计算机应用数学教学教案279

《计算机应用数学》教案

系别

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.1函数概念及其性质

教学目标明确课程学习目的及学习要求提高学习积极性；掌握基本初等函数.

教学重点函数的概念及其性质，函数的定义域.

教学难点分段函数

教学方法讲授法

教学用具黑板、粉笔、多媒体

新

课

导高等数学在专业课程学习中的重要性.

入

重

点

与

难

点形象引入、数形结合、举例讲解.

讲

解

方

法

知识1、理解函数的概念和性质；

小结2、会求函数的定义域.

教

学

教后

小

札记

结

改进

措施

课

习题1.1

后

1.(1)(2)

作

业2.(1)(2)

3.(2)(4)

教学过程：

一、知识回顾

回顾中学数学的基本初等函数的基本知识.

二、新课导入

本章将在中学数学已有函数知识的基础上进一步理解函数概念，并介绍反函

数、复合函数及初等函数的主要性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基本

知识.

三、新课内容

1、基本知识

1）常量与变量

一种是在观察过程中保持不变的量，这种量称为常量，通常用字母〃,b,G…来

表示；另一种在观察过程中会起变化的量，这种量称为变量，通常用字母x,y,z,…

来表示.

2）区间

设两个实数名。且a<b,则满足aWxWb的实数的全体称为闭区间，记作：

［a,b］；满足avxvb的实数的全体称为开区间，记作：满足aKxvZ?或

aV'WZ?的实数的全体称为半开半闭区间，分别记作：［为份或（4,万）.

上面这些区间称为有限区间，除了有限区间之外，还有无限区间.

（-8,"］表示全体不大于〃的实数，（-8,。）表示全体小于4的实数，g,+8）表

示全体不小于b的实数，S,+00）表示全体大于Z?的实数，（-OO,+CQ）表示全体实数.

3）邻域

邻域是在微积分中经常用到的一个概念.

在数轴上，以点与为中心的任何开区间称为点与的邻域，记作：U（%）.设3为

任意一个正数（6>0）,则开区间（%-5,%+5）就是点飞的一个邻域，这个邻域

称为点/的b邻域，记作：即。（％石）={出上一％|〈3},其中点小称为

邻域的中心，b称为邻域的半径.

2、函数概念

1）定义1.1设有两个变量工和y,若当变量x在非空实数集。内，任意取定

一个数值时，变量y按照一定法则了,总有唯一确定的数值和它对应，则称y是工

的函数，记作:

.y或者y=/(x),xeD

其中x的变化范围。称为这个函数的定义域，1叫做自变量，y叫做因变量.

2)函数的定义域与值域的求解方法.

3)相同函数.通过对函数定义的分析不难发现，确定一个函数，起作用的两

要素是：定义域和对应法则.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两

个函数就相同，否则就不同.

3、分段函数

有的函数要用几个式子来表示.这种在其定义域的不同范围内，对应法则用不

同的式子来表示的函数，称为分段函数.

注意：(1)分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是几个函数；

(2)由于分段函数是分段表示的，因此各个式子的定义域必须明确标出；

(3)对于分段函数求值时，不同点的函数值应代入相应范围的式子中去求；

(4)分段函数的定义域是各项定义域的并集.

【例题精讲】

例1函数y=2x+l的定义域为O=(YQ,+8),值域是W=(-oo,+oo),其图形

是一条直线，如图所示：

例2函数y=N=<称为绝对值函数，它的定义域为0=(一用)，

值域是W=[0,48),它的图形如图1.4所示.

例3下列各组函数是否相同？为什么？

(1)于(x)=x,g(x)=E；(2)/(x)=lgx2,^(x)=21gx

解：(1)不相同.因为/(x)=x,而g(X)=G*=W，两个函数对应法则不同,

所以f(x)与g(x)不相同.

(2)不相同，因为0/=(YO,0)U(0,+8),2=(0,+oo),两个函数的定义域不

同，所以f(x)与g(x)不相同.

【课堂练习】

l,(x>0)

例1函数y=sgnx=«0,(x=0)称为符号函数，请指出它的定义域和值域.

-l,(x<0)

解：它的定义域为O=(Y0,+8),值域是W={—1,0,1}.

例2求下列函数的定义域.

(1)fM=],-4+5(2)f(x)=lg(9-x2)+]:

4-x-Vx2-1

解：⑴要使f(x)=」一五行有意义，必须产7%°,解得厂*±2,

4-.rx+5>0[x>-5

所以该函数的定义域为D/=[-5,-2)J(-2,2)IJ(2,+oo).

Q—r2>0

(2)要使/(%)=@9-/)+书=有意义,必须2，解得

yJx2-\x2-l>0

-3<x<3

，所以该函数的定义域为0=(-3,-l)U(l,3).

xv-l取>1

【问题思考】

设y=/(x)的定义区间为(0川，求下列各函数的定义域.

2

(1)f(x)(2)/(sinx)(3)/(Igx)(4)/(x-1)+/(log2x)

【知识小结】

1、理解函数的概念和性质;

2、会求函数的定义域.

【课后作业】

习题1.1

1.(1)(2)

2.(1)(2)

3.(2)(4)

四、板书设计

课题

、课堂练习重点：

例1

——、

例2难点：

三、

《计算机应用数学》教案

系另U

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.1函数的概念及其性质

教学目标了解函数特性；会求反函数与复合函数.

教学重点反函数，复合函数.

教学难点复合函数

教学方法讲授法

教学用具黑板、粉笔、多媒体

新

课

基本初等函数的图像

导

入

重

点

与

难

点

数形结合

讲

解

方

法

知识1、会利用函数的性质解题；

小结2、会求反函数及复合函数.

教

后

学

记

小

结

改进

措施

课

后

习题L1

作

业5.(1)(2)

教学过程：

一、知识回顾

回顾函数的概念.

二、新课导入

中学阶段所学的基本初等函数的性质和图像.

三、新课内容

1、函数的简单性质

1)函数的有界性

设函数y=/(x)在。上有定义，若存在正数M,使对于任何xw。，都有

|/(x)|<M,则称函数y=在。上有界；否则，称为无界.若一个函数在它的

整个定义域内有界，则称该函数为有界函数.有界函数的图形必位于两条直线

y=M与y=-M之间.

2)函数的单调性

设函数y=f(x)在。上有定义，任取两点百,占£。，当王时，有

f(x])<f(x2),则称函数y=/(x)在。上是单调增加的；当王<玉时，有

/(x,)>/(x2),则称函数y=/(x)在。上是单调减少的.

单调增加或单调减少的函数，它们的图形分别是沿工轴正向逐渐上升或下降，

图L5

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.若函数y=/(幻在其定义域。内

的某个区间内是单调的，则称这个区间为函数y=/(x)的单调区间.

3)函数的奇偶性

设函数)，=/(%)的定义域D关于原点对称.若任取都有/(-X)=/(X),

则称y=/(%)是。上的偶函数.若任取都有/(一工)二一/J),贝IJ称y=f(x)是

。上的奇函数.

从几何图形上看，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.

4)函数的周期性

设函数y=f(x)的定义域为D,若存在正数7,使于任何工£。，有(x±7)£。，

且/(x±T)=/(x),则称函数y=/(尢)是为周期函数，/称为/(幻的周期.通常我

们说的周期函数的周期是指其最小正周期.

2、反函数和复合函数

1)反函数

定义1.2设给定y是x的函数y=f(x),若把y当作自变量，1当作函数，则

由关系式y=/(x)所确定的函数冗=e(y)称为函数y=/(x)的反函数，记作：

x=(jp(y),也常记作：x=f~\y),yeWf.

由定义可知，y=f(x)与互为反函数.我们习惯上，用x表示自变量,

y表示因变量，所以反函数常习惯地表示成y=/T(x)的形式.

注：(1)函数y=/(x)与其反函数x=/T(y)是表示同一个函数.

(2)求反函数的方法：给出一个函数y=f(x),要求其反函数，只要把x用y

表示出来，再交换x与y的位置即可.

2)复合函数

定义1.3设y是〃的函数y=/(〃)，而〃又是x的函数〃=g(x),且当x在

〃=g(x)的定义域(或该定义域的一部分)。内取值时，对应的“值使y有定义，

则称y是工的一个定义于。的复合函数，记作：y=f[gMlxeDt称＞=/(〃)为

外层函数，"二g(x)为内层函数，〃为中间变量，x为自变量，y为因变量.

&：(1)函数〃=g(x)与函数y=/(〃)构成的复合函数通常记为fog,即

(fog)(x)=f[g(x)].

(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.只有当函数y=/(〃)的

定义域与函数〃=g(x)的值域有公共部分时，两个函数》=/(w)与u=g(x)才能复

合成函数y=/[g(x)]；否则，这两个函数就不能复合.

(3)有时我们会遇到两个以上的函数构成的复合函数.

1.1.4函数的四则运算

设函数〃X),g(X)的定义域分别为9,02，。二拉门。2。0，则我们可以定义

这两个函数具有下列运算：

和(差)f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x\XGD.

积fg：(/•^X-^)=/W-g(x),xeD.

商—：.](》)="")，XG{A)XGDKgW^O}.

gg(x)

3、基本初等函数

1)常数函数y=C(。为常数).

2)嘉函数y=/(。为常数).

3)指数函数y=a*(a>0且a工1).

4)对数函数y=logqx(。>0且awl).

5)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.

6)反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.

这六种函数统称为基本初等函数，已在中学数学中学过，它们的定义域、值

域、图形、性质等参见附录2.

4、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的，且可用一

个解析式表示的函数称为初等函数.否则，称为非初等函数.今后我们讨论的函数,

绝大多数都是初等函数.

【例题精讲】

例1正弦函数y=sinx是有界函数，因为它在定义域(-8,+8)内，总有

|sinx|<l.

例2/(x)=f是偶函数，因为其定义域为(-co,+oo),且

f(-X)=(-X)2=X2=/(X)；F(X)=V是奇函数，因为其定义域为(YQ,+8),且

f(-x)=(r)3=-X3=-f(x).

例3求了=际彳的反函数.

解：由)­疡T解得X=y3—],交换]与y,得y=d—1,即为所求反函数.

可以证明，函数)，=/(幻的图形与y=/7(x)的图形关于直线y=x对称.

例4设/(幻=4/一不，g(x)=sin.j试写出/[g。)],0/(幻]的表达式.

解：f[gM]=/(sinx)=4sin2x-sinx,g[/(x)]=g(4f—x)=sin(4f—幻.

【课堂练习】

例1f(x)=f在(_8,0J上单调减少，(-OQ,0]为单调减少区间；在[0,+8)上单

调增加，[0,+0。)为单调增加区间，但该函数在(Y0,+0。)上不是单调函数.

例2函数y=3("-»可以看成由哪些函数复合而成？

解：原函数可以看成下列三个函数的复合：y=3",〃=/,v=5x-l,其中

〃与u为中间变量.

【问题思考】

设函数的定义域为[1,2],求函数/(x-1)的定义域.

【知识小结】

1、会利用函数的性质解题；

2、反函数及复合函数.

【课后作业】

习题1.15.(1)(2)

四、板书设计

课题

・■、课堂练习重点：

例1

—、

例2难点：

、

《计算机应用数学》教案

系别

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.2函数的极限

教学目标理解数列的极限，理解函数的极限，会求左右极限.

教学重点极限存在的充要条件

教学难点函数极限的概念

教学方法讲授法

教学用具黑板、粉笔、多媒体

新

课极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要

导工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌

入握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.

重

点

(1)1,2,3,,〃,；(2)1,1,；(3)都是

与

23n

难

点数列，它们的通项分别为=-,a=(-l)w-1.

nn

讲

对于数列，我们主要关注的是，当它的项数〃无限增大时，它的变化趋

解

势.

方

法

知识1、会求左右极限；

小结2、极限存在的充要条件.

教

学

教后

小

札记

结

改进

措施

课

后

作习题1.21.2.

业

教学过程：

一、知识回顾

数列的概念

二、新课导入

极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具,

如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思

想与方法是学好微积分的前提条件.

三、新课内容

1、数列的极限

1）数列的概念

定义L4定义在正整数集上的函数凡=/（〃）5=1,2,…），其函数值按自变量

〃增大的次序排成一列数4，。2吗1,〃”,L称为数列，记作：｛4｝.

其中％称为数列的首项，。〃称为数列的一般项或通项.

2）数列的极限

定义L5设有数列｛4｝和常数A.若当〃无限增大时，（无限趋近于A,则称

A是数列｛凡）的极限（或称数列｛%｝收敛于4）,记作：

liman-A或an—>4（〃tOO）,

n—>oo

否则，则称数列｛4｝的极限不存在，或者说数列｛4｝是发散的.

数列极限的几何解释：将常数A和数列的各项6M2M3，L,4,L在数轴上用对

应的点表示，若数列｛〃”｝收敛于A,则表示随着项数〃越来越大，在数轴上表示可

的点从点4的一侧（或两侧）就越来越接近A,如图1.6所示.

­►A<—

I111I■I111除

a

々1%a5%_2々I）t-3%4%

图1.6

若数列｛4｝收敛，则该数列有如下性质：

性质1（唯一性）若数列｛凡｝收敛，则该数列的极限唯一.

性质2（有界性）若数列｛4｝收敛，则该数列一定有界.

定理L1(单调有界原理)单调有界数列必有极限.

推论无界数列一定发散.

注：有界数列不一定收敛，发散数列不一定无界.

2、函数的极限

对于给定的函数y=/(x),因变量y随着自变量式的变化而变化.若当自变量x

无限接近于某个目标(数/或无穷大8)时，因变量了无限接近于一个确定的常

数A,则称函数y=/(x)以A为极限.下面我们根据自变量x无限接近于不同的目

标，分别介绍函数的极限.

1)当X-8时，函数/*)的极限

定义L6设函数对于绝对值无论多大的x是有定义的，若当国无限增大

(即％—8)时，函数/(的无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数f(x)

当xf8时的极限，记作：

lim/(x)=A或/(x)tA(xtOO).

有时需要区分趋于无穷大的符号，我们将X取正值无限增大，记作：Xf+X)；

将X取负值其绝对值无限增大，记作：Xf-OO.

类似地，若当Xf-00(或不一找)时，函数/(%)无限趋近于一个确定的常

数A,则称常数A为函数/(x)当xf-8(或x—>+oo)时的极限，记作：

limf(x)=A(或lim/*)=A).

XT-COXT+CO

定理1.2lim/(x)=A的充分必要条件是加/*)=4且limf(x)=A.

2)当时，函数/*)的极限

定义1.7设函数/*)在点与的某邻域内有定义(/可以除外)，若当x无限

趋近于%(xwx°)时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函

数/(X)当Xf%时的极限，记作：

lim/(%)=A或/(x)fA(x—>x0).

注：(1)极限研究的是当XT/时，/(X)的变化趋势，与/(X)在与处有无定

义无关.(2)xf%是指x从.％的左右两侧趋近于小.

定义1.8若当x从与的左侧无限趋近于今(即xf/一)时，函数f(x)无限

趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数/(幻当X从左侧无限趋近于飞(即

时的左极限,记作：lim/(x)=A或/(%()-0)=A.

XT%

类似地，若当X从与的左侧无限趋近于4(即XfX。-)时，函数/(%)无限趋

近于一个确定的常数A,则称常数A为函数/(冗)当X从左侧无限趋近于小(即

x->x0")时的左极限，记作：1而/(幻=4或/(/+0)=24.

XT4

左极限和右极限通称为单侧极限.

定理1.3limf(x)=A的充分必要条件是lim/(x)=A且limf(x)=A.

Xf与XT%-XT勺-

【例题精讲】

例1将下列数列在数轴上表示出来，并讨论其收敛性.

(1)2,4,8,L,2\L(2),L(3),(-l)\L

234n+\

解：将数列(1)(2)(3)在数轴上分别表示出来，如图所示：

--------►

02481632

1

123

0———1

234

02Vla2Jc

i1

-11

从数轴上可以看出，数列(1)(3)的极限不存在，它们是发散数列；数列(2)

的极限是常数1,记作：limq,=lim/一二1.

n->oo〃-〃+]

例2函数f(x)=’的图形如图所示，试判断其极限情况.

x

解：从图可以看出，/(X)TO(X->-CO),F(x)f0(x->+co),所以limf(x)=0,

X-XJO

即当Xf8时，f(x)以0为极限.

例3当x->-8与xf时，/(x)=arctan尢的变化趋势，并判断当xf8时,

/(x)的极限是否存在？

解：由图可得，limf(x)=limarctanx=-—,lim/(x)=limarctanx=—,

Xf-ooX-2XT+X2

由定义1.6可知，当x->8时，/(x)=arctanx无法与一个确定的常数接近，所以

当XT8时，f(X)的极限不存在.

在？

解：如图1.12所示，lim/(x)=lim(-%)=(),lim/(x)=lim(x+1)=1,由定

x->0-x->0+x-M)4

理1.3可知，lim/(x)不存在.

X…

【课堂练习】

Xr>0

例1设函数f(x)=:，判断limf(x)是否存在？

sinxx<0z°

解：limf(x)=limsin^=0,limf(x)=limx=()，由定理1.3可知，limf(x)=0

x-HTx->0-x-»O+x^Q*XTO

x2+lx<0

例2设函数f(x)=，l-x0<x<l,讨论Iim/(x)和limf(x)是否存在？

人—>0人fl

3xx>1

解：因为limf(x)=lim(x2+l)=l,limf(x)=lim(l-x)=1,所以lim/(x)=l；

XT。-XT。-XTO*XT(rX->0

又lim/(x)=lim(l-x)=O,limf(x)=lim(3x)=3,所以lim/(x)不存在.

XT「x-»r,v->rx->r-r->l

【问题思考】

x(x工1)〜.

思考①/(x)=x+i,②——-=x+i(x^1)③〃(©=«在X—1时

X-1O(x=l)

的极限值以及函数值的情况。

【知识小结】

1、会求左右极限；

2、极限存在的充要条件.

【课后作业】

习题1.21.2.

四、板书设计

课题

、课堂练习重点：

例1

—、

例2难点：

三、

《计算机应用数学》教案

系另U

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.2函数的极限

教学目标理解函数极限的性质，无穷小量与无穷大量.

教学重点理解和判断无穷小量与无穷大量

教学难点无穷小量的比较

教学方法讲授法

教学用具黑板、粉笔、多媒体

新

课求极限lim」=O；lim(x-3)=0；limsinx=0,我们发现共同点即极限值

导nx-»3.r—>0

入为0.

重

点

与

难

点、数形结合

讲

解

方

法

知识1、函数极限的性质；

小结2、无穷小量与无穷大量的概念.

教

学

教后

小

札记

结

改进

措施

课

后

习题1.2

作

3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)

业

教学过程：

一、知识回顾

函数极限的概念

二、新课导入

求极限lim'=O；lim（x-3）=0；limsinx=O,我们发现共同点即极限值为0.

w-xc〃XT3XTO

三、新课内容

1、函数极限的性质

性质1（唯一性）若lim/*）存在，则该函数的极限唯一.

XT%

性质2（有界性）若limf（x）存在，则存在点与的某个去心领域，在该去心邻

Xf”

域内函数”幻有界.

性质3（保号性）若lim/（x）=A且A>0（或A<0）,则存在点与的某去心邻

Xf%

域，在该去心邻域内，。）>0（或/a）〈o）.

推论若在点飞的某去心邻域内，/（x）>0（或f（x）WO）,且lim/（x）=A,

则ANO（或AKO）.

性质4（夹逼准则）若在点飞的某去心邻域内，有

g（x）</（x）<h（x）,limg（x）=limh（x）=A,

XT%

则lim/（x）=A.

xf”

2、无穷小量与无穷大量

1）无穷小量

定义1.9在自变量的某一变化过程中（当Xf%或时），极限为零的函

数称为无穷小量（简称无穷小），即

若limf（x）=0,则称当Kf%（或x->8）时，f（x）是无穷小量.

（XT8）

注：（1）无穷小量（除0以外）是极限为0的变量，而不是很小的数.

（2）常量0是无穷小量，而无穷小量不是0.

（3）无穷小量是相对于自变量的变化过程而言的.

性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量.

性质2有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.

推论常数与无穷小量的乘积是无穷小量.

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量.

定理1.4lim/(x)=A的充分必要条件是，(%)=A+a(x),其中a(x)是无穷小

量(X4%时).

2)无穷大量

定义L10在自变量的某一变化过程中(当Xf马或XT8时)，绝对值无限

增大的函数称为为无穷大量(简称无穷大)，即

若lim/(X)=co,则称当尤->与(或Xf8)时，/3)是无穷大量.

Xf"

(x->oo)

当XfX。或Xf8时为无穷大的函数f(x),按照函数极限的定义来说，它的

极限是不存在的，但是为了方便叙述函数这一性质时，我们也可以说“函数的极

限是无穷大”，并记作：

limf(x)=oo(或limf(x)=oo).

KT与X—>30

注：(1)无穷大量是一种特殊的无界变量，而不是很大的数；

(2)无穷大量的代数和未必是无穷大量；

(3)无界变量未必是无穷大量；

(4)无穷大量是相对于自变量的变化过程而言的.

3)无穷小量与无穷大量的关系

定理1.5在自变量x的同一变化过程中，若/(x)是无穷大量，则」一是无穷

/(x)

小量；若是非零无穷小量，则;二是无穷大量.

f(x)

4)无穷小量的比较

例如，当x-0时，2x,x2,sinx都是无穷小量，而

x2八..2xsinx1

hm—=O,lim—=oo,lim----=—,

XT。/XTO2X2

两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于零的“快

慢”程度.

定义1.11设。、夕是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小量，

(1)若lim1=0,则称a是比S高阶的无穷小量，记作：a=o(0)；

(2)若lim1=8,则称。是比夕低阶的无穷小量；

（3）若lim£=C（C为非零常数），则称a与6是同阶无穷小量;

（4）lim^=l,那么称a与4是等价无穷小量，记作：a:p.

【例题精讲】

例1求极限lim（—T--/+H—.）.

2

+iJ"+2yjn+n

11

解:因为/J■■■/又

y/n2+n\]n2+1yjn2+2yjn2V«2+1

所以由夹逼准则，得1加（二=+7^++下=）=1.

…V^+lJ/+2+〃

例2设函数y=f和丁=加工，且它们的图形分别如图L13和1.14所示，求

limx2和limInx.

解：从图中可以看出：limf=+a>,limInx=-oo.

x->0，

图1.13图1.14

例3求（1）lim[；（2）

lim—

x~X>X13x—3

解：（1）因为limx2=0,（2）因为理累二°'所以

x->0所以期3=00;

x+3

lim---=oo.

s3x-3

【课堂练习】

例1指出下列函数哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？

(1)y=---(xfl)(2)y=2x(x—>+oo)

x-}

(3)y=(-)r(x—>+oo)(4)y=，皿。(。10)

42+sec。

解：因为lim」一=8,lim2X=+oo,lim(—)x=0,lim=0,所以(1)

XTIx—1XTextp4，->o2+sec0

和(2)是无穷大量，(3)和14)是无穷小量.

【问题思考】

当X—>0时，2x,/,sinx都是无穷小量，而1加二=0』而4=8,12包匠=」是

ZOK.32X2

为什么？

【知识小结】

1、函数极限的性质；

2、无穷小量与无穷大量的概念.

【课后作业】

习题1.2

3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)

四、板书设计

课题

、课堂练习重点：

例1

—、

例2难点：

三、

《计算机应用数学》教案

系别

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.2函数的极限

教学目标掌握用极限的运算法则求极限，会利用等价无穷小求极限.

教学重点极限的运算法则

教学难点利用等价无穷小求极限

教学方法讲授法

教学用具黑板、粉笔、多媒体

新

课

导初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.

入

重

点

与

难

点举例详讲

讲

解

方

法

知识1、掌握用极限的运算法则求极限；

小结2、会利用等价无穷小求极限.

教

学

教后

小

札记

结

改进

措施

课

后习题1.2

作4.(1)(3)(5)(7)

业6.(1)(2)

教学过程：

一、知识回顾

无穷大量与无穷小量

二、新课导入

初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.

三、新课内容

1、极限的运算

1)极限的运算法则

设极限limf(x)和limg(x)都存在，则

(1)函数和的极限等于极限的和：lim"(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)；

(2)函数差的极限等于极限的差：lim"(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)；

(3)函数积的极限等于极限的积；lim[/(x)^(x)]=lim/(x)lim^(x)；

(4)常数倍函数的极限等于函数极限的常数倍：lim[(7(x)]=Climf(x)(C为

常数)；

(5)函数商的极限等于极限的商，但要求分母函数的极限不为零：

f(x)limf(x)/、

lim----=-------(hmg(x)/0)；

g(x)limg(x)z。

(6)函数乘方的极限等于函数极限的乘方：Hm尸⑶=(其中〃为

正整数)；

(7)函数开方的极限等于函数极限的开方：lim.f(x)=qlimf(x)(其中"为

正整数，当〃为偶数时，limf(x)?O).

注：(1)极限的运算法则中的(1)(2)(3)可推广到有限个函数的情形；

(2)利用该运算法则时要求各函数的极限都要存在.

2)利用极限的运算法则求极限

下面介绍几个基本极限公式：

(1)limC=C(C为常数)；

(2)\imx=a；

XT。

(3)limx〃=a"(由乘方性质可得到，其中〃为正整数)；

（4）IimVx=Vd（其中〃为正整数，且当〃为偶数时，假设a>0）.

定理1.7对于多项式函数和有理函数（多项式函数之商），当XT。时，将。带

入函数式得到的函数值等于函数的极限值，即

limP（x）=P3）（其中尸（》为多项式函数）;

喘洋器（其中PC多项式函数，并且。⑷

综上所述，我们可以得到这样的结论：当〃&九为非负整数，%,均为非零常数

0tn<n

时，则有+…+%=•—tn=n

瓦

oom>n

上面的结论在求极限时可直接运用.

3、利用等价无穷小因子替换求极限.

由定义=那么称a与夕是等阶无穷小量，记作：a:

关于等价无穷小量，我们有下面等价代换法则.

定理L6若a-a',p夕且lim《存在，贝打im2=lim《.

aaa

、工.(a，a，

证明：hi-mUP=lvim(P-P-'-----)\=hvm—Plvim—Plvim—=lvim-P'

a夕优aPa'aa'

可以证明，当x-0时，常见的等价无穷小量有：

(1)sinxx(2)tanx-x(3)arcsinxx(4)arctanx-x

(5)ex-\x(6)ln(l+x)x(7)1-cosx—(8)VT+^-1-x

2n

利用等价代换法则可以简化极限的计算.

【例题精讲】

例1求极限lim(2d—5x+3).

XT5

解：lim(2x2-5x+3)=lim(2x2)-lim(5x)+lim3=21imx2-51imx+lim3

XT5X->5X->5XT5X->5,r-»5XT5

=2x5?—5x5+3=28.

例2求极限㈣告

33

短..V+2x+lJim(x+2x+l)(-1)+2(-1)+1

解：lim-------=-------；—=----------；——=2.

…2-3X2lim(2-3x2)2-3(-1)2

XTT

Y+1

例3求极限lim(2/+3x+-5——).

fX2+1

分析：令/*)=2d+3x+半，因为f(x)在x=l处有定义，所以可用直接

x+1

代入法求出极限.

解：lim(2x3+3x+4^-)=Iim(2x3+3x)+lim4^-=2xl3+3xl+4i!-=6.

ix2+l—xff+]12+1

例4求极限lim±d.

XT2X-2

分析：令〃x)=3,因为〃x)在x=2处无定义，所以不能用直接代入法

x-2

求极限，但是可用无穷大和无穷小的关系求出极限.

1x-2

解：lim----=lim——=0,由无穷大与无穷小的关系可知，当xf2时，/(x)

7f(x)^->2X+1

是无穷大，即lim士?=8.

12x-2

r2_i

例5求极限limt.

f2x-x-l

分析：令=cf-1,,因为/(外在x=l处无定义，所以不能用直接代入

2x~-x-\

法求极限，但是我们考虑的是上无限趋近于1时/(元)的极限，当X趋近于1时满足

XH1,因此此题可用化简法求出极限.

xz-i..(.r+l)(x-l)..x+\2

解：lim=lim-----------=hm-----=—

XT12X2-X-\i(2x+1)(1)z2x+l3

例6求极限lim---:.

分析：当xfO时，函数的分子分母的极限都为零，所以不能用直接代入法求

极限，但是我们可先将分母有理化后再求极限.

解：lim—^^==lim——f2(1+^1+5)=­=lim(-1-Vl+x2)=-2.

^l-Vl+x2-1+W)(1+Jl+f)z。

例8求下列各极限.

,［、［.3x2+2x+5,、..x2+x+\,、2x2+x+\

(1)hm—；---------(2)hm—------；----(3)lim------------

x->84f+3x+］is%+2x+xXT003x+5

23+2+9

kjj/1、1.3x+2x+5「rr23+0+03

解：⑴lim—；-------=hm——会-々一=-------=一.

x->co4x2+3x4-1I,।314+0+04

------1----y

XX

!J_

223

/ox..X4-X4-1..vrr0+0+0八

(2)hm^-----——=lim-~~——-0

XT9JC+2J5C+Xx-211+0+0

1n----+-Y

31

—I八

(3)因为lim个+5=】im"/=一°+°一=0,所以由无穷大与无穷小

~2f+x+lx^2+-+—2+0+0

xx2

的关系，可知1而2『+"+1=一

x-*83x+5

sin2x3x2

例9lim-------=lim—=—.

a。tan3xzo2X3

x2x

例加i1八0hi-m-1---c--o-s--x-=h..m—2—=hrm--2-=0n.

iojr+xIOJT+Xio/+1

制ln(l+x)A

例11hm----------=hm—=1.

sinxz°x

【课堂练习】

13

例1求极限lim(」-----

I1—x1-x3

lim(—-------=limx+"+］二3=ii丁+又/=lim—3+2),T)_

解:m

111一工i-xE1-xii1-x-(x-l)(x~+x+l)

x+2

=lim---2-------7=-1・

x-»l『4-X+l

例2求极限lim/sinL

z。x

解：因为当xf0时，/是无穷小量,sin1是有界变量，所以limx?sin」=O.

XXTOx

例3求极限limYsinL

a。x

解：因为当xf0时，/是无穷小量,sin,是有界变量，所以limfsin」=O.

xx

“4rtanx-sinx

例4求hm-----r----.

XTOX

LJJtanx—sinx..sinx(\—cosx)sinx11—cosx1

解：hm-----7----=hm----z-------=lim--------------,——=—.

a。x2。xcosxa。xcosxx~2

【问题思考】

求极限^^1+!+[+…分析：此例不能直接运用极限运算法则，但只

n->oo3323

要利用等比数列求和公式求出函数之和后，就能求出极限.

【知识小结】

1、掌握用极限的运算法则求极限；

2、会利用等价无穷小求极限.

【课后作业】

习题1.2

4.(1)(3)(5)(7)6.(1)(2)

四、板书设计

课题

、课堂练习重点：

例1

—、

例2难点：

三、

《计算机应用数学》教案

系另!1

授课对象课时安排2

年级班次

章节题目第1章1.2函数的极限

教学目标利用两个重要极限公式求极限

教学重点两个重要极限公式

教学难点两个重要极限公式

教学方法讲授法