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文档简介

第十四章

幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为

R

，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B）在内某些点处非绝对收敛。（C）

的收敛半径大于

。（D）对任意的

，在上一致收敛。．2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；

(B)在处收敛；(C)收敛区间为

;

(D)当时发散。

3．幂级数级数的收敛域是(A)

(B)

(C)

(D)

4．若幂级数的收敛半径为R,那么(A),

(B)

,(C),

(D)不一定存在.

5．如果能展开成

的幂级数，那么该幂级数

(A)

是

的麦克劳林级数；

(B)不一定是

的麦克劳林级数；

(C)不是

的麦克劳林级数；

(D)

是在点处的泰勒级数。6.

如果,则幂级数(A)当时,收敛；

(B)

当时,收敛；(C)

当时,发散；

(D)

当时,发散7..设级数在

处是收敛的，则此级数在处

(A)发散；

(B)绝对收敛；

(C)条件收敛；

(D)不能确定敛散性。

8幂级数在其收敛区间的两个端点处A

全是发散的.

B.

全是收敛的C.

左端点发散,

右端点收敛.

D

左端点收敛,

右端点发散9.

函数展开成的幂级数的方法是.

10.

幂级数的收敛域为

答案:

1—10

DDBDA

ADDDA

即

.

解上述关于的二阶微分方程,

得

.

7.

解

易看出

,

而

两边求导,

得

.8.

级数的和函数为

9.

由于级数在上收敛，

所以当时，有

10.

因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，

且可逐项积分。

.证明题：

1.

设

在内收敛,

若也收敛,

则

.

2.

设f为幂级数在

(-R,R)

上的和函数,

若f为奇函数,

则原级数仅出现奇次幂的项,

若f

为偶函数,

则原级数仅出现偶次幂的项.3.

设函数定义在

[0,1]上,

证明它在

(0,1)

满足下述方程:

4.

设

证明当

时,

级数

收敛.5.

设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数绝对收敛。6.

设，求证：

其中

7.

设，，。证明：当时，满足方程。

8.

若幂级数的收敛半径为R(>0),

且在(或时收敛,

则级数在[0,R](

或

[-R,0])上一致收敛.

9.

设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,

对一切,

有,

证明:

对内任一点与有

.

10.

证明:

满足方程.答案:

1.

证明:

因为当

收敛,

有

又当时,

收敛,

从而可知

在左连续,于是.

2.

,

,

当为奇函数时,

有,

从而

,

这时必有

.

当为偶函数时,

有此式当且仅当.3.证明:

设

则

.

所以

故

.0<x<1.4.

因为

所以

,

,取极限得到

,

从而级数的收敛半径故

时,

级数收敛.5.

对于任意

，由于，所以，绝对收敛。

又所以绝对收敛。

6.

时,

，

，故

从而

7.

由于

，幂级数的收敛半径是1，所以当时，可微，且

故

即满足方程。

8.

证明:

设级数在时收敛,

对于有

=已知级数

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