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文档简介

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题26以旋转为载体的几何综合问题

【例1】(2022·山东济南·中考真题)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,

连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为_______;

②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由.

【答案】(1),理由见解析

(2)①𝐵=𝐶;②,理由见解析

𝐶=𝐶+𝐶∠�𝐵=45°

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到,再由全等

三角形的性质求解;△�𝐵≌△�𝐶���

(2)①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形,

由等边三角形的性�质�和(1)的结论来求解;②6过0°点A作𝐶△�于�点�G,连接AF,根据等

边三角形的性质和锐角三角函数求值得到�,�⊥��,进而得到

𝐴𝐸

,进而求出,结合∠�,�E�D==∠E�C�得�到𝐵=��,再用等腰△直��角�三∽角△形

�的�性�质求解.∠𝐵�=90°𝐵=𝐶𝐵=𝐵

(1)

解:.

证明:𝐵∵=𝐶是等边三角形,

∴△,���.

∵�线�段=��绕点∠�A�按�逆=时60针°方向旋转得到,

∴𝐵,,60°𝐶

∴𝐵=𝐶∠��,�=60°

∴∠���=∠�𝐶,

∠���−∠���=∠�𝐶−∠���

第1页共68页.

即.

在∠�𝐵=和∠�𝐶中

△�𝐵△�𝐶

��=��

∠�𝐵=∠�𝐶

∴,

𝐵=𝐶

∴△�𝐵≌;△�𝐶���

(�2)�=𝐶

解:①

理由:�∵�线=段𝐶+绕�点�A按逆时针方向旋转得到,

∴是等�边�三角形,60°𝐶

∴△𝐵�,

由(𝐵1)=得��=𝐶,

∴𝐵=𝐶;

②�过�点=A�作�+𝐵=�于�点+G�,�连接AF,如下图.

𝐴⊥��

∵是等边三角形,,

∴△𝐵�,𝐴⊥��

1

∴∠�𝐴=2∠�𝐶=3.0°

𝐴3

∵𝐵=co是s∠等�边𝐴三=角2形,点F为线段BC中点,

∴△���,,,

1

∴𝐸=𝐸𝐸⊥��,∠�𝐸=2∠���=30°

𝐸3

∴��=cos∠�𝐸=,2,

𝐴𝐸

∴∠�𝐸=∠�𝐴𝐵=��,

即∠�𝐸+∠�𝐸,=∠�𝐴+∠�𝐸

∴∠�𝐵=∠�𝐴,

∴△�𝐵∽△�𝐴.

∵∠𝐵�=,∠𝐴�==90,°

∴𝐵=𝐶,����

即𝐵=�是�等腰直角三角形,

△�𝐵

第2页共68页.

∴.

【点∠�睛𝐵】本=题45主°要考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直

角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,理解相关知识是解答

关键.

【例2】(2022·山东菏泽·中考真题)如图1,在中,于点D,

在DA上取点E,使,连接BE、CE.△���∠���=45°,𝐵⊥��

��=��

(1)直接写出CE与AB的位置关系;

(2)如图2,将绕点D旋转,得到(点,分别与点B,E对应),连接、,

′′′′′

在旋转△的�过��程中与的位置△关�系�与�(1�)中�′的CE与AB的位置关系是否𝐶一致�?�请

说明△理𝐶由�;𝐶′��

(3)如图3,当绕点D顺时针旋转30°时,射线与AD、分别交于点G、F,若

,△求𝐶�的长.𝐶′��𝐴=

�【�答,�案�】=(1)3CE⊥�AB�,理由见解析

(2)一致,理由见解析

(3)

53

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°,∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,

可得结论;

(2)通过证明,可得,由余角的性质可得结论;

′′′′

(3)由等腰直角△的𝐵性�质≅和△直𝐵角�三角形的∠性��质�可=得∠�𝐶,即可求解.

【详解】(1)如图,延长CE交AB于H,��=3𝐵

第3页共68页.

∵∠ABC=45°,AD⊥BC,

∴∠ADC=∠ADB=90°,∠ABC=∠DAB=45°,

∵DE=CD,

∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,

∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°,

∴CE⊥AB;

(2)在旋转的过程中与的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致

的,理由△如�下��:𝐶′��

如图2,延长交于H,

′′

𝐶��

由旋转可得:CD=,=AD,

′′

∵∠ADC=∠ADB=�90�°,��

∴,

′′

∵∠𝐵�=∠𝐵,�

𝐵𝐵

′′

∴��=��=1,

′′

△𝐵�∼△𝐵�,

′′

∴∵∠���+=∠∠D�G�C�=90°,∠DGC=∠AGH,

∴∠�D�A�+∠AGH=90°,

∴∠AHC�=90°,

′′

∴(�3�)如⊥图��3,过点D作DH于点H,

⊥��

第4页共68页.

∵△BED绕点D顺时针旋转30°,

∴,

′′

∠𝐵�=30°,𝐵=𝐵=𝐵,

′′′

∴∠𝐵�=120°,∠���,=∠���=30°

′′

∵∴�A�D=⊥2D�H�,,�A�H==��DH=,

,3��

∴由�(�2)=可3知𝐵:,

′′

△𝐵�∼,△𝐵�

′′

∴∵∠A�D�⊥�BC=,∠C�D𝐶==,30°

∴DG=1,CG=2DG3=2,

∴CG=FG=2,

′′

∵∴∠A�G�=�2G=F=340,°,��⊥��

∴AD=AG+DG=4+1=5,

∴.

'

【点��睛=】本3题𝐵是=三5角形3综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,旋转的性质,

相似三角形的判定和性质等知识,证明三角形相似是解题的关键.

【例3】(2022·内蒙古通辽·中考真题)已知点在正方形的对角线上,正方形

与正方形有公共点.���𝐵��𝐸��

��𝐵�

(1)如图1,当点在上,在上,求的值为多少;

2𝐶

�𝐵���2��

第5页共68页.

(2)将正方形绕点逆时针方向旋转,如图2,求:的值为多少;

𝐶

(3)�,����,将正方形�(0绕°<逆�时<针90方°)向旋转��,当,,

2

三�点�共=线8时2,�请�直=接2写�出�的长度.𝐸����(0°<�<360°)��

�【答案】(1)2��

(2)

(3)2或

46−4246+42

【分析】(1)根据题意可得,根据平行线分线段成比例即可求解;

(2)根据(1)的结论,可得��∥��,根据旋转的性质可得,进而证明

𝐴𝐵1

,根据相似三�角�形=的��性=质2即可求解;∠�𝐴=∠�𝐶

△(3�)𝐵分∽两△种�情��况画出图形,证明△ADG∽△ACE,根据相似三角形的判定和性质以及勾股

定理即可得出答案.

(1)

解:正方形与正方形有公共点,点在上,在上,

∵𝐸����𝐵��𝐵���

∴��∥��

𝐴𝐶

∴=

����

��𝐶

四边形是正方形∴=

��𝐴

∵𝐸��

∴𝐶=2𝐴

2𝐶2𝐶2𝐶

∴(2)2��=��=𝐴=2×2=2

解:如图,连接,

𝐶

正方形绕点逆时针方向旋转,

∵𝐸����(0°<�<90°)

∴∠�𝐴=∠�𝐶

𝐴𝐵1

∵==

𝐶��2

第6页共68页.

,∴△�𝐵∽△���

𝐶��

∴(3�)�=𝐵=2

解:①如图,

,,

2

∵��=82𝐴,=2𝐵,,

2

∴𝐵=三��点=共8线2,𝐴=2×82=8��=2��=16

∵�,�,�中,,

2222

Rt△𝐴���=��−,𝐴=16−8=83

∴由�(�2=)�可�知−��=83−8,

△�,𝐵∽△���

𝐶��

∴��=��=2.

��⋅𝐶82×83−8

∴②�如�图=:��=16=46−2=46−42

由(2)知ADG∽△ACE,

∴△,

��𝐵2

∴D𝐶G==��C=E,2

2

∵四边形2ABCD是正方形,

∴AD=BC=8,AC=,

22

∵AG=AD,2��+��=16

2

2

第7页共68页.

∴AG=AD=8,

2

∵四边形2AFEG是正方形,

∴∠AGE=90°,GE=AG=8,

∵C,G,E三点共线.

∴∠AGC=90°

∴CG=,

2222

∴CE=CG��+EG−=�8�+=8,16−8=83

∴DG=CE=3.

2

综上,当2C,4G,6E+三4点2共线时,DG的长度为或.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,相似4三6角−形4的2性质4与6判+定4,2正方形的性质,勾股

定理,旋转的性质,综合运用以上知识是解题的关键.

【例4】(2022·山东潍坊·中考真题)【情境再现】

甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处,

将甲绕点O顺4时5°针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,

并连接,如图③所示,交于E,交于F,通过证明,可得

𝐴.,𝐷��������△�𝐶≌△�𝐸

�请�你=证�明�:.

𝐴=𝐷

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明与的位.置.关系.

【拓�展�延伸】��,����𝐷

小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接,

如图⑥所示,其他条件不变,3请0°你猜想并证明与的数.量.关系.��,𝐴

𝐴𝐷

第8页共68页.

【答案】证明见解析;垂直;

【分析】证明�,�即=可得3�出�结论;通过,可以求出

△𝐻�,≅△得�出�结�论;证明∠𝐷�=∠�,��得出∠��,�得+出

𝐴��3

∠结�论�;�+∠���=90°𝐴⊥𝐷△𝐻�∽△𝐻�𝐷=��=3

【详解】证明:,

∵��=�,�,𝐻⊥��

∴��=��,∠𝐻�=90°,

∵∠𝐻�+∠𝐻�,=90°,∠𝐻�+∠𝐻�=90°

∴∠𝐻�=∠,𝐻�

∵��=��,

∴△𝐻�≅△;𝐻�

∴迁移𝐴应=用�:�,

证明:��⊥𝐷,

∵△𝐻�≅,△𝐻�

∴∠𝐷�=∠𝐴�,

∵∠���+∠𝐴�=45°,

∴∠���+∠𝐷,�=45°

∵∠���=45°,

∴∠���+∠𝐷,�+∠���=90°

∴∠���=9;0°

∴拓展��延⊥伸�:�,

证明:在𝐷=中3�,�,

��3

在𝑅△中�,��tan30°=�,�=3

��3

𝑅△��,�tan30°=��=3

����

∴由上��一=问��题可知,,

,∠𝐻�=∠𝐻�

∴△𝐻�∽△�,��

𝐴��3

∴𝐷=��=3.

∴【点𝐷睛=】本3题𝐴考查旋转变换,涉及知识点:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与

性质、锐角三角函数、等角的余角相等,解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.

【例5】(2022·辽宁锦州·中考真题)如图,在中,,D,E,

F分别为的中点,连接.△�����=��=25,��=4

��,��,����,��

第9页共68页.

(1)如图1,求证:;

5

(2)如图2,将�绕�点=D2�顺�时针旋转一定角度,得到,当射线交于点G,射线

交于点∠N�时�,�连接并延长交射线于点M,判∠�断��与的�数�量关��系,并说明理

�由�;����������

(3)如图3,在(2)的条件下,当时,求的长.

【答案】(1)见解析��⊥����

(2),理由见解析

5

(3)��=2��

10

3

【分析】(1)连接,可得,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

,根据�中�位线定�理�可⊥得��,即可得证;��=

11

(2�2�)=证明5,根据�(�1=)2的��结=论2即可得;

5

(3)连接△�,�过�点∽△作���于,证明��=,2可�得�,勾股定

145

理求得𝐸,根据�𝐷⊥���,△𝐴�∽△𝐷,�可得��=2��=5,进而

𝐴3��3

求得�,�,根𝐴据tan∠𝐵�求=得��=4,根∠�据�(�2=)∠的�结��论tan∠�,��即=可�求�解=.4

5

(1)����=��+������=2��

证明:如图,连接,

𝐸

第10页共68页.

,D,E,F分别为的中点,

∵��=��=2,5,��=4,��,��,��

1

∴��=2��=2,𝐸⊥��

1

∴��=2��=,5

5

∴(2�)�=2��

,理由如下,

5

�连�接=2,�如�图,

𝐸,D,E,F分别为的中点,

∵��=��=25,��=4,��,��,��

1

∴四��边=形2��=是𝐵平,行��四∥�边�形,

∴𝐵��,

∴∠���=∠�,

1

∵��=2��=,��

∴∠���=∠�,

∴∠���=∠���,

∴180°−∠���=,180°−∠���

∴∠���=∠���

将绕点D顺时针旋转一定角度,得到,

∵∠���,∠𝐵�

∴∠���=∠𝐵�,

∵∠���+∠���,=∠���+∠���

∴∠���=∠���,

∴△���∽△�,��

����5

∴��=��=2,

5

∴(3�)�=2��

第11页共68页.

如图,连接,过点作于,

𝐸�𝐷⊥���

中,,

1

Rt△𝐸���=2��,=2

22

∴𝐸=��−��=4,

11

△���

∵�=2��⋅𝐸=2�,�⋅𝐷

��⋅𝐸4×485

∴��=��,=25=5

∵��⊥��,

∴△𝐴�∽△�,��

��𝐵1

∴��=��=2,

145

∴��=2�中�,=5

Rt△���

2

2224525

��=��中,−��=2−5=5

Rt△𝐴�

22

224535

𝐴=𝐵−��=5−5=5

35,

𝐴53

4

∴tan∠𝐵,�=��=55=4

∵��∥𝐵,

∴∠���=∠𝐵�,

��3

∴tan∠���=��=4,

442585

∴��=3��=3×5=15,

854545

∴��=��+��=,15+5=3

∵△���∽△�,��

����5

∴��=��=2.

554510

∴��=2��=2×3=3

第12页共68页.

【点睛】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,中位线的性质定

理,相似三角形的性质与判定,求角的正确,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

一、解答题【共20题】

1.(2022·辽宁阜新·中考真题)已知,四边形是正方形,绕点旋转(),

,,连接,.��𝐵△������<��

∠���=90°��=��𝐶𝐸

(1)如图,求证:≌;

(2)直线1与相交△于�点��.△𝐵�

如图𝐶,𝐸于点�,于点,求证:四边形是正方形;

①如图2,连𝐸接⊥�,�若��,�⊥𝐸,直�接写出在旋𝐸转�的�过程中,线段长度的

②最小值.3𝐴��=4��=2△���𝐴

【答案】(1)见解析

(2)①见解析②

26

【分析】根据证明三角形全等即可;

根据1邻边相等SA的S矩形是正方形证明即可;

2作①交于点,作于点,证明是等腰直角三角形,求出

②的最小��值⊥,�可�得结𝐴论.�𝐸⊥𝐴�△𝐸�𝐸

【详解】(1)证明:四边形是正方形,

,∵.��𝐵

∴𝐵=��,∠𝐵�=90°.

∵��=��∠��,�=90°

∴∠𝐵�=∠���,

∴在∠𝐵�=和∠𝐵�中,

△𝐵�△𝐵�

��=��

∠𝐵�=∠𝐵�

��=��

第13页共68页.

≌;

∴(△2)𝐵�证△明�:�如�图SAS中,设与相交于点.

①2𝐴𝐵�

∵∠𝐵�=90°.

∴∠���≌+∠���=,90°

∵△𝐵�△𝐵�.

∴∠�𝐶=∠�𝐸,

∵∠���=∠���.

∴∠�𝐶+∠��,�=∠���+∠���=90°

∴∠𝐴�=9,0°,

∵四𝐸边形⊥𝐴�是�矩⊥形��,

∴𝐸��.

∴四∠�边�形�=90是°正方形,

∵��,𝐵.

∴��=��∠��.�=∠�𝐹=90°

∴又∠�𝐸=∠�𝐹,

∵∠𝐸≌�=∠𝐹.�=90°

∴△𝐸�△.𝐹�

∴矩�形�=��是正方形;

∴解:�作���交于点,作于点,

②��⊥𝐴𝐴�𝐸⊥𝐴�

∴∠���=≌∠𝐸�=.90°,∠𝐵�=90°−∠�𝐷=∠�𝐸,𝐵=��

△𝐸�.△���

∴𝐸=𝐷

第14页共68页.

,,

222

∵𝐷最=大�时�,−��最小,𝐵=最4大值.

∴��最小值𝐷最小值��.=��=2

∴由𝐸可知=,𝐷=是2等腰3直角三角形,

2最①小值△𝐴�.

∴【�点�睛】本=题属2�于�四=边2形6综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直

角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属

于中考压轴题.

2.(2022·江苏南通·中考真题)如图,矩形中,,点E在折线上运

动,将绕点A顺时针旋转得到,旋转�角�等𝐵于��,=连4,接𝐵=.3�𝐵

𝐶𝐸∠���𝐸

(1)当点E在上时,作,垂足为M,求证;

(2)当��时,求�的�长⊥;��𝐸=��

(3)连接𝐶=,3点2E从点�B�运动到点D的过程中,试探究的最小值.

【答案】��(1)见详解��

(2)或

(3)313

3

5

【分析】(1)证明即可得证.

(2)分情况讨论,△当�点𝐶E≅在△B�C�上�时,借助,在中求解;当点E

在CD上时,过点E作EG⊥AB于点G,FH⊥△A�C𝐶于≅点△H�,�借�助𝑅△𝐸�并利用勾股

定理求解即可.△𝐴�≅△𝐷�

(3)分别讨论当点E在BC和CD上时,点F所在位置不同,DF的最小值也不同,综合比

较取最小即可.

(1)

如图所示,

由题意可知,,,

∠𝐸,�=∠�=90∠���=∠�𝐸

∴由∠旋�转𝐶性=质∠知�:𝐸AE=AF,

第15页共68页.

在和中,

△�𝐶△𝐸�

∠�=∠𝐸�

{∠�𝐶=∠�𝐸

𝐶=𝐸

∴△�𝐶≅△.𝐸�

∴𝐸=��

(2)

当点E在BC上时,

在中,,,

则𝑅△�𝐶��=4,𝐶=32

22

在𝐶=𝐶中−,��=,2,

则𝑅△�����=4,��=3

22

由(��1=)可�得�,+��=5,

在中,��=𝐶=,2,

则𝑅△𝐸���=2,𝐸=��−𝐸=5−4=1

22

当点𝐸E=在�CD�上+时𝐸,如=图,3

过点E作EG⊥AB于点G,FH⊥AC于点H,

同(1)可得,

△𝐴�≅△𝐷�,

∴由�勾�股=定�理�得=��=3,𝐷=𝐴=3,;��=2

22

故CF的长为𝐸或=3.+2=13

(3)313

如图1所示,当点E在BC边上时,过点D作于点H,

��⊥��

第16页共68页.

由(1)知,,

故点F在射线∠�M�F�上=运9动0,且点F与点H重合时,DH的值最小.

在与中,

△𝐸�△𝐵,�

∠𝐸�=∠𝐵�

{

∠���=∠�𝐵,

∴𝑅△𝐸�~�,�△𝐵�

𝐸����

即∴𝐵=𝐵=��,

1����

∴4=3,=5,

35

∴��=4��=4,

511

�在�=𝐵−与��=4中−,4=4

△𝐸�△��,�

∠𝐸�=∠���

{

∠�𝐸=∠�𝐷,

∴𝑅△𝐸,�~𝑅△���

𝐸��

∴��=��

即5,

14

11

��=4

11

故��=的5最小值;

11

��5

如图2所示,当点E在线段CD上时,将线段AD绕点A顺时针旋转的度数,得到线

段AR,连接FR,过点D作,,∠���

由题意可知,�,�⊥����⊥��

在与∠��中�=,∠�𝐸

△�𝐸△𝐵�

𝐵=��

{∠�𝐶=∠�𝐸

𝐶=𝐸

∴△𝐵�≅△�𝐸,

∴∠�𝐸=∠𝐵�=90

第17页共68页.

故点F在RF上运动,当点F与点K重合时,DF的值最小;

由于,,,

故四边��形⊥D�Q�RK�是�矩⊥形��;∠�𝐸=90

∴��=��,

412

∴��=𝐵⋅cos,∠���=3×5=5

∵��=𝐵=3,

123

故∴�此�时=D�F�的=最��小−值�为�;=3−5=5

3

由于,故DF的最5小值为.

3113

5<55

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股

定理、解直角三角形,解决本题的关键是各性质定理的综合应用.

3.(2022·辽宁盘锦·中考真题)如图,四边形ABCD是正方形,△ECF为等腰直角三角形,

∠ECF=90°,点E在BC上,点F在CD上,P为EF中点,连接AF,G为AF中点,连接

PG,DG,将Rt△ECF绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°).

(1)如图1,当α=0°时,DG与PG的关系为;

(2)如图2,当α=90°时

①求证:△AGD≌△FGM;

②(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)且

(2)①见解析;��②=成�立�,�理�由⊥见�解�析

第18页共68页.

【分析】(1)先判断出,得出,,再用直角三角形

斜边的中线等于斜边的一△半��和�三≅△角形𝐵中�位线定理𝐶、=三�角�形∠外�角𝐸和=定∠理�,𝐶即可得出结论;

(2)①先判断出,再判断出,即可得出结论;

②由①知,∠�𝐴=∠,�得��,𝐸=��得出,根据题(1),

得出△�,��得≅△�����=,�得�𝐵=��.=又�根�据点�是�=�的�中点,是��=𝐶

的中位𝐸线=,�等�量代换△得𝐵�≅△��.�根据𝐶=��得���,且𝐴△𝐶�

,�推�出=𝐴△,𝐵又�根≅据△�𝐸,∠同��旁�内=角∠互𝐵补�,得∠���=,

∠即���+∠�.��=90°∠𝐹�=90°𝐴∥𝐸∠���=90°

(�1)�⊥��

解:∵四边形ABCD是正方形

∴,

∵∠�=∠为�等��腰=直9角0°三角��形=��=𝐵=𝐵

∴△�𝐸

∴�C�E==C�F�,

∴𝐶=��

∴△�𝐶≅,△𝐵�

∵�点�=是𝐸的∠中�点𝐸=∠�𝐶

∴�𝐸

1

∴��=2𝐸

1

∵�为�=2中𝐶点,为中点

∴�是��的�中位𝐸线

∴𝐴△𝐶,�

1

∴𝐴=2𝐶,𝐴∥𝐶

又�∵�在=𝐴∠中�𝐶=∠���

∴△𝐵��且�=𝐴=��

∴∠�𝐸=∠𝐵�∠�𝐸+∠𝐵�=∠���

∵2∠�𝐸=∠���

∴∠�𝐸+∠�𝐶+∠���=90°

∴2∠�𝐸+∠�𝐶=90°

∴∠���+∠�𝐶=90°

∴∠���+∠���=90°

故��⊥��且.

��=𝐴��⊥��

第19页共68页.

故答案是:DG=PG且DG⊥GP;

(2)

①证明:∵四边形是正方形,

∴��𝐵∠�𝐴=∠���

∵�点�∥是��的中点

∴�𝐸

∴�在�=��和中

△𝐴�△���

∠�𝐴=∠���

{

∴𝐴=��

∠𝐴�=∠���

解:△②𝐴(�1≅)△中�的��结(论���)且成立

证明:由①知,��=𝐴��⊥��

∴,△𝐴�≅△���

∴��=��𝐵=��=𝐴

1

∴𝐸=𝐸=2��

∵𝐸=𝐸

∴��=𝐸

又�∵�=��,

∴𝐵=𝐵∠𝐵�=∠���=90°

∴△𝐵�≅△,�𝐸

∵�点�=是��的∠中�点𝐶=∠𝐵�

∴���

11

又�∵�=为��中=点2,��为=2�中�点

∴�是��的中�位线𝐸

∴𝐴△𝐶,�

1

∴𝐴=2𝐸𝐴∥𝐸

又�∵�=𝐴

∴∠���=∠���+∠𝐵�=90°

∴∠�𝐶+∠𝐵�=90°

∴∠𝐹�=90°

又∠∵���=90°

∴𝐴∥𝐸

∴∠���+∠���=180°

∠���=90°

第20页共68页.

故��⊥��且.

【点��睛=】�此�题�是�四⊥边�形�综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰

直角三角形的性质,三角形的中位线定理,解题的关键是全等三角形性质,三角形中位线定

理,等量代换的转换运用.

4.(2022·山东青岛·中考真题)如图,在中,,

将绕点A按逆时针方向旋转得到Rt△���,连接∠���.=点9P0°从,�点�=B出5c发m,,��沿=3方cm向

匀速△运��动�,速度为;同时,点Q90从°点A△出�发�,�沿方�向�匀速运动,速度为�.�交

于点F,连接1cm/.s设运动时间为𝐵.解答下列问题:1cm/s��

����,���(s)(0<�<5)

(1)当时,求t的值;

(2)设四��边⊥形𝐵的面积为,求S与t之间的函数关系式;

2

(3)是否存在某��一��时刻t,使�(cm)?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)��∥𝐵

16

(2)5s

1237

(3)存�=在2,�−10�+14

65

�=29s

【分析】(1)利用得,即,进而求解;

��𝐶�4

(2)分别过点C,P△作�𝐶∽△𝐶�𝐶=,垂𝐵足分别4=为5M,N,证得,

����

,求得,𝐸⊥�,�,再𝐹证⊥��得,△得��出�∽△�𝐸,根据��=𝐸=

��1216��𝐹4

5

𝐸四边形𝐸=5𝐸=5△�𝐹∽△即�可�求�出�表�达=式��;𝐹=��=

�𝐵�△���△�𝐵△���△���

(�3)当=�时+�−�,易−证�,得出,则,进而

����5−��

1613

��∥𝐵∠���=∠𝐵�△���∽△�𝐵����55

求出t值.==

(1)

解:在中,由勾股定理得,

22

∵Rt绕△点��A�按逆时针方向旋转�得�到=��−��=25−9=4

∴△���,,,90°△,𝐵�

∵𝐵=5��=3𝐶=4∠𝐶�=90°∠�𝐵=90°

∴��⊥𝐵

∠�𝐶=∠𝐶�=90°

第21页共68页.

∴∠���=∠�𝐶

∴△�𝐶∽△𝐶�

��𝐶

∴𝐶=𝐵

�4

∴4=5

16

答:�=当5时,t的值为.

16

��⊥𝐵5s

(2)

解:分别过点C,P作,垂足分别为M,N

∵𝐸⊥𝐵,𝐹⊥��

∴∠�+∠���=90°,∠�𝐸+∠���=90°

又∠�=∠�𝐸

∴∠���=∠𝐸�=90°

∴△���∽△�𝐸

������

∴��=𝐸=𝐸

534

∴4=𝐸=,𝐸

1216

∵𝐸=5,𝐸=5

∴∠�=∠�∠𝐹�=∠���=90°

∴△�𝐹∽△���

��𝐹

∴��=��

�𝐹

∴5=4

4

∴𝐹=5�

111116

�△���=2⋅��⋅��=2×3×4=6,�△�𝐵=2⋅𝐵⋅𝐸=2×5×5=8

114611

∴�△���=⋅��⋅𝐹=×3×�=�,�△���=⋅��⋅��=�(5−�)

四边形225522

�=��𝐵�=�△���+�△�𝐵−�△���−�△���

16

=6+8−�(5−�)−�

25

1237

=�−�+14

210

第22页共68页.

1237

(3�)=2�−10�+14

解:假设存在某一时刻t,使

��∥𝐵

12

∴𝐵=5,𝐸=5

1213

∵��=𝐵−𝐸=5−5=5

∴��∥𝐵

又∠���=∠𝐵�

∴∠���=∠𝐸�=90°

∴△���∽△�𝐵

����

∴��=��

5−��

1613

5=5

65

∴存�=在2时9刻,使.

65

【点睛】本题�=考2查9s了旋转��与∥相�似�,利用勾股定理求线段长,平行线的性质,根据旋转的性质,

找到相似图形是解决问题的关键,是中考中的常考题.

5.(2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题)在中,,线段

绕点A逆时针旋转至(不与重合),旋转△角�记�为�,∠���的=平90分°,线��=与��射线�相�

交于点E,连接.𝐵𝐵���∠���𝐶𝐵

��

第23页共68页.

(1)如图①,当时,的度数是_____________;

(2)如图②,当�=20°∠时𝐶,�求证:;

(3)当0°<�<90°时,请直�接�写+出2𝐶的=值.2𝐶

𝐵

【答案0°】<(1�)<180°,𝐶=2𝐶��

(2)见解析45°

(3)或

22+222−2

【分析】(1)根据旋转的性质可知,当时可根据等腰三角形的性质计算

的角度,再由,是��=�的�平分�线=可20知°,由三角形外角的性∠质𝐵,�

通过∠���=90°即𝐶可得∠�出�答�案;∠�𝐶=35°

(2)∠延𝐶长�=到∠�F�,�使−∠�𝐶,连接,先证明,可推导、

��、𝐸=,�再�由已知�条�件及等腰△三�角�形�的≌△性�质�推�导∠���=∠𝐶�,

∠然�后��证=明∠�𝐶∠��=�,�推导,在中,由三角函∠数�可��计=算∠𝐶�=45°,

即可证明△�𝐸≌△�𝐶;∠�𝐶=90°𝑅△𝐸���=2𝐶

(3)分两�种�情+况2�讨�论=:2①𝐶当时,借助(2)可知,再求

𝐵

的值即可;②当0°时<,�在<线9段0°BD上取点F,使得𝐵=(2,结2合−(22)�)�中��

,可知90°≤、�<180°,易证明�,�可=推�导�△、𝐵�≌

△�、𝐶��=,𝐶∠𝐵�=∠�𝐶,在△�𝐸≌△中�,𝐶由三角函数∠�可�计�=算∠�𝐶𝐶=,

�即�可推∠�导𝐸=90°∠𝐶�=,∠再𝐸求�=的45值°即可�.�△𝐸���=2𝐶

𝐵

(1)𝐵=(22+2)𝐶��

解:由旋转可知,,当时,

可知��=𝐵�=20°,

180°−�180°−20°

∵∠�𝐵=∠,𝐵�是=2的=平分2线,=80°

∴∠���=90°𝐶∠���,

∠���−�90°−20°

∴∠�𝐶=2=2=35°.

故答∠�案��为=:∠𝐵;�−∠�𝐶=80°−35°=45°

(2)45°

证明:延长到F,使,连接.

��𝐸=𝐶𝐸

第24页共68页.

∵,,

∴��=��,𝐵=��

∵𝐵平=分��,

∴𝐶∠���,

∵∠�𝐶=,∠�𝐶

∴𝐶=𝐶,

∴△𝐵�≌△�𝐶,,,

∵∠���=∠,𝐶�∠𝐵�=∠�𝐶∠��=𝐶

∴��=𝐵,

∵∠�𝐵=∠𝐵�,

∴∠𝐵�+∠𝐵�=180°,

∵∠�𝐶+∠��,�=180°

∴∠���=90°,

∵∠𝐶�=360°−(∠�𝐶+∠�𝐵)−∠���=360°−180°−90°=90°

∴∠���=∠𝐶�,

1

∵∠���=∠𝐶�=2×9,0°=45°

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