高等数学教程（第4版）课件：单调性与不等式

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单调性与不等式

本节重点介绍如何利用函数的单调性证明证1由上式得拉格朗日中值定理的条件,例4.26证明当不等式,其理论基础仍然是拉格朗日中值定理.证2先证当又因即再证当证设则于是例4.27证明当例4.28证明当证设则即即(1)式成立.证原不等式等价于练习证明不等式设例4.29设证明:其中证(1)不妨设则于是

(1)得证;(2)由(1)有再由数学归纳法,(2)得证.

(2)式称为詹生(Jensen)不等式.特别地,取

取即即“调和平均-几何平均-算术平均”不等式.用可得证练习证明当设则即例4.30证明杨氏不等式证1即得

其中

因此

证2即得杨氏不等式.

于是原不等式等价于

等价于

注

令

由杨氏不等式得称为Cauchy-Schwarz(柯西-许瓦兹)不等式

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