第1章投影基本知识15平面的投影14直线的投影13点

第1章投影基本知识

1.5平面的投影1.4直线的投影1.3点的投影1.2正投影特性1.1投影概念第1章投影基本知识1.1.1投影的形成承影面光线光源物体投影中心投影面形体投射线投影影子

投影形成的三个要素：

投射线、空间形体、投影面（承影面）1.1.1投影的分类投影法的分类投影法斜投影法正投影法平行投影法中心投影法中心投影法投影面P中心投影S投射中心cba投射线ACB形体投影中心S距投影面P有限远中心投影法

当投影中心S距投影面P为有限远时，所有的投射线都从投影中心一点出发中心投影法：

用中心投影法获得的投影通常能反应表达对象的三维空间形态，立体感强，但度量性差。这种图习惯上称之为透视图。特点：P斜投影cba斜投影法ACB投射线

90°投影中心S距投影面P无限远且投射线倾斜于投影面Pcba正投影法ACB90°投射线方向投影中心S距投影面P无限远且投射线垂直于投影面正投影的形状大小与表达对象本身存在简单明确的几何关系，因此具有较好的度量性，但立体感差。正投影平行投影法

当投影中心S据投影面P为无穷远时，所有的投射线变得互相平行。平行投影法：特点：投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。知识回顾1、投影的三个要素？投射线、空间形体、投影面（承影面）2、投影的分类？投影法斜投影法正投影法平行投影法中心投影法知识回顾投影面P中心投影S投射中心cba投射线ACB形体投影中心S距投影面P有限远中心投影法P斜投影cba知识回顾ACB投射线

90°投影中心S距投影面P无限远且投射线倾斜于投影面斜投影法Pcba知识回顾ACB90°投射线方向投影中心S距投影面P无限远且投射线垂直于投影面正投影正投影法投影的应用1.1.3常用的投影方法和投影图1.透视投影2.轴测投影

3.正投影4.标高投影1透视图示例建筑物画面视点透视图透视图形成原理1透视图示例形成：人观看房屋，其视线与窗玻璃平面相交而得到的图形。投影方法：中心投影法，单面投影投影特点：逼真，但近大远小，不真实，可表现房屋的设计方案，不能作为施工图纸使用2轴测图示例2轴测图形成：投影线平行，将物体投影到一个指定投影面上。投影方法：平行投影法，单面投影。投影特点：直观性强、逼真，但度量性差，作图比透视图简单。分类：正轴测图和斜轴测图。轴测图PSXYZOXYZO1111特点：立体感强不显实3多面正投影图示例投影方法：平行正投影法，多面投影投影特点：能准确表达物体的形状和大小，度量性好，作图简单，但直观性较差形成：投影线互相平行，且与投影面垂直。轴测投影图正投影图特点：无立体感显实正投影图4标高图示例投影方法：平行正投影法，单面投影投影特点：用正投影法加标注高程数值表达不规则物体的形状。半球的标高图是什么样的形状？152025152025152025思考：

1.2正投影特性1.2.1点、直线、平面的正投影特性类似性全等性重合性积聚性

1.2正投影特性1.2.1点、直线、平面的正投影特性

1、类似性点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍然是直线，平面的正投影仍然保留其空间几何形状。1.2正投影特性正投影的基本特性——全等性（1）直线平行于投影面时，其投影反映实长及倾角。αα（2）平面平行于投影面时，其投影反映实形。（3）互相平行的直线，其投影仍旧互相平行。1.2正投影特性正投影的基本特性——积聚性直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点。平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线。

1.2正投影特性4、重合性重影：两个或两个以上的点、线、面具有同一投影物体的一个投影通常不能唯一确定该物体的空间形状。视图：用正投影法所绘制出物体的图形。1.视图的基本概念vVH物体的两面投影能否唯一确定物体的空间形状？不一定！WVH物体的三面投影是否唯一确定物体的空间形状？唯一确定！三面投影图三面投影体系的建立YVWHZOX正立投影面（V面）水平投影面（H面）侧立投影面（W面）投影轴V、W、H面两两垂直；OX、OY、OZ三轴形成一个空间三维坐标系。1.2正投影特性WYWVHYHWZYXOH2、形体在三投影面体系中的投影主视图俯视图左视图展开的三面正投影图YWZWVHYHXO侧面投影图正面投影图水平投影图45°辅助线投影连线1.2正投影特性VXWZYOH前上左后右下前后上下右左上下前后右左方位关系：V投影反映左右和上下H投影反映左右和前后W投影反映前后和上下3、三面正投影图的投影规律VXWZYOH1.2正投影特性三面正投影图的对应关系上上下左右前后下前后左右正面图：反映形体的上、下和左、右，不反映前、后；水平图：反映形体的前、后和左、右，不反映上、下；侧面图：反映形体的上、下和前、后，不反映左、右。1.2正投影特性长高宽宽物体的长、宽、高：长—左右距离（X方向）宽—前后距离（Y方向）高—上下距离（Z方向）长宽高投影关系(三等关系)V、H投影长对正V、W投影高平齐；H、W投影宽相等。1.3点的投影1.3.1点的投影1.点的单面投影AaaAA空间几何形体投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。采用多面投影解决办法HVOX

点的两面投影绪论中提到；在正投影的条件下，点的单面投影不能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？Aaa

点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。两面投影体系的建立：V——正面投影面H——水平投影面OX——投影轴ax点的两面投影图的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展开去边框点的二面投影2、点的二面投影点的二面投影的投影规律：1、投影连线垂直于投影轴，即a

a

oX2、空间点到V面的距离等于水平投影到OX轴的距离Aa=aax3、空间点到H面的距离等于正面投影到OX轴的距离Aa=a

axHVOXAaa

ax注：点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。点的三面投影HVXZYWOa

aa

A3、点的三面投影A点的水平投影—aA点的正面投影—a

A点的侧面投影—a

Ha

aa

VWXOZYWYHazaxaywayH点的三面投影的投影规律投影规律：1、投影连线垂直于投影轴，

aa⊥0Xa′a″⊥0Z2、空间点到投影面的距离，可由点的投影到相应投影轴的距离来确定

A→V=

Aa=aax

=

a

az=yA→H=Aa=a

ax=a

ayW

=zA→W=Aa=a

az=aayH=x

HVXZYWOa

aa

Aaxazay点的三面投影点的投影与直角坐标的关系1、点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，2、点的每一个投影反映了点的两个坐标已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。HVXZYWOa

aa

Aaxazay

例题2

已知点B的正面与侧面投影，求点B的水平投影。XZYWYHOb

b

bXHVZYWOCc

ca

bb″特殊点的投影A属于H投影面B属于V投影面C属于OX投影轴a″c″AaBb

特殊点的投影（1）投影面上的点（2）投影轴上的点

两点的相对位置XOZY两点中X值大的点在左两点中Y值大的点在前

两点中Z值大的点在上a

a

ab

b

bBAXZYWYHOa

a

ab

bb

A点在B点之右A点在B点之前A点在B点之上重影点及可见性判别cd

(c

)dCDa(b)a

b

AB重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。被挡住的投影加()重影点及可见性判别例3已知A、B、C三点的各一个投影a、b′、c〞，且：Aa=10，B点距V面20，C点在A点的右方15，完成三个点的三面投影。aXZYHYWb′c〞10a′a〞20bb〞15c′ca

a

aXZYWYHOb

bb

985cc

(c′)利用点的相对位置求点的投影例4已知A点在B点之前5mm，之上9mm，之右8mm，C点在A点的正后方5mm,求A、C点的投影。第1章投影基本知识

1.5平面的投影1.4直线的投影1.3点的投影1.2正投影特性1.1投影概念直线投影的形成a

a

aXZYWYHOb

bb

注意：直线的投影规定用粗实线绘制。直线投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

全等性直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα类似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●直线投影的确定：两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。直线单面投影的投影特性：直线夹角直线的分类直线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线特殊位置直线问题：1、一条直线能不能同时垂直于三个面？2、一条直线能不能同时垂直于两个面？不能投影面垂直线：垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。OXZYb

a(b)a

a

b

AB1.投影面垂直线定义：垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。投影面垂直线OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1)ab积聚成一点2)a

b

OX;a

b

OY

3)a

b

=a

b

=AB（1）铅垂线(垂直于H面)AB投影面垂直线（2）正垂线(垂直于V面)OXZYba

b

a

b

a投影特性：1)a

b

积聚成一点2)ab

OX;a

b

OZ

3)ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

b投影面垂直线（3）侧垂线(垂直于W面)OXZYAB投影特性：1)a

b

积聚成一点2)ab

OYH;a

b

OZ3)ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b投影面垂直线投影特性

铅垂线正垂线侧垂线●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性:①在其垂直的投影面上，投影有积聚。②另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。例题例1：习题册P41,2,3,4例题例题2：已知铅垂线AB的一个端点A的投影a、a

，AB=12mm,并知B点在A点的正上方，求AB的三面投影。XZYWYHOa

ab

b12b

(a)a

特殊位置直线问题：1、一条直线能不能同时平行于三个面？2、一条直线能不能同时平行于两个面？XZYOaa

b

a

bb

AB投影面平行线：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。不能能倾角2.投影面平行线定义：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。投影面平行线（1）水平线（平行于H面）XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1)ab=AB2)a

b

OX;a

b

OYW3)反映

、

角的真实大小实长与H面的夹角:α

与V面的角:β与W面的夹角:γ

投影面平行线XZYOaa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1)a

b

=AB2)ab

OX;a

b

OZ3)反映

、

角的真实大小（2)正平线（平行于V面）实长投影面平行线XZYO（3）侧平线(平行于W面)XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1)a

b

=AB2)a

b

OZ;ab

OYH3)反映

、

角的真实大小实长投影面平行线投影特征水平线侧平线正平线b

a

aba

b

γαb

aa

b

ba

αβaa

βγba

b

b

投影特性：①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

例3：习题册P41,2,3,4例题例4

已知正平线AB的端点A的投影a、a′a″，直线实长为AB（长度如图），AB与H面的倾角α=30°，B点在A点的右上方。求作AB的三面投影图。ABVWHXYZO3.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

ZXa

b

aOYHYWa

bb

bb

a

b

aa

总结：一般位置直线的投影特性1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。属于直线的点直线上的点具有两个特性：1、从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2、定比性：若点C在直线AB上，则有AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″注：若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。点C不在直线AB上例题判断点C是否在线段AB上。abca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上xxooZa

b

●c

因c

不在a

b

上，故点C不在AB上。应用等比定理abca

b

c

●●另一判断法?XoYHYW例题判断点C是否在线段AB上。例题已知线段AB的投影图，求作AB上C点，使AC:CB=2:3。1Oa

b

ab2345c

c例题习题册第五页1、2一般位置直线的实长和倾角一般位置直线:对三个投影面都倾斜的直线

一般位置直线的投影特性：1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。直角三角形法。直角三角形法XOaba'b'ABaba'b'XOαB0(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)mmαABABαmAB0=abBB0=AB两点的高度差mab求直线的实长及对正面投影面的夹角

角AB

|YA-B|AB

AB

|YA-B|HVxoa′b′BAba

a'

b'|YA-B|b′a′baxoB1|YA-B|a'b'求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角直角三角形直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。

坐标差△X△Y△Z实长投影W面投影a″b″

V面投影a′b′

H面投影ab倾角

关于直线的四类基本问题1、已知直线的两投影，求直线与投影面的夹角和线段的实长。2、已知直线的一投影及其与投影面的夹角，求直线的投影。3、已知线段的一投影及其实长，求线段的投影。4、已知线段的实长及其与投影面的夹角，求直线的投影。习题：习题册P55,6，7题例题例1

已知直线AB的投影ab、a′及α=30°，B点高于A点。求作a′b′及AB的实长。例题例2

已知AB的正面投影a′b′和a，线段的实长为AB（长度如图），点B在点A的前边。求作ab及倾角β。第1章投影基本知识

1.5平面的投影1.4直线的投影1.3点的投影1.2正投影特性1.1投影概念一、平面的表示方法二、平面对投影面的各种相对位置三、平面上的点、直线以及平面图形1.5平面的投影a´b´BACacc"a"b"XHYVZWb1、用几何元素表示平面一、平面的表示方法2、用迹线表示平面ZXYHVWPHPVPWPa´b´BACacc"a"b"XHYVZWbcXOaba′b′c′XOabca′b′c′(1)不在同一直线上的三点(2)一直线和线外一点(3)两相交直线(4)两平行直线d′XOacda′c′bb′cXOaba′b′c′(5)平面图形XOabca′b′c′1、用几何元素表示平面ZXYHVWPHPVPWPPVPHPWYHXYWZO2、用迹线表示平面PH称为平面P的水平迹线，PV称为平面P的正面迹线，PW称为平面P的侧面迹线。平面对一个投影面的投影特性HYOpPHOYpPHOY平面与投影面平行全等性平面与投影面垂直积聚性平面与投影面倾斜类似性二、平面对投影面的各种相对位置

各种位置平面的投影特性空间平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面投影面平行面定义：对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面xzYVWHO水平面的投影特性：1、a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线，并平行于相应的投影轴。2、水平投影abc反映

ABC实形。

CABc′a′a″b″bacb′c″投影面平行面——水平面zcYWXa′b

′b″baoYHa″c′c″正平面的投影特性：1、abc、a″b″c″积聚为一条线，并平行于相应的投影轴。2、正平面投影a′b′c′反映

ABC实形。

XzYVWHO投影面平行面——正平面b′a′c′a″b″c″bcaCBAc″YWa″b″b

′oYHa′c′bcaXZXzYVWHOc″侧平面的投影特性：1、abc、a′b′c′积聚为一条线，并平行于相应的投影轴。2、侧平面投影a″b″c″反映

ABC实形。

投影面平行面——侧平面bb″c′aca′b′a″CBAYWa′b′b″boYHa″c′c″caXZ投影面平行面的投影特性

投影面平行面的投影特性可概括如下：平面所平行的投影面投影反映实形另外两个投影面上投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影特征：两线一框读图投影面垂直面

定义：垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面铅垂面的投影特性：1、平面的水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、OY夹角反映了平面与V、W面的、角，其α=90゜；2、a′b′c′和a″b″c″为

ABC的类似形;

a

′b

′a″b

″baozYHYWcc″c′XxYVWHozPPHABCacb投影面垂直面——铅垂面正垂面的投影特性：1、平面的正面投影a′b′c′积聚为一条线；积聚线与OX、OZ夹角反映平面与H、W的α、

角，其=90゜。2、abc、a″b″c″为

ABC的类似形;zxa′b

′a″b

″baoYHYWα

c″c′cXzYVWHoQVAc′Ca′b′B投影面垂直面——正垂面

侧垂面的投影特性：

1、平面的侧面投影a″b″c″积聚为一条线；积聚线与OY、OZ的夹角反映平面的α、β角，其

=90゜；2、abc、a′b′c′为

ABC的类似形；XzYVWHOSHSBCa

″b″Ac

″投影面垂直面——侧垂面YWXa′b

′b″baoYHa″αβcc

′c″Z投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性可概括如下：平面所垂直的投影面积聚为一条斜线，夹角反映该平面与相应投影面的夹角；另外两个投影面上投影不反映实形，且变小。abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2.另两个投影面上的投影有类似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜两框读图XZY一般位置平面的投影特性:

1、abc、a′b′c′和a″b″c″均为

ABC的类似形。2、不反映

、

、

的真实角度。

a″c″baca′b′b″CABYWZXa′b′b

″oYHa

″c

′c

″bac一般位置平面投影面平行面:两直线一框投影面垂直面:一斜线两框例题：已知平面图形的三面投影，判断平面的空间位置bac水平面正垂面侧垂面ZXYHVWPHPVPWPPVPHPWYHXYWZO2、用迹线表示平面xzYVWHO投影面平行面——水平面的迹线表示法zYWXoYHPVPWP投影面平行面——迹线表示法YWYHoXZZYWoYHX正垂面侧垂面QHQWSVSHxzYVWHoPPHPWPVAaZXYHYWγβPVPWPH铅垂面迹线表示法aa′

a″YVHWXZOQWQVQHQQVαγQWQHYHYWXZO正垂面的迹线表示法SWSHSVαβYHYWZXOYXZVHWOSSVSWSH侧垂面的迹线表示法（一）平面上的点和直线（二）平面上的特殊直线

（三）例题a´b´BACacc"a"b"XHYVZWbNn´nn"三、平面上的点、直线和图形判断直线在平面内的方法判断方法一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。判断方法二：若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线1.5.3平面上的点和直线1、点在平面上的几何条件：

若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线上。反之，若一点位于平面上的某一直线上，则该点必定位于平面上。

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点