图,
𝐸,D,E,F分别为的中点,
∵��=��=25,��=4,��,��,��
1
∴四��边=形2��=是𝐵平,行��四∥�边�形,
∴𝐵��,
∴∠���=∠�,
1
∵��=2��=,��
∴∠���=∠�,
∴∠���=∠���,
∴180°−∠���=,180°−∠���
∴∠���=∠���
将绕点D顺时针旋转一定角度,得到,
∵∠���,∠𝐵�
∴∠���=∠𝐵�,
∵∠���+∠���,=∠���+∠���
∴∠���=∠���,
∴△���∽△�,��
����5
∴��=��=2,
5
∴(3�)�=2��
第11页共68页.
如图,连接,过点作于,
𝐸�𝐷⊥���
中,,
1
Rt△𝐸���=2��,=2
22
∴𝐸=��−��=4,
11
△���
∵�=2��⋅𝐸=2�,�⋅𝐷
��⋅𝐸4×485
∴��=��,=25=5
∵��⊥��,
∴△𝐴�∽△�,��
��𝐵1
∴��=��=2,
145
∴��=2�中�,=5
Rt△���
,
2
2224525
��=��中,−��=2−5=5
Rt△𝐴�
,
22
224535
𝐴=𝐵−��=5−5=5
35,
𝐴53
4
∴tan∠𝐵,�=��=55=4
∵��∥𝐵,
∴∠���=∠𝐵�,
��3
∴tan∠���=��=4,
442585
∴��=3��=3×5=15,
854545
∴��=��+��=,15+5=3
∵△���∽△�,��
����5
∴��=��=2.
554510
∴��=2��=2×3=3
第12页共68页.
【点睛】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,中位线的性质定
理,相似三角形的性质与判定,求角的正确,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关
键.
一、解答题【共20题】
1.(2022·辽宁阜新·中考真题)已知,四边形是正方形,绕点旋转(),
,,连接,.��𝐵△������<��
∠���=90°��=��𝐶𝐸
(1)如图,求证:≌;
(2)直线1与相交△于�点��.△𝐵�
如图𝐶,𝐸于点�,于点,求证:四边形是正方形;
①如图2,连𝐸接⊥�,�若��,�⊥𝐸,直�接写出在旋𝐸转�的�过程中,线段长度的
②最小值.3𝐴��=4��=2△���𝐴
【答案】(1)见解析
(2)①见解析②
26
【分析】根据证明三角形全等即可;
根据1邻边相等SA的S矩形是正方形证明即可;
2作①交于点,作于点,证明是等腰直角三角形,求出
②的最小��值⊥,�可�得结𝐴论.�𝐸⊥𝐴�△𝐸�𝐸
【详解】(1)证明:四边形是正方形,
,∵.��𝐵
∴𝐵=��,∠𝐵�=90°.
∵��=��∠��,�=90°
∴∠𝐵�=∠���,
∴在∠𝐵�=和∠𝐵�中,
△𝐵�△𝐵�
��=��
∠𝐵�=∠𝐵�
��=��
第13页共68页.
≌;
∴(△2)𝐵�证△明�:�如�图SAS中,设与相交于点.
①2𝐴𝐵�
,
∵∠𝐵�=90°.
∴∠���≌+∠���=,90°
∵△𝐵�△𝐵�.
∴∠�𝐶=∠�𝐸,
∵∠���=∠���.
∴∠�𝐶+∠��,�=∠���+∠���=90°
∴∠𝐴�=9,0°,
∵四𝐸边形⊥𝐴�是�矩⊥形��,
∴𝐸��.
∴四∠�边�形�=90是°正方形,
∵��,𝐵.
∴��=��∠��.�=∠�𝐹=90°
∴又∠�𝐸=∠�𝐹,
∵∠𝐸≌�=∠𝐹.�=90°
∴△𝐸�△.𝐹�
∴矩�形�=��是正方形;
∴解:�作���交于点,作于点,
②��⊥𝐴𝐴�𝐸⊥𝐴�
∵
∴∠���=≌∠𝐸�=.90°,∠𝐵�=90°−∠�𝐷=∠�𝐸,𝐵=��
△𝐸�.△���
∴𝐸=𝐷
第14页共68页.
,,
222
∵𝐷最=大�时�,−��最小,𝐵=最4大值.
∴��最小值𝐷最小值��.=��=2
∴由𝐸可知=,𝐷=是2等腰3直角三角形,
2最①小值△𝐴�.
∴【�点�睛】本=题属2�于�四=边2形6综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直
角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属
于中考压轴题.
2.(2022·江苏南通·中考真题)如图,矩形中,,点E在折线上运
动,将绕点A顺时针旋转得到,旋转�角�等𝐵于��,=连4,接𝐵=.3�𝐵
𝐶𝐸∠���𝐸
(1)当点E在上时,作,垂足为M,求证;
(2)当��时,求�的�长⊥;��𝐸=��
(3)连接𝐶=,3点2E从点�B�运动到点D的过程中,试探究的最小值.
【答案】��(1)见详解��
(2)或
(3)313
3
5
【分析】(1)证明即可得证.
(2)分情况讨论,△当�点𝐶E≅在△B�C�上�时,借助,在中求解;当点E
在CD上时,过点E作EG⊥AB于点G,FH⊥△A�C𝐶于≅点△H�,�借�助𝑅△𝐸�并利用勾股
定理求解即可.△𝐴�≅△𝐷�
(3)分别讨论当点E在BC和CD上时,点F所在位置不同,DF的最小值也不同,综合比
较取最小即可.
(1)
如图所示,
由题意可知,,,
∘
∠𝐸,�=∠�=90∠���=∠�𝐸
∴由∠旋�转𝐶性=质∠知�:𝐸AE=AF,
第15页共68页.
在和中,
△�𝐶△𝐸�
,
∠�=∠𝐸�
{∠�𝐶=∠�𝐸
,
𝐶=𝐸
∴△�𝐶≅△.𝐸�
∴𝐸=��
(2)
当点E在BC上时,
在中,,,
则𝑅△�𝐶��=4,𝐶=32
22
在𝐶=𝐶中−,��=,2,
则𝑅△�����=4,��=3
22
由(��1=)可�得�,+��=5,
在中,��=𝐶=,2,
则𝑅△𝐸���=2,𝐸=��−𝐸=5−4=1
22
当点𝐸E=在�CD�上+时𝐸,如=图,3
过点E作EG⊥AB于点G,FH⊥AC于点H,
同(1)可得,
△𝐴�≅△𝐷�,
∴由�勾�股=定�理�得=��=3,𝐷=𝐴=3,;��=2
22
故CF的长为𝐸或=3.+2=13
(3)313
如图1所示,当点E在BC边上时,过点D作于点H,
��⊥��
第16页共68页.
由(1)知,,
∘
故点F在射线∠�M�F�上=运9动0,且点F与点H重合时,DH的值最小.
在与中,
△𝐸�△𝐵,�
∠𝐸�=∠𝐵�
{
∠���=∠�𝐵,
∴𝑅△𝐸�~�,�△𝐵�
𝐸����
即∴𝐵=𝐵=��,
1����
∴4=3,=5,
35
∴��=4��=4,
511
�在�=𝐵−与��=4中−,4=4
△𝐸�△��,�
∠𝐸�=∠���
{
∠�𝐸=∠�𝐷,
∴𝑅△𝐸,�~𝑅△���
𝐸��
∴��=��
即5,
14
11
��=4
,
11
故��=的5最小值;
11
��5
如图2所示,当点E在线段CD上时,将线段AD绕点A顺时针旋转的度数,得到线
段AR,连接FR,过点D作,,∠���
由题意可知,�,�⊥����⊥��
在与∠��中�=,∠�𝐸
△�𝐸△𝐵�
,
𝐵=��
{∠�𝐶=∠�𝐸
,
𝐶=𝐸
∴△𝐵�≅△�𝐸,
∘
∴∠�𝐸=∠𝐵�=90
第17页共68页.
故点F在RF上运动,当点F与点K重合时,DF的值最小;
由于,,,
∘
故四边��形⊥D�Q�RK�是�矩⊥形��;∠�𝐸=90
,
∴��=��,
412
∴��=𝐵⋅cos,∠���=3×5=5
∵��=𝐵=3,
123
故∴�此�时=D�F�的=最��小−值�为�;=3−5=5
3
由于,故DF的最5小值为.
3113
5<55
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股
定理、解直角三角形,解决本题的关键是各性质定理的综合应用.
3.(2022·辽宁盘锦·中考真题)如图,四边形ABCD是正方形,△ECF为等腰直角三角形,
∠ECF=90°,点E在BC上,点F在CD上,P为EF中点,连接AF,G为AF中点,连接
PG,DG,将Rt△ECF绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°).
(1)如图1,当α=0°时,DG与PG的关系为;
(2)如图2,当α=90°时
①求证:△AGD≌△FGM;
②(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)且
(2)①见解析;��②=成�立�,�理�由⊥见�解�析
第18页共68页.
【分析】(1)先判断出,得出,,再用直角三角形
斜边的中线等于斜边的一△半��和�三≅△角形𝐵中�位线定理𝐶、=三�角�形∠外�角𝐸和=定∠理�,𝐶即可得出结论;
(2)①先判断出,再判断出,即可得出结论;
②由①知,∠�𝐴=∠,�得��,𝐸=��得出,根据题(1),
得出△�,��得≅△�����=,�得�𝐵=��.=又�根�据点�是�=�的�中点,是��=𝐶
的中位𝐸线=,�等�量代换△得𝐵�≅△��.�根据𝐶=��得���,且𝐴△𝐶�
,�推�出=𝐴△,𝐵又�根≅据△�𝐸,∠同��旁�内=角∠互𝐵补�,得∠���=,
∠即���+∠�.��=90°∠𝐹�=90°𝐴∥𝐸∠���=90°
(�1)�⊥��
解:∵四边形ABCD是正方形
∴,
∵∠�=∠为�等��腰=直9角0°三角��形=��=𝐵=𝐵
∴△�𝐸
∴�C�E==C�F�,
∴𝐶=��
∴△�𝐶≅,△𝐵�
∵�点�=是𝐸的∠中�点𝐸=∠�𝐶
∴�𝐸
1
∴��=2𝐸
1
∵�为�=2中𝐶点,为中点
∴�是��的�中位𝐸线
∴𝐴△𝐶,�
1
∴𝐴=2𝐶,𝐴∥𝐶
又�∵�在=𝐴∠中�𝐶=∠���
∴△𝐵��且�=𝐴=��
∴∠�𝐸=∠𝐵�∠�𝐸+∠𝐵�=∠���
∵2∠�𝐸=∠���
∴∠�𝐸+∠�𝐶+∠���=90°
∴2∠�𝐸+∠�𝐶=90°
∴∠���+∠�𝐶=90°
∴∠���+∠���=90°
故��⊥��且.
��=𝐴��⊥��
第19页共68页.
故答案是:DG=PG且DG⊥GP;
(2)
①证明:∵四边形是正方形,
∴��𝐵∠�𝐴=∠���
∵�点�∥是��的中点
∴�𝐸
∴�在�=��和中
△𝐴�△���
∠�𝐴=∠���
{
∴𝐴=��
∠𝐴�=∠���
解:△②𝐴(�1≅)△中�的��结(论���)且成立
证明:由①知,��=𝐴��⊥��
∴,△𝐴�≅△���
∴��=��𝐵=��=𝐴
1
∴𝐸=𝐸=2��
∵𝐸=𝐸
∴��=𝐸
又�∵�=��,
∴𝐵=𝐵∠𝐵�=∠���=90°
∴△𝐵�≅△,�𝐸
∵�点�=是��的∠中�点𝐶=∠𝐵�
∴���
11
又�∵�=为��中=点2,��为=2�中�点
∴�是��的中�位线𝐸
∴𝐴△𝐶,�
1
∴𝐴=2𝐸𝐴∥𝐸
又�∵�=𝐴
∴∠���=∠���+∠𝐵�=90°
∴∠�𝐶+∠𝐵�=90°
∴∠𝐹�=90°
又∠∵���=90°
∴𝐴∥𝐸
∴∠���+∠���=180°
∠���=90°
第20页共68页.
∴
故��⊥��且.
【点��睛=】�此�题�是�四⊥边�形�综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰
直角三角形的性质,三角形的中位线定理,解题的关键是全等三角形性质,三角形中位线定
理,等量代换的转换运用.
4.(2022·山东青岛·中考真题)如图,在中,,
将绕点A按逆时针方向旋转得到Rt△���,连接∠���.=点9P0°从,�点�=B出5c发m,,��沿=3方cm向
匀速△运��动�,速度为;同时,点Q90从°点A△出�发�,�沿方�向�匀速运动,速度为�.�交
于点F,连接1cm/.s设运动时间为𝐵.解答下列问题:1cm/s��
����,���(s)(0<�<5)
(1)当时,求t的值;
(2)设四��边⊥形𝐵的面积为,求S与t之间的函数关系式;
2
(3)是否存在某��一��时刻t,使�(cm)?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)��∥𝐵
16
(2)5s
1237
(3)存�=在2,�−10�+14
65
�=29s
【分析】(1)利用得,即,进而求解;
��𝐶�4
(2)分别过点C,P△作�𝐶∽△𝐶�𝐶=,垂𝐵足分别4=为5M,N,证得,
����
,求得,𝐸⊥�,�,再𝐹证⊥��得,△得��出�∽△�𝐸,根据��=𝐸=
��1216��𝐹4
5
𝐸四边形𝐸=5𝐸=5△�𝐹∽△即�可�求�出�表�达=式��;𝐹=��=
�𝐵�△���△�𝐵△���△���
(�3)当=�时+�−�,易−证�,得出,则,进而
����5−��
1613
��∥𝐵∠���=∠𝐵�△���∽△�𝐵����55
求出t值.==
(1)
解:在中,由勾股定理得,
22
∵Rt绕△点��A�按逆时针方向旋转�得�到=��−��=25−9=4
∴△���,,,90°△,𝐵�
∵𝐵=5��=3𝐶=4∠𝐶�=90°∠�𝐵=90°
∴��⊥𝐵
∠�𝐶=∠𝐶�=90°
第21页共68页.
又
∴∠���=∠�𝐶
∴△�𝐶∽△𝐶�
��𝐶
∴𝐶=𝐵
�4
∴4=5
16
答:�=当5时,t的值为.
16
��⊥𝐵5s
(2)
解:分别过点C,P作,垂足分别为M,N
∵𝐸⊥𝐵,𝐹⊥��
∴∠�+∠���=90°,∠�𝐸+∠���=90°
又∠�=∠�𝐸
∴∠���=∠𝐸�=90°
∴△���∽△�𝐸
������
∴��=𝐸=𝐸
534
∴4=𝐸=,𝐸
1216
∵𝐸=5,𝐸=5
∴∠�=∠�∠𝐹�=∠���=90°
∴△�𝐹∽△���
��𝐹
∴��=��
�𝐹
∴5=4
4
∴𝐹=5�
111116
�△���=2⋅��⋅��=2×3×4=6,�△�𝐵=2⋅𝐵⋅𝐸=2×5×5=8
114611
∴�△���=⋅��⋅𝐹=×3×�=�,�△���=⋅��⋅��=�(5−�)
四边形225522
�=��𝐵�=�△���+�△�𝐵−�△���−�△���
16
=6+8−�(5−�)−�
25
1237
=�−�+14
210
第22页共68页.
∴
1237
(3�)=2�−10�+14
解:假设存在某一时刻t,使
��∥𝐵
∵
12
∴𝐵=5,𝐸=5
1213
∵��=𝐵−𝐸=5−5=5
∴��∥𝐵
又∠���=∠𝐵�
∴∠���=∠𝐸�=90°
∴△���∽△�𝐵
����
∴��=��
5−��
1613
5=5
∴
65
∴存�=在2时9刻,使.
65
【点睛】本题�=考2查9s了旋转��与∥相�似�,利用勾股定理求线段长,平行线的性质,根据旋转的性质,
找到相似图形是解决问题的关键,是中考中的常考题.
5.(2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题)在中,,线段
绕点A逆时针旋转至(不与重合),旋转△角�记�为�,∠���的=平90分°,线��=与��射线�相�
交于点E,连接.𝐵𝐵���∠���𝐶𝐵
��
第23页共68页.
(1)如图①,当时,的度数是_____________;
(2)如图②,当�=20°∠时𝐶,�求证:;
(3)当0°<�<90°时,请直�接�写+出2𝐶的=值.2𝐶
𝐵
【答案0°】<(1�)<180°,𝐶=2𝐶��
(2)见解析45°
(3)或
22+222−2
【分析】(1)根据旋转的性质可知,当时可根据等腰三角形的性质计算
的角度,再由,是��=�的�平分�线=可20知°,由三角形外角的性∠质𝐵,�
通过∠���=90°即𝐶可得∠�出�答�案;∠�𝐶=35°
(2)∠延𝐶长�=到∠�F�,�使−∠�𝐶,连接,先证明,可推导、
��、𝐸=,�再�由已知�条�件及等腰△三�角�形�的≌△性�质�推�导∠���=∠𝐶�,
∠然�后��证=明∠�𝐶∠��=�,�推导,在中,由三角函∠数�可��计=算∠𝐶�=45°,
即可证明△�𝐸≌△�𝐶;∠�𝐶=90°𝑅△𝐸���=2𝐶
(3)分两�种�情+况2�讨�论=:2①𝐶当时,借助(2)可知,再求
𝐵
的值即可;②当0°时<,�在<线9段0°BD上取点F,使得𝐵=(2,结2合−(22)�)�中��
,可知90°≤、�<180°,易证明�,�可=推�导�△、𝐵�≌
△�、𝐶��=,𝐶∠𝐵�=∠�𝐶,在△�𝐸≌△中�,𝐶由三角函数∠�可�计�=算∠�𝐶𝐶=,
�即�可推∠�导𝐸=90°∠𝐶�=,∠再𝐸求�=的45值°即可�.�△𝐸���=2𝐶
𝐵
(1)𝐵=(22+2)𝐶��
解:由旋转可知,,当时,
可知��=𝐵�=20°,
180°−�180°−20°
∵∠�𝐵=∠,𝐵�是=2的=平分2线,=80°
∴∠���=90°𝐶∠���,
∠���−�90°−20°
∴∠�𝐶=2=2=35°.
故答∠�案��为=:∠𝐵;�−∠�𝐶=80°−35°=45°
(2)45°
证明:延长到F,使,连接.
��𝐸=𝐶𝐸
第24页共68页.
∵,,
∴��=��,𝐵=��
∵𝐵平=分��,
∴𝐶∠���,
∵∠�𝐶=,∠�𝐶
∴𝐶=𝐶,
∴△𝐵�≌△�𝐶,,,
∵∠���=∠,𝐶�∠𝐵�=∠�𝐶∠��=𝐶
∴��=𝐵,
∵∠�𝐵=∠𝐵�,
∴∠𝐵�+∠𝐵�=180°,
∵∠�𝐶+∠��,�=180°
∴∠���=90°,
∵∠𝐶�=360°−(∠�𝐶+∠�𝐵)−∠���=360°−180°−90°=90°
∴∠���=∠𝐶�,
1
∵∠���=∠𝐶�=2×9,0°=45°
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