第4讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题（解析版）

一．选择题（共10小题）1．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是()【解答】解：如图所示，设线段PF的中点为M，连接OM.设椭圆的右焦点为F，连接PF．则OM//PF.故选：A.2．如图，从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|与ba的大小关系为()A．|MO||MT|>baC．|MO||MT|=baD．以上三种可能都有【解答】解：将点P置于第一象限.设F1是双曲线的右焦点，连接PF1:M、O分别为FP、FF1的中点，:|MO|=|.又由双曲线定义得，故|MO||MT|3．从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO||MT|等于()【解答】解：如图所示，设F是双曲线的右焦点，连接PF.:点M，O分别为线段PF，FF的中点，:|OM||MT|=|MF||MT|a=|FT|a，连接OT，因为PT是圆的切线，故选：B.，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，已知|PF1|是O，则该双曲线的离心率为()则点P在C的右支上，F2:m=2c2a，n=2c4a，|PF解得：曲线的离心率为，故选：D.右焦点，O为坐标原点，若M是上F1PF2的角平分线上的一点，且F1M丄MP，则|OM|的取值范围是()【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交于N点，:|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，」O为F1F2中点，M为F1N中点」在椭圆中，设P点坐标为(x0，y0)00」P点在椭圆上，:|x0|故选：A.于顶点的任意一点，PQ是上F1PF2的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的长为()A．定值aB．定值bD．不确定，随P点位置变化而变化【解答】解：过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，交PF2的延长线于M，由三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，由三角形的中位线定理可得|OQ|=M|=a，故选：A.7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l:x+2y-8=0与椭圆相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则上F1PF2的角平分线所在的直线的方程为()A．2x-y-1=0B．x-【解答】解：由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则上F1PF2的角平分线所在的直线为法线，即与直线l垂直的直线，而直线l:x+2y-8=0，所以设所求的直线的方程为2x-y+m=0，联立整理可得：y2-6y+9=0，解得y=3，即P(2,3)，将P(2,3)代入所求的直线方程可得：2×2-3+所以上F1PF2的角平分线所在的直线的方程为2x-y-1=0，故选：A.8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C:x2-=1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0，2)反射后，反射光线为射线AM，则上F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()【解答】解：由已知可得A(x0，2)在第一象限， 所以直线AN的倾斜角为150O，故选：B.B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是() 【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为x，:AB中点坐标为::a=2b，:c=·5b，故选：A.10．椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是():a=3，【解答】解：设Q(m,n)，由题意可得解得故选：B.二．多选题（共1小题）PQ为上F1PF2的平分线，则下列正确的是() D．点P到x轴的距离为【解答】解：:渐近线l的方程为3x，::双曲线的标准方程为即选项A正确；由角分线定理知即选项B正确；F2yP故选：三．填空题（共7小题）12．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|=2；P点的坐标为.设椭圆的右焦点为F/，连接PF/，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，故答案为.13．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为【解答】解：由于F是抛物线y2=x的焦点，得F(，0)，准线方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2:线段AB的中点横坐标为.:线段AB的中点到y轴的距离为.故答案为：.14．抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足上AFB=120O．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值3【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由余弦定理得，222又ab≤,故答案为：.15．设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足上AFB=60O，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为的最大【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由余弦定理得，222abcos6022ab又ab≤2，故答案为：116．抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足上AFB=90O，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为的最大 2【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，---由余弦定理得，---22，配方得22ab，又:ab≤2，得到即的最大值为.故答案为：2【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上:AM为上F1AF2的平分线故答案为618．如图，从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P(x0，y0)处的切线垂直于上F1PF2的角平分线．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是:切线的斜率为一，而上F1PF2的角平分线的斜率为，又切线垂直于上F1PF2的角平分线，故答案为四．解答题（共8小题）19．已知椭圆的左右焦点分别为：F1(—2,0)，F2(2,0)，P为椭圆E上除长轴端点外任意一点，△PF1F2周长为12.（1）求椭圆E的方程；（2）作上F1PF2的角平分线，与x轴交于点Q(m,0)，求实数m的取值范围.:△PF1F2周长为12，:椭圆E的方程为:PQ为上F1PF2的角平分线，由合比性质得20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知|FF2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系.（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点.①是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；②若上F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.【解答】解1）设所求椭圆方程为则FB则FB2F1242+32所以椭圆的方程为①存在直线x=8，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值.设椭圆上的点P(x0，y0)，即存在m=8，使得P到F2和P到直线x=8的距离之比为定值.又椭圆=1在点P处的切线方程为证明如下：对于椭圆所以椭圆=1在点P处的切线方程为所以在点P(x0，y0)处的切线l的斜率为—，所以那么在直线l上.(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得|PM|=|PN|，再过P作直线l丄MN．证明直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.【解答】(I)解：由题意有3个点在椭圆C上，根据椭圆的对称性，则点(—3,1)，(3,—1)一定在椭圆C上， 所以，所以椭圆C的方程为…（6分）当y0≠0时，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，显然x1≠x2，又PM=PN，即P为线段MN的中点，M，N代入椭圆方程相减可得直线MN的斜率为，…（10分）0当y0综上所述，l’恒过定点…（16分）22．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物(Ⅱ)过定点P(0,4)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间设直线l的斜率为k(k>0)，在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.在Rt△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，于是椭圆C的标准方程为，N(x2，y2)，取MN的中点为E(x0，y0).假设存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE丄MN.2所以.23．在①离心率，②椭圆C过点，③△P面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为23，.（1）求椭圆C的方程；（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值.【解答】解1）选择①离心率可得，2b=2即b==，即有椭圆的方程为选③△PF1F2面积的最大值为，可得P位于短轴的端点时，取得最大值，且为.2c.b=，即有椭圆的方程为x22.(x12.N可得即为定值.24．已知A，B，C是椭圆W+y2=1上的三个点，O是坐标原点.(Ⅰ)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.【解答】解：(I)四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点(2,0):直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=12:A的坐标为同理可得C的坐标为因此，|AC|=可得菱形OABC的面积为|AC|(II)四边形OABC为菱形，:|OA|=|OC|，与椭圆W+y2=1的公共点，解之得=r2-1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足①当x1时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点(2,0)；②若x1且x2可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.y2)(x1<x2)两点，且|AB|=（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C的准线为l，焦点为F，点P为直线m:x+y-2=0上的动点，且点P的横坐标为a