第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（解析版）

一．解答题（共19小题）B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记ΔAFG，ΔCQG的面积为S1，S2.（1）若直线AB的斜率为求以线段AB为直径的圆的面积；求的最小值及此时点G的坐标.【解答】解1）由题意可得=1，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，由已知设直线AB的方程为（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(xC，yC)，重心G(x0，y0)，令y12，由直线AB过点F，故直线AB的方程为y+1，代入所以由于点Q在焦点F的右侧，故t2>2，当且仅当即m=时，取得最小值1+，此时G(2,0).2．如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记ΔAFG，ΔCQG的面积分别为S1，S2.2(Ⅱ)求的最小值及此时点G的坐标.2：，:p=2，:抛物线的准线方程为x=—1；A，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)，由于直线AB过F，故直线AB的方程为y+1，代入y2=4x，得：y2-y-4=0，B:直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1，0)，Q在焦点F的右侧，:t2>2， :当m=时，取得最小值为1+，此时G(2,0).3．已知椭圆的右焦点为F(1,0)，短轴长为2.（1）求椭圆Γ1的方程；（2）设S为椭圆Γ1的右顶点，过点F的直线l1与Γ1交于M、N两点（均异于S)，直线MS、NS分别交直线x=4于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、F(1,0)为焦点的抛物线为Γ2，如图，过点F的直线与Γ2交于A、B两点，点C在Γ2上，并使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设ΔAFG、ΔCQG的面积分别为S1、S2，是否存在锐角θ,使得cosθ成立？请说明理由.【解答】解1）依题意，得b=·,且a2-b2=1，:椭圆Γ1的方程为.（2）证法1:由椭圆Γ1的方程可知S(2,0).若直线l1的斜率不存在，则直线l1:x=1，:M(1,)，N(1,-)，直线MS、NS的方程分别为3x+2y-6=0、3x-2y-6=0，易得U(4,-3)，V(4,3)，:U、V两点的纵坐标之积为3×(-3)=-9.若直线l的斜率存在，则可设直线l:y=k(x-1)，联立椭圆的方程，得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MS的方程为，:点U的纵坐标同理，点V的纵坐标.所以.综上，U、V两点的纵坐标之积为定值-9.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y12直线MS的方程为，:点U的纵坐标同理，点V的纵坐标. 2y12y24y1y24y1y2yUyV=x12.x22=(ty11)(ty21)=t2y1y2t(y1+y2)+1=9 证法3：由椭圆Γ1的方程可知S(2,0).设U(4,m)，V(4,n)，则直线MS的方程为由韦达定理可得2xM=即于是点M的坐标为同理，点N的坐标为M、F、N三点共线，:FM//FN证法4：由椭圆Γ1的方程可知S(2,0).若直线l的斜率不存在，则直线l:x=1，若直线l的斜率存在，则可设M(2cosα,·sinα)，N(2cosβ,·sinβ)，,化简整理得2sin(α一β)=sinα一sinβ,注意到直线l的斜率存在，:sin，又直线MS的方程为可得点U的纵坐标同理，点V的纵坐标，（3）不存在.理由如下：显然，抛物线Γ2的方程为y2=4x.则直线AB方程可为y+1，故2tyB=4（注：这里yB表示点B的纵坐标，余类似进而C((t)2,2t)，..若存在锐角θ,使得cosθ成立，则cosθ<1+即<1+，这与(⅛)矛盾.因此，不存在锐角θ,使得cosθ成立.t2.S2c3，:Q在焦点F的右侧，:Ψ>1，t2t2)11若存在锐角θ,使得=(1+)cosθ成立，则cosθ<1+ 因此，不存在锐角θ,使得=(1+)cosθ成立.4．已知双曲线的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点.若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值. :a2+b2=① :一条渐近线的方程为x一·2y=0，②:椭圆E的方程为y2=1. (Ⅱ)解：:点P为椭圆的左顶点，:P(一·3，0)，:G设A(x1，y1)，则B(-x1，-y1)，(Ⅲ)证明：由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，①若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时②当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为y=kx(k≠0)，则直线OP的方程为x，设A2)2，综上所述M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M.（1）求椭圆C的方程；（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围.（2）设M(x0，y0)，则圆M的半径圆心M到y轴距离d=|x0|，…（8分）若圆M与y轴有两个交点则有r>d即>|x0|，…:M为椭圆上的点:2≤x0≤2，…（13分）（1）求椭圆C的标准方程；（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断|OS|.|OT|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.F222|MFF，22故所求椭圆方程为（2）依题意得知：Q，R两点关于x轴对称，由y=0得点S的横坐标由y=0得点R的横坐标:|OS|.|OT||=4，为定值.7．已知椭圆的左右焦点坐标为F1(—,0),F2(,0)，且椭圆E经过（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积.【解答】解1）因为椭圆焦点坐所以2a=Pⅆⅆⅆⅆ（3分）2（2）设点M(x0，y0)(0<x0<2，0因为A(2,0)，且A，D，M三点共线，所以解得…………（8分）…………（10分）…………（12分）因为点M(x0，y0)在椭圆上，所2代入上式得：:四边形ABCD的面积为2.…………（14分） 8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:过点A(,)，B(,).（1）求椭圆E的方程；（2）点Q(x0，y0)是单位圆x2+y2=1上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=x0OM+y0ON，求证：直线OM与证明2）令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP=x0OM+y0ON，可知P(x0x1+y0x2，x0y1+y0x222x2222xyxxx222x2222xyxx（1）求椭圆E的方程；（2）点Q(x0，y0)是单位圆x2+y2=1上的任意一点，设P，M，N是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=x0OM+y0ON，探讨OM:椭圆E的方程为+y2=1；2（2证明如下：令M(x1，y1)，N(x2，y2)，0OM+y0ON，得P(x0x1+y0x2，x0y1+y0y2)，整理得x02+y02+220202得2).y2.故y12222222222222故OM+ON是定值，等于9.10．定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W.(Ⅱ)过原点的直线l(l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE丄CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求k2所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆2分），y1)(x1y1≠0)，E(x2，y2)，则D(x1，y1)，则直线CD的斜率为kCD=，又CE丄CD，所以直线CE的斜率是kCE=—记设直线CE的方程为所以（9分）所以直线DE的方程为y+y1=，令y=0，得x=2x1，即F所以k1（其他方法相应给分）l:y=kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且OA.OB=（1）求椭圆C的方程.（2）讨论3m22k2是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由. 【解答】解1）由题意可知=，2b2)，整理，得a2=2b2，①又点在椭圆上，所以有②故所求的椭圆方程为+y2=1.（2）3m22k2为定值，理由如下：2+y1y212．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1(a>1)的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶(Ⅲ)过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C)，与y轴交于点P（点P———→———异于坐标原点O)，直线AD与BC交于点Q．证明：OP———→——— A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为·2.2b22，解得a=s2，:椭圆E的方程为+y2=1.MN的斜率存在时，设直线MN:y=k(x—1)，代入椭圆方程可得2)x24k2x+2k22=0，x22 (Ⅲ)证明：」椭圆的右顶点C(·2，0)，设点Q(x,,y,)，直线BC的方程为，A、D、Q三点共线，则有将xD=代入，得：k，:y,=-2k 13．已知椭圆经过点A(2,1)，且离心率为.(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与曲线C相交于异于点A的两点D、E，且直线AD与直线AE的斜率之和为2，则直线l是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由.因为离心率为，所以②又a222，③所以椭圆的方程为，E(x2，y2)，联立x22因为直线AD与直线AE的斜率之和为—2，因为直线l不过点A(2,1)，14．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω:的离心率为，直线l:y=2上的点和椭圆Ω上点的最小距离为1.（1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2.①求证：k1.k2为定值；②求ΔAEF的面积的最小值.b2202 |≤·i2，:≥,≥2s2， :ΔAEF的面积的最小值为15．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y12（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.【解答】解1）设点P(x,y)，则：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).故所求点P的轨迹为直线.直线MTA方程为即，直线NTB方程为即联立方程组，解得：所以点T的坐标为.（3）点T的坐标为(9,m)直线MTA方程为即直线NTB方程为，即y=直线MN方程为令y=0，解得：x=1．此时必过点D(1,0)；2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D(1,0).所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).此时直线MN的方程为x=1，过点D(1,0).ND，所以直线MN过D点.因此，直线MN必过x轴上的点(1,0).16．已知A是椭圆E:+=1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A、M两点，点N在E上，且AM.AN=（1）当|AM|=|AN|时，求ΔAMN的面积；（2）当19|AM|=8|AN|时，求k的值.【解答】解1）设M(x1，y1)，由题可知A(—2,0)，y1>0，故直线AM的方程为y=x+212y7所以ΔAMN27749ΔAMN27749设直线AM的方程为y=k(x+2)，联立，得x22x212所以2x1 2同理可设直线AN的方程为解得|AN|=，所以k=2. 17．已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点F(1,0)．过点F作斜率为k(k≠0)的直线l，交椭圆G于A、B两点，M(2,0)是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B)，记直线CD的斜率为k1.(Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数λ,使得k1=λk恒成立？若存在，求出这个常数λ;若不存在，请说明理由.:椭圆G的方程为+y2=1.ⅆ设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).直线AM的斜率联立可得●x3=进一步可得.将t1=代入，则同理可得.，+y42=1两式相减可得，k1=