专题22二次函数与新定义综合问题（解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题22二次函数与新定义综合问题

【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物

2

线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x+2x﹣3与抛物线C2：y

2

＝ax+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的

交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点

D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点

F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请

说明理由．

【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再

求比值即可；

（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝

，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，

F点不存在．

【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，

∴，

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解得，

∴y＝x2+x﹣1，

在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）；

（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，

∴＝＝；

（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，

∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，

∴E（﹣2，﹣1），

设F（x，0），

①当EG＝EF时，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝2，

∴2＝，

解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，

∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；

②当EG＝FG时，2＝，

此时x无实数根；

综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．

【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这

个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，

1）是函数y＝图象的“2阶方点”．

（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图

象的“1阶方点”的有②③（填序号）；

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（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直

接写出n的取值范围．

【分析】（1）根据定义进行判断即可；

（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点

时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；

（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分

时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解

即可．

【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，

∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

故答案为：②③；

（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，

∴函数经过定点（3，1），

在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图

象的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：a的值为3或a＝﹣1；

（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分

时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，

如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），

当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；

当抛物线经过点B时，n＝1；

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∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；

综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．

【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b

＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函

数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，

称y有“极差常函数”．

（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如

果不是，请在对应（）内画“×”．

①y＝2x（√）；

②y＝﹣2x+2（√）；

③y＝x2（×）．

（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”

h＝3，求一次函数解析式；

（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差

函数”h；并求4ah的取值范围．

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【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；

②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函

数”；

③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2不是“极差

常函数”，

（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p

（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的

值即可求函数的解析式；

（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，

≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴

的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，

当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围

即可．

【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，

∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，

∴y＝2x是“极差常函数”，

故答案为：√；

②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，

∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，

∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，

故答案为：√；

∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，

当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；

当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；

∴y＝x2不是“极差常函数”，

故答案为：×；

（2）当x＝0时，y＝q，

∴函数与y轴的交点为（0，q），

当y＝0时，x＝﹣，

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∴函数与x轴的交点为（﹣，0），

∴S＝×|q|×|﹣|＝1，

∴＝2，

当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，

∴p＝1，

∴q＝±，

∴函数的解析式为y＝x；

当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，

∴p＝﹣1，

∴q＝±，

∴函数的解析式为y＝﹣x；

综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；

（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，

∴函数的对称轴为直线x＝，

∵b＝a+3，

∴x＝＝+，

∵，

∴≤+≤，≤a+3≤，

∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，

∵，

∴2a+2﹣＞0，

∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，

∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，

当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，

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∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），

∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，

∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，

∴≤2a2+5a﹣3≤9，

∴≤4ah≤81．

【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】

定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母

表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系

式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．

例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：

设x＝m+1①，y＝﹣m+1②

由①得m＝x﹣1③

将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2

则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．

【迁移应用】

在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路

径是抛物线．

（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；

（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为

点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．

ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；

ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点

C'的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；

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（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）

2；

ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），

此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4

﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．

【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，

由①得a＝﹣x③，

∴y＝﹣x2+x+3；

（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，

∴C（2，4），

令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，

解得x＝﹣2或x＝6，

∴A（﹣2，0），B（6，0），

ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，

∴C'（h，k），

∵经过点A（﹣2，0），

∴k＝（2+h）2，

令x＝h，y＝k＝（2+h）2，

∴y＝（x+2）2；

ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：

∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，

∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），

此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；

设C'（m，m2+m+1），

当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，

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解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），

∴C（﹣4﹣2，6+2）；

当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；

综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．

一．解答题（共20题）

o

1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180，得到新

的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．

例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2

﹣9．

（1）当m＝0时，

①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．

②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，

求a的值．

（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．

（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大

值为8，求m的值．

【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；

②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；

（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的

值；

（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定

区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．

【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，

y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，

故答案为：y＝﹣x﹣7；

②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，

∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，

∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，

∴﹣6＝﹣a（5+1）2，

解得：a＝；

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（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），

y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；

∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，

∴m＝＝6，

故答案为：6；

（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，

∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．

①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，

∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，

解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；

②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，

∴5m2＝8，

解得：m＝±（不合题意，舍去）；

③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，

∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，

解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），

综上，m的值为﹣2+或4﹣2．

2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这

个函数图象的“梅岭点”．

（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；

若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝3或﹣1；

（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次

函数的表达式；

（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存

在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如

果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．

【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P

（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；

（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c

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22

＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）＝0，对比两个方程

的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；

2

（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利

2

用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b+2b+2

22

＝﹣4a﹣8a+3＝﹣4（a+1）+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范

围，即可求出k的取值范围．

【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，

∴p＝3m+6＝3，

解得：m＝﹣1，

∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，

∴m＝，

整理得：m2﹣2m﹣3＝0，

解得：m1＝3，m2＝﹣1，

经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，

∴m＝3或﹣1；

故答案为：﹣1；3或﹣1；

（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，

即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），

2

∴方程x+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，

即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，

∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．

∴b﹣1＝4，c＝4，

∴b＝5，

∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；

（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），

∴c＝2，

∴y＝ax2+bx+2，

2

∵y＝ax+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），

22

∴x1＝ax1+bx1+2，x2＝ax2+bx2+2，

22

∴ax1+（b﹣1）x1+2＝0，ax2+（b﹣1）x2+2＝0，

2

∴x1、x2是方程ax+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，

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∴x1+x2＝，x1•x2＝，

∵|x1﹣x2|＝2，

2

∴（x1﹣x2）＝4，

22

∴（x1+x2）﹣4x1x2＝（）﹣4×＝4，

∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，

∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，

∵|x1﹣x2|＝2，

∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，

∵﹣1＜x1＜1，

∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3

∴﹣3＜x1•x2＜3，

∴﹣3＜＜3，

∵a＞0，

∴a＞，

∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，

∴．

3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为

这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．

（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；

函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）

（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC

⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．

【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；

（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），

同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解

即可．

【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2

∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；

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在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；

故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；

（2）在函数y＝中，令x＝，

解得：x＝2，

∴A（2，2），

在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，

解得：x＝b，

∴B（b，b），

∵BC⊥x轴，

∴C（b，0），

∴BC＝|b|，

∵△ABC的面积为4，

∴×|b|×|2﹣b|＝4，

当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，

解得b＝﹣4，

当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，

∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，

∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，

当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，

解得：b＝8，

综上所述，b的值为﹣4或8．

4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，

我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．

（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两

函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．

（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的

第13页共46页.

部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝

|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．

【分析】（1）根据“凤凰函数”的定义，当数y1＝﹣x+m与y2＝﹣有两个交点，即可

判定函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣互为“凤凰函数”，当m＝1时，解方程即可求得；

（2）由图象可知直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移时，直

2

线y1＝﹣x+m与y＝|x+2x|的图象有两个交点，据此即可求得m的取值范围．

【解答】解：（1）由y1＝y2得，

整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2+8＞0，

∴y1＝﹣x+m与是互为“凤凰函数”，

2

当m＝1时，x﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，

∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x+m与的“凤凰根”．

（2）如图：y1＝﹣x+m与有两个的“凤凰根”，

则直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移．

解方程，得x1＝﹣4，x2＝0，

第14页共46页.

故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为（﹣4，0）和（0，0）．

将（﹣4，0）和（0，0）代入y1＝﹣x+m，

得m＝﹣4和m＝0．

故当﹣4＜m＜0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；

当y1＝﹣x+m与相切时，

联立可得方程，

整理，得，

∴．

当y1＝﹣x+m在直线l3的右侧平移，

即时，y1与y2有两个“凤凰根”．

综上所述，当﹣4＜m＜0或时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”．

5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图

象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次

函数y＝x2图象上的“互反点”．

（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互

反点”的坐标；如果不存在，说明理由．

（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，

过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；

（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x

≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的

图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．

第15页共46页.

【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；

（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，

求出b的值；

（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立

方程组，当Δ＝0时，m＝﹣，因此当m＜﹣时，W1，W2两部分

组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），

当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m

＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．

【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，

∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；

y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，

解得x＝0或x＝﹣2，

∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；

（2）y＝（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x＝，

解得x＝﹣，

∴A（﹣，），

y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，

解得x＝﹣b，

∴B（﹣b，b），

∴BC＝|b|，

∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，

解得b＝4或b＝﹣2；

（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，

由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，

联立方程组，

整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，

Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，

第16页共46页.

解得m＝﹣，

当m＜﹣时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两

个交点，

∴m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；

当x＝m时，y＝﹣m2+2，

∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），

当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，

解得m＝﹣1或m＝2

当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，

∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；

当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，

∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；

∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；

综上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．

第17页共46页.

2

6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B

（x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．

（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，

①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；

②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数

的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；

（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；

②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可

得出结论；

（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利

用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△

ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），

化简即可得出答案．

【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，

抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，

∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）；

第18页共46页.

②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，

整理得：x2﹣3x﹣4＝0，

∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，

∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；

（2）如图，连接AC，

∵y＝ax2+bx+c，

∴C（0，c），顶点D（﹣，），

设直线CD的解析式为y＝kx+n，

则，

解得：，

∴直线CD的解析式为y＝x+c，

∴E（﹣，0），

∵A（，0），B（，0），

∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣

）＝+，

∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，

∴△EAC∽△ECB，

∴＝，

∴CE2＝AE•BE，

第19页共46页.

在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，

∴c2+＝（+）（+），

化简得：ac＝﹣1，

故ac的值为﹣1．

7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该

点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．

（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐

标；如果不存在，说明理由；

（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；

2

（3）若函数y＝x﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当

W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．

【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；

（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；

（3）根据（2）中求出的y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），

再利用翻折的性质分类讨论即可．

【解答】解：（1）不存在，理由：

在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，

∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；

（2）令x＝x2﹣2，

解得：x1＝﹣1，x2＝2，

∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2）；

（3）①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或

（2，2），

2

W1：y＝x﹣2（x≥m），

2

W2：y＝（x﹣2m）﹣2（x＜m），

令x＝（x﹣2m）2﹣2，

整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，

∵W2的图象上不存在“等值点”，

∴Δ＜0，

∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，

第20页共46页.

∴m＜﹣，

②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），

③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，

④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），

⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，

综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，m＝1．

8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做

这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点

（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．

（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图

象的“1阶方点”的有②③（填序号）；

（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的

“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯

一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．

【分析】（1）根据定义进行判断即可；

（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点

时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；

（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分

时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解

即可．

【解答】解：（1）（﹣1，2）到x轴距离为2，不符合题意，

（0，0）到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，

③（，﹣1）到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，

故答案为：②③．

（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，

∴函数经过定点（3，1），

在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图

象的“2阶方点”有且只有一个，

第21页共46页.

由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C（2，﹣2）时，﹣2＝2a﹣3a+1，

解得a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点D（2，2）时，2＝2a﹣3a+1，

解得a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：a的值为3或a＝﹣1．

（3）∵点（n，n）在直线y＝x上，

∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2+

（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有两个相等实数根，

∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，

∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，

∵当2≤p≤3时，q的最小值为t，

若p＝t，则q的最小值为﹣t+2，则﹣t+2＝t，

解得t＝p＝1，不符合题意．

当t＜2时，若p＝2，则q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t

解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，

当t＞3时，若p＝3，则q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t

第22页共46页.

解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，

综上所述，t＝3﹣或4+．

9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该

点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函

数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，

﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．

（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两

点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．

2

（3）将函数y＝x﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，

W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．

【分析】（1）联立方程求解．

（2）令ax2+5x+c＝x，根据根的判别式Δ＝0可得ac的值，进而求解．

（3）令x2﹣8＝2x，求出抛物线y＝x2﹣8与直线y＝2x的交点横坐标，由函数y＝x2﹣8

（x≥m）求出翻折后函数解析式，结合图象求解．

【解答】解：（1）由题意可得“2倍点”在直线y＝2x上，

联立方程，

解得，，

∴函数y＝x2﹣8的图象上存在“2倍点”，点（﹣2，﹣4），（4，8）是该图象的“2倍点”．

（2）令ax2+5x+c＝x，整理得ax2+4x+c＝0，

由题意得Δ＝42﹣4ac＝0，

∴ac＝4，

∴c＝，

∵a＞1，

∴0＜c＜4．

（3）图象y＝x2﹣8（x≥m）关于直线x＝m翻折后解析式为y＝（x﹣2m）2﹣8（x＜m），

令x2﹣8＝2x，

解得x＝﹣2或x＝4，

当m＝4时，如图，

第23页共46页.

图象W有1个“2倍点”，

∴m＜4时符合题意，

当m＝﹣2时，如图，

图象W有3个“2倍点”，

∴﹣2＜m＜4符合题意．

令（x﹣2m）2﹣8＝2x，整理得x2﹣（4m+2）x+4m2﹣8＝0，

当Δ＝（4m+2）2﹣4（4m2﹣8）＝0时，

解得m＝﹣，

第24页共46页.

∴m＜﹣时符合题意．

综上所述，﹣2＜m＜4或m＜﹣．

10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新

的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函

数关于点P（0，1）的相关函数为．

（1）当n＝0时．

①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为y＝﹣x2；

②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a

的值．

（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝﹣．

【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；

②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的

表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；

（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），由中点公式即可求解．

【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，

故答案为：y＝﹣x2；

②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），

则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，

将点A（2，3）代入得3＝﹣a（2+1）2，

解得：a＝﹣；

（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），

由中点公式得：n＝＝﹣，

第25页共46页.

故答案为：﹣．

11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称

该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个

函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣

，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．

（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两

点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：

①c的取值范围；

②直接写出∠EMN的度数．

【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；

（2）①根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c

的取值范围；

②先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出∠EMN

的度数．

【解答】解：（1）存在，

设“2倍点”的坐标为（x，2x），

则2x＝x²﹣8，

解得：x＝﹣2或4，

∴“2倍点”的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，8）；

（2）①由题意可知，

y＝ax2+5x+c与y＝x有且只有交点，

则x＝ax2+5x+c，

整理得：ax2+4x+c＝0，则该方程有两个相同的实数根，

即Δ＝16﹣4ac＝0，

∴ac＝4，

∴a＝，

∵a＞1，

∴0＜c＜4；

②如图，过点E作EF⊥OM于点F，

第26页共46页.

由根与系数的关系可知，ax2+4x+c＝0，

，

又∵两个根相等，

∴，

∴点E的坐标为（，），

∴EF＝OF＝，

由①可知，a＝，

则c＝，

∴y＝ax2+5x+c可以写成y＝ax2+5x+，

令y＝0，

则ax2+5x+＝0，

由求根公式可得，

x＝，

解得：，，

∴点M的坐标为（，0），

∴OM＝，

∴MF＝OM﹣OF＝，

∴MF＝EF，

第27页共46页