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文档简介

天津市武清区2025届高三最后一模数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则p是q的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.3.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()A. B. C. D.4.已知全集,集合,则()A. B. C. D.5.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象关于轴对称,则的最小正值是()A. B. C. D.6.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.107.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.8.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.9.在中,为边上的中点,且,则()A. B. C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.11.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.12.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列递增的等比数列,若,,则______.14.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.15.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.16.已知向量,满足,,且已知向量,的夹角为,,则的最小值是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数和的图象关于原点对称,且.(1)解关于的不等式;(2)如果对,不等式恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.19.(12分)已知椭圆:的四个顶点围成的四边形的面积为,原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点,是否存在过的直线,使与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在,求出的方程:若不存在,请说明理由.20.(12分)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.过顶点,的平面与棱,分别交于,两点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:四边形是平行四边形;(Ⅲ)若,试判断二面角的大小能否为?说明理由.21.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点(异于原点),求的取值范围.22.(10分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选:B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.2、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.3、B【解析】

根据直线与和都相切,求得的值,由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆,由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点,斜率为,所以切线方程为,化简得①.令,解得,,所以切线方程为,化简得②.由①②对比系数得,化简得③.构造函数,,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即,画出其对应的区域如下图所示.圆可化为,圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示,不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为,直线的斜率为.所以,所以,而圆的半径为,所以阴影部分的面积是.故选:B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数,考查不等式组表示区域的画法,考查圆的方程,考查两条直线夹角的计算,考查扇形面积公式,考查数形结合的数学思想方法,考查分析思考与解决问题的能力,属于难题.4、D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【详解】,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.5、D【解析】

由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式,再利用诱导公式得到关于的方程,对赋值即可求解.【详解】由题意知,函数的最小正周期为,即,由函数的图象平移变换公式可得,将函数的图象向右平移个周期后的解析式为,因为函数的图象关于轴对称,所以,即,所以当时,有最小正值为.故选:D【点睛】本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质;熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6、C【解析】

画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.7、A【解析】

设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,,,四边形为平行四边形,,(或补角)为直线与所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.

故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.8、D【解析】

由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.9、A【解析】

由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.10、C【解析】

利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。11、B【解析】

求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.12、A【解析】

根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

,建立方程组,且,求出,进而求出的公比,即可求出结论.【详解】数列递增的等比数列,,,解得,所以的公比为,.

故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的性质、通项公式,属于基础题.14、【解析】

分跑出优秀的人为:甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况:其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为;其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为;其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为.故答案为:【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.15、【解析】

由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.16、【解析】

求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离,由此即可得到本题答案.【详解】如图所示,设,由题,得,又,所以,则点C在以AB为直径的圆上,取AB的中点为M,则,设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E,则的最小值是,因为,又,所以的最小值是.故答案为:【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题,涉及到圆的相关知识与余弦定理,考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由函数和的图象关于原点对称可得的表达式,再去掉绝对值即可解不等式;(2)对,不等式成立等价于,去绝对值得不等式组,即可求得实数的取值范围.试题解析:(1)∵函数和的图象关于原点对称,∴,∴原不等式可化为,即或,解得不等式的解集为;(2)不等式可化为:,即,即,则只需,解得,的取值范围是.18、(1);(2)见解析,有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联;(3)分布列见解析,.【解析】

(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数,即可求出概率;(2)根据数据列出列联表,求出的观测值,对照表格,即可得出结论;(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值为0,1,2,分别求出概率,列出随机变量分布列,根据期望公式即可求解.【详解】(1)由题中数据可知,中青年对新高考了解的概率,中老年对新高考了解的概率.(2)列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050,所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0,1,2,则;;.所以的分布列为012.【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.19、(1);(2)存在,且方程为或.【解析】

(1)依题意列出关于a,b,c的方程组,求得a,b,进而可得到椭圆方程;(2)联立直线和椭圆得到,要使以为直径的圆过椭圆的左顶点,则,结合韦达定理可得到参数值.【详解】(1)直线的一般方程为.依题意,解得,故椭圆的方程式为.(2)假若存在这样的直线,当斜率不存在时,以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点,所以可设直线的斜率为,则直线的方程为.由,得.由,得.记,的坐标分别为,,则,,而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点,则,即,所以,整理解得或,所以存在过的直线,使与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点,直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不能为.【解析】

(1)由平面平面,可得平面,从而证明;(2)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(3)作交于点,延长交于点,连接,根据三垂线定理,确定二面角的平面角,若,,由大角对大边知,两者矛盾,故二面角的大小不能为.【详解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(3)不能.如图,作交于点,延长交于点,连接,由,,,所以平面,则平面,又,根据三垂线定理,得到,所以是二面角的平面角,若,则是等腰直角三角形,,又

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