四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

嘉陵一中高2023级高二上期中考试数学试卷考试时间：120分钟，满分150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.故选：B.2.已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解.【详解】圆：，圆：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.故选：B3.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为.故选：B4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；当与直线平行时，，则∴或，当时显然成立，当时，，，整理后与重合，故舍去，∴，满足必要条件；∴“”是“直线与直线平行”的充要条件故选：C5.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（）A.3 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选：C6.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案.【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图：则，A1,0,0，，，取，，，设平面的法向量为，则，可得，令，则，，所以平面的一个法向量，点到平面的距离.故选：C.7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为1【答案】C【解析】【分析】对A：设点Px,y，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点Mx,y，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断.【详解】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可.8.，函数的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则 B.若与互斥，则C.若与相互独立，则 D.若与相互独立，则【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A：若与互斥，则，故A错误；对于B：若与互斥，则，故B正确；对于C：若与相互独立，则，故C正确；对于D：若与相互独立，则，故D错误.故选：BC10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则B.若空间中任意一点O，有，则四点共面C.若空间向量，满足，则与夹角为钝角D.若空间向量，，则在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D．详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确；对于B：在中，由于，故四点共面，B正确；对于C：当，反向共线时，也成立，但与夹角不为钝角，C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：ABD．11.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.异面直线与所成角的余弦值为D.点到直线的距离是【答案】ABD【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算A选项即可；建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断BCD即可.【详解】由题可知，,故选项A正确；建立如图所示的空间直角坐标系得，,,,，由题可知，，平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为，选项B正确；由题可知,，所以,所以异面直线与所成角的余弦值为，故选项C错误；易知，,，设点到直线的距离为，则，故选项D正确.故选：ABD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得，由向量的数量积公式求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，解得.故答案为：13.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点，直线的斜率或，的斜率为，的斜率为，直线的斜率或，即，故答案为：．14.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线__________过定点.【答案】①.②.【解析】【分析】根据切线的相关性质将四边形面积化为，即求出最小值即可，即圆心到直线的距离；又可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设出点坐标，求出圆的方程可得直线方程，即可得出定点.【详解】由圆得圆心，半径，由题意可得,在中，，，可知当垂直直线时，，所以四边形的面积的最小值为，可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设，则圆心为，半径为，则该圆方程为，整理可得，联立两圆可得直线AB的方程为，即可得当时，，故直线过定点.故答案为：；.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线的方程为．（Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，3），求直线的方程；（Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．【答案】（1）（2）直线的方程为：或【解析】【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程.试题解析：（1）设直线的方程为：直线过点（1，3），解得直线的方程为：．(2)设直线的方程为：令x=0，得；令，得则，得直线的方程为：或．16.某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，40,50，50,60，60,70，，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；（2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.【答案】（1）30（2）众数为55；第80百分位数为66（3）【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数定义可求得样本的第80百分位数；（3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，数学成绩位于的有4人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为：所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：【小问2详解】由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；年龄在区间上的频率为：年龄在区间上的频率为：，故第80百分位数位于60,70之间，设为，所以，解得，所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.【小问3详解】由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，分别记为，年龄在区间上的读书者有人，分别记为，从上述6人中选出2人，则有，共15种情况；其中恰有1人在的情况有，共8种情况；所以恰有1人在的概率为.17.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点，（1）求点M的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解；（2）根据题意，设直线，求得圆心到直线距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.【小问1详解】解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点，则，可得，即，因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程，即，整理得，所以点的轨迹方程为.【小问2详解】解：过点定点1,0的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为，设直线，即，则圆心到直线的距离为，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以时，取得最大值，此时，解得或，所以取得最大值，此时直线的方程为或.18.如图，在四棱锥中，平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明过程见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面平面，所以，又因为，所以，而平面，所以平面；【小问2详解】因为平面平面，所以，而，于是建立如图所示的空间直角坐标系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为m=x,y,z，，则有，设平面与平面夹角为，；【小问3详解】设，设，于是有，，由（2）可知平面的法向量为，假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，即.19.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆（1）求圆C与圆M的根轴l；（2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程；（3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标.【答案】（1）；（2）；（3）最小值为，此时.【解析】【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解.（2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即PC取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解.（3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出.【小问1详解】由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点，则由题可得，即，整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线.【小问2详解】由题意可知且，，设与相交于点H，则，又，所以，所以取得最小值时即为取得最小值时，又，所以取得最小值时亦即PC取得最小值时，而PC