数学 -江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月考试试题及答案

1南大附中高三数学12月考试一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要1．已知复数（其中为虚数单位则z=()xx2+2xx2xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数=sin的图象向左平移后所得函数为奇函数，则w的最小值为()5．已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在抛物线C上，点M在y轴上的投影为点N，则M--.M--的 7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=4，AB=BC=2,AC=23，则球O的表面积为()8．若关于x的不等式ea+x.lnx<x2+ax对x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为()2二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，且X~N(160,900)，10．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积记为S，若a=4,A=60o，则() B.△ABC的外接圆周长为π C．S的最大值为4·311．已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，g’(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数，f(2)=4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.)12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为.13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，△ABC的面积S=·i3，则a+4b的最小值为，此时△ABC的周长为.32PMPN的最小值为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.)15本小题满分13分）已知数列{an}满足a1=2(1)比较a2024和a2026的大小，并写出过程；(2)设数列的前n项和为Sn，证明：Sn<1.16本小题满分15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周性别锻炼合计不经常经常男生女生合计若将一周参加性别锻炼合计不经常经常男生女生合计若将一周参加体育锻炼次数一周参加体育锻炼次数01234567男生人数12456543女生人数45564321合计579864为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，判断能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系.（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E(X)和D(X)；（3）若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.4α0.10.050.01xα2.7063.8416.635 (1)证明：平面PBD丄平面ABCD；(2)若PB=PD，PC与平面ABCD所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN丄平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由.18本小题满分18本小题满分17分）已知椭圆C的两个焦点为F(·i3,0),F(s3,)v31-20，且椭圆C的离心率为.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点A,B，且弦AB的中点为E，直线OE的斜率为k2，求k1.k2；(3)直线L与椭圆C有两个不同的交点P,Q，椭圆C在点P,Q处的切线分别为L1,L2,L1与L2交于点T，点T在直线x=4上.请判断直线L是否经过定点，并说明理由.519本小题满分17分）已知函数f(x)=aex-e-x,(a∈R).（1）若f(x)为奇函数，求此时f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设函数g(x)=f(x)-(a+1)x，且存在x1,x2分别为g(x)的极大值点和极小值点.（i）求函数g(x)的极值；)>0，求实数k的取值范围.6南大附中高三数学12月解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数（其中i为虚数单位则izi=() 【答案】C故选：C.【答案】A【详解】因为a=(-1,1),b=(2,1)，所以ka+b=(2-k,因为(k+)丄，所以(k+).=-(2-k)+1+k=0，解得故选：Ax2xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A因为f(x)=2x+x在R上单调递增，又f(1)=3，由2x+x<3，可得x<1，所以B={xx<1}，所以AB，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.故选：A.74．已知函数f(x)=sin(|(wx+),(w>0)的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则w的最小值为()【答案】D所以w=12k-4(k∈Z)，又w>0，所以12k-4>0，解得k>，因为k∈Z，所以k=1时，w取得最小值，最小值为8.故选：D5．已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在抛物线C上，点M在y轴上的投影为点N，则M--.M--的【答案】B【详解】由抛物线C:y2=8x可知，焦点为F(2,0)，设M(x0,y0)(x0≥0)，则N(0,y0)，0,0),M0,-y0)，所以MN.MF=-x0(2-x0)=x-2x0=(x0-1)2-1，故选：B24【答案】C 7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=4，AB=BC=2,AC=23，则球O21π27π40π64π【答案】D8【详解】如图：在△ABC中，AB=BC=2,AC=2，在直角三角形PQB中，BQ=2，BP=4，所以QP=2设棱锥P-ABC外接球半径为R，在直角三角形OQB中，(2-R)2+22=R2，解得所以球O的表面积为：S=4πR2=4π×故选：D故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，且X～N(160,900)，9【答案】ACD【解析】选项A：由X～N(160,900)，得E(X)=160，故A正确；选项B：由Y～N(160,400)，得D(Y)=400，故B不正确；选项C：由于随机变量X服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：x=160，选项D：解法一：由于随机变量X，Y均服从正态分布，且对称轴均为直线：x=160，D(X)=900>D(Y)=400，所以在正态曲线中，Y的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以P(X≤180)<P(Y≤180)，故D正确.解法二：因为X～N(160,900)，Y～N(160,400)，故D正确.故选：ACD.10．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积记为S，若a=4,A=60o，则() B.△ABC的外接圆周长为π C．S的最大值为43 D．若M为线段AB的中点，且CM=，则S=4S3【答案】AC △ABC外接圆的半径为R，则2R=，则△ABC的外接圆周长为π,B不正确；由C可知，当S=43时，△ABC为等边三角形，此时CM=23，故D错误.故选：AC.11．已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，g’(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数，f(4)=2f(2)=4【答案】BC【解析】因为g(x)为偶函数，则g(-x)=g(x)，两边求导得-g’(-x)=g’(x)，所以g’(x)为奇函数，因为f(x)+g’(x)-2=0，f(x)-g’(4-x)-2=0，两式相加得f(1)+f(3)-4=0，即f(1)+f(3)=4，故C正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。n的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为.【答案】240或3840解得n＝6.又由于的展开式系数和为729，令x=1得，即(a+1)6=729，解得a=2或-4，的展开式的通项为Tr+1=Cr=a6-rCx6-3r，令6-3r=0，解得r=2，所以展开式的常数项为a4.C，故答案为：240或384013.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,的最小值为，此时VABC的周长为.由和正弦定理可得→c2-b2=a2-ab→a2+b2-c2c22 2上的两个动点，点C(6,6)满足：.=0,+=,，则PM+2PN的最小值为.【答案】12-2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15本小题满分13分）已知数列{an}满足a1=2,an+1(1)比较a2024和a2026的大小，并写出过程；(2)设数列的前n项和为Sn，证明：Sn<1.16本小题满分15分）独立性检验+离散型随机变量的期望与方差+二项分布与超几何分布解1）第1步：补全2×2列联表完成列联表如下.性别锻炼合计不经常经常男生7女生合计第2步：根据公式求x2的值零假设为H0：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关.根据列联表中的数据计算，得第3步：对照临界表得结论根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.（2）第1步：判断X服从二项分布因为学校总的学生人数远大于所抽取的学生人数，故X近似服从二项分布，随机抽取1名学生为“极度缺乏锻炼”者的概率p=，则X~B第2步：根据公式求出期望与方差（3）第1步：根据超几何分布求出相应概率由题意可知，10名“运动爱好者”中有7名男生，3名女生，Y服丛超几何分布题眼）第2步：列分布列故所求分布列为Y0123P1 第3步：求数学期望17.（本小题满分15分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB丄BC，BC=2AD=2，AB=，E为CD的中点，PB丄AE.(1)证明：平面PBD丄平面ABCD；(2)若PB=PD，PC与平面ABCD所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN丄平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析【解析】（1）由四边形ABCD是直角梯形BC可得DC=2，上BCD=从而△BCD是等边三角形，BD=2，BD平分上ADC.:E为CD的中点，:DE=AD=1，:BD丄AE，又:PB丄AE，PB∩BD=B，BD平面PBD，PB平面PBD:AE丄平面PBD，AE平面ABCD，所以平面PBD丄平面ABCD.（2）在平面PBD内作PO丄BD于O，连接OC，QAE丄平面PBD，又:AE平面ABCD，平面PBD丄平面ABCD.因为平面PBD∩平面ABCD=BD，PO平面PBD，:PO丄平面ABCD:上PCO为PC与平面ABCD所成的角，则上PCO=:PB=PD，PO丄BD，:O为BD的中点，:OC丄BD.以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，假设在侧面PCD内存在点N，使得BN丄平面PCD成立，由题意得N(-λ,μ,-·(λ+μ-1))，-1,0,-S3)，解得满足题意22,22 求出点N到直线PD的距离为： 8-8-152-(.)2 155所以N点到直线PD的距离为.21-20，且椭圆C的离心率为.21-20，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点A,B，且弦AB的中点为E，直线OE的斜率为k2，求k1.k2；(3)直线L与椭圆C有两个不同的交点P,Q，椭圆C在点P,Q处的切线分别为L1,L2,L1与L2交于点T，点T在直线x=4上.请你判断直线L是否经过定点，并说明理由.【解】（【解】（1）设椭圆C的标准方程为a22l:椭圆C的标准方程为+y2=1.（2）方法一：点差法：ly120ly120又A,B在椭圆C上，则两式相减得方法二：椭圆方程代换：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0)，直线l:y=k1x+t，方法三：联立方程：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0)，直线l:y=k1x+t，（3）设P(x3,y3),Q(x4,y4)，先求椭圆C在点P,Q处的切线L1,L2的方程.方法一：根据判别式Δ=0求解椭圆C在点P(x3,y3)处的切线L1，设L1:y=rx+s，y3同理可得，L2