第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化（解析版）

一．选择题（共9小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且上BFC=【解答】解：设右焦点F(c,0)，将代入椭圆方程可得x=±a化简为b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，可得故选：A.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的左、右焦点分别为F1，，P为椭圆上一点（在x轴上方连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1=3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1(—c,0)，F2(c,0)，设P(m,n)，n>0，由PF2垂直于x轴可得m=c，22可得将代入椭圆方程可得即25c22c2故选：C.，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为() 【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2故选：D.4．如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与圆x222在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且则双曲线的离心率为()【解答】解：设F1(-c,0)，F2(c,0)，22c22b2，因为点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，，所以点P坐标为，426e2+17=0，故选：B.|PF|:|F=5:4:2，则曲线Γ的离心率等于()综上可知，圆锥曲线Γ的离心率为或.故选：D.|FF2|成等差数列，则椭圆的离心率为()【解答】解：:|AF1|，|AF2|，|F1F2|成等|AF所以椭圆的离心率故选：A.7．如图，F1，F2分别是双曲线一的左、右焦点，点P是双曲线与圆x222在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且则双曲线的离心率为()22，解得:P在第二象限可得故选：A.:|AB|=2c，:≤α≤,:≤α+≤，故选：A.9．已知在菱形ABCD中，上BCD=60O，曲线C1是以A，C为焦点，椭圆，其离心率为e1；曲线C2是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD平行的双曲线， :椭圆C1是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，:c=OC=3，则椭圆的离心率为则双曲线C2是以A，C为焦点渐近线分别和AB，AD平行的双曲线， 故选：C.二．多选题（共1小题）10．已知椭圆双曲线一若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()B．双曲线的离心率e=2C．椭圆上不存在点A使得AF1.D．双曲线上存在点B使得BF1.BF2<0解：椭圆M:双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标(c,0)，则正六边形的一个顶点(,)， 对于A．将(,)代入椭圆方程，得：对于C．当A点是短轴的端点时，上F1AF2最大，2AF2对于D．当B对于D．当B点在实轴的端点时，向量BF1与向量BF2夹角为兀，此时，BF1．BF2<0，故D正确；故选：ABD.三．填空题（共9小题）11．已知椭圆M:+=1(a>b>0)，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线 【解答】解：不妨设m，n>0，可设椭圆的焦点坐标F(—c,0)，C(正六边形的一个顶点B(1c，3c)，22 即有椭圆M与双曲线N的离心率之积为2(·3—1). 故答案为：2(·31).12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为【解答】解：直线A1B2的方程为x+b，直线B1F的方程为，2」OT=3OM，把M代入椭圆方程得=a2b2，22，故答案为：.13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆解得故答案为：51.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为，则 【解答】解：由题意可得B(0,b)，C(0,—b)，F(c,0)，由直线BF的方程bx+cy=bc代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，直线CD的斜率为，可得2故答案为：.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且上OAB=45o，则椭圆E的离心率等于 6 3【解答】解：」AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，:BC//OA，则B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，:B、C两点是关于y轴对称的.四边形OABC为平行四边形，则BC=OA=a，可设B(，y)C(，y)，代入椭圆方程解得：|y|=设D为椭圆的右顶点，由于上OAB=45O，四边形OABC为平行四边形，得a22 故答案为：.222x+y=a相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，若(F2A+F2B)AB=0，则该双曲线C222【解答】解：法1（代数法因为l与O:x2+y2=a2相切，由对称性不妨考虑k=情形.又双曲线C的渐近线方程为x，则l垂直其中一条渐近线，故l与一渐近线的交点A，即为该渐近线与O在第二象限的交点，可得，如图，设AB中点为M，由(F2A+F2B)故OA//F2M，且O为F1F2的中点，所以A为F1M的中点，则A，M三等分F1B，由B在另一渐近线x上， 222，法3（参数方程法直线l的参数方程为为参数代入x，可得B对应的参数22 故答案为：3.17．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O:x2+y2=c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|=a，则双曲线C的离心率是2，|PF|:|FF2①若圆锥曲线C是椭圆，则2a=4c，②若圆锥曲线C是双曲线，故答案为：或.19．已知双曲线右支上有一点A，它关于原点的