河北省邢台市2024-2025学年高一上册第二次月考数学检测试卷（含解析）

河北省邢台市2024-2025学年高一上学期第二次月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x|（x+1）（x﹣5）≤0}，则（）A．A∪B＝（﹣5，5] B．A∩B＝（﹣1，3） C．A∪B＝（﹣3，5] D．A⊆B2．（5分）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（）A．∀x＞1，x3＞1 B．∃x∉Q，x3∈Q C．∃x＞1， D．∀x∈Q，x3∈Q3．（5分）下列判断正确的是（）A．y＝2x4是幂函数，且y＝42x是指数函数 B．y＝2x4是幂函数，且y＝42x不是指数函数 C．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x是指数函数 D．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x不是指数函数4．（5分）＝（）A．﹣985 B．﹣983 C．﹣995 D．﹣9945．（5分）函数的定义域为（）A．[0，16] B．（﹣∞，16] C．（﹣∞，4] D．[16，+∞）6．（5分）已知f（x﹣1）是偶函数，当x＞﹣1时，，则f（﹣4）＝（）A．﹣15 B．15 C．﹣5 D．57．（5分）函数f（x）＝ax2﹣2x在（1，+∞）上为减函数的充要条件是（）A．a＜0 B．a≤0 C．a≤1 D．a≤﹣18．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数．某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润（单位：百元）用f（i）（i＝1，2，…，10）表示，f（i）为第i天的日销售利润，当1≤i≤10时，f（i）与成正比．若该店营业前3天的日销售利润总额为300元，则该店营业第7天的日销售利润为（）A．600元 B．700元 C．800元 D．900元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）设a＝，b＝0.50.4，c＝0.50.6，则（）A．a＞b B．b＞a C．c＞a D．a＞c（多选）10．（6分）下列判断错误的是（）A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7（多选）11．（6分）已知函数f（x）满足，函数g（x）对任意实数x，y都满足g（x+y）＝g（x）+g（y）+3，且g（1）＝﹣2，则（）A．f（x）为奇函数 B．g（x）为减函数 C．f（x）在（0，+∞）上为增函数 D．g（100）＜g（1）+100三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若函数f（x）＝7+ax﹣13（a＞1）的图象经过定点A，则点A的坐标为．13．（5分）某公司第x（x∈N*）年的纯利润为f（x）万元，且，则该公司第年当年的纯利润（单位：万元）开始为正数．14．（5分）函数的值域为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x+5）＝2x．（1）证明：f（x）为一次函数．（2）若f（f（m））+f（m2）＝0，求m的值．16．（15分）已知a+b＝3（ab＞0）．（1）求的取值范围；（2）求4a+4b的最小值；（3）证明：．17．（15分）已知非空集合A满足以下两个条件：①A⊆Q；②若a∈A，则2a﹣1∈A．（1）若A中只有1个元素，求A．（2）证明：∈∁RA．（3）若∈A，证明：A中有两个元素互为相反数．（4）试问“A中有偶数元素”是“A中有奇数元素”的什么条件？说明你的理由．18．（17分）已知幂函数f（x）的图象经过点，函数g（x）＝2x+f（x）（x＞0）．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论g（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）若a＞0且a≠1，讨论函数y＝g（ax）的单调性，说明你的理由．19．（17分）对于n个集合A1，A2，A3，…，An，定义其交集：Ak＝{x|∀k∈[1，n]，k∈N*，x∈Ak}；定义其并集：Ak＝{x|∃k∈[1，n]，k∈N*，x∈Ak}．（1）若函数f（1﹣2x），f（x），f（2x﹣7）的定义域分别为A1，A2，A3，且A1＝（﹣2，4），求Ak；（2）若集合Ak＝{y|y＝x2﹣2x+k}，求Ak；（3）若集合Ak＝{y|y＝x2﹣2kx+2k2﹣2k﹣99}，Bk＝{y|y＝﹣x2+2kx﹣2k2+10k}，且将（Ak）∩（Bk）≠∅，求n的最大值．

答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x|（x+1）（x﹣5）≤0}，则（）A．A∪B＝（﹣5，5] B．A∩B＝（﹣1，3） C．A∪B＝（﹣3，5] D．A⊆B【分析】分别求解A和B，再结合集合的基本运算求解即可．解：因为集合A＝{x|x2＜9}＝（﹣3，3），B＝{x|（x+1）（x﹣5）≤0}＝[﹣1，5]，所以A∩B＝[﹣1，3），A∪B＝（﹣3，5]，A与B之间不存在包含关系．故ABD错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（）A．∀x＞1，x3＞1 B．∃x∉Q，x3∈Q C．∃x＞1， D．∀x∈Q，x3∈Q【分析】结合存在量词命题的定义及命题的真假关系检验各选项即可判断．解：选项A，D均是全称量词命题，不符合题意；B，C均是存在量词命题，C为假命题，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了存在量词命题及真假的判断，属于基础题．3．（5分）下列判断正确的是（）A．y＝2x4是幂函数，且y＝42x是指数函数 B．y＝2x4是幂函数，且y＝42x不是指数函数 C．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x是指数函数 D．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x不是指数函数【分析】根据已知条件，结合幂函数、指数函数的定义，即可求解．解：由幂函数的定义可知，y＝2x4不是幂函数，因为42x＝（42）x＝16x，所以y＝42x是指数函数．故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义，属于基础题．4．（5分）＝（）A．﹣985 B．﹣983 C．﹣995 D．﹣994【分析】利用指数幂的运算性质求解．解：原式＝﹣﹣1＝42﹣0.1﹣3﹣1＝16﹣1000﹣1＝﹣985．故选：A．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．5．（5分）函数的定义域为（）A．[0，16] B．（﹣∞，16] C．（﹣∞，4] D．[16，+∞）【分析】根据已知得到，进而求解结论．解：由函数，可得，得，解得0≤x≤16．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6．（5分）已知f（x﹣1）是偶函数，当x＞﹣1时，，则f（﹣4）＝（）A．﹣15 B．15 C．﹣5 D．5【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），令﹣x﹣1＝﹣4，分析可得答案．解：根据题意，若f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），令﹣x﹣1＝﹣4，则有f（﹣4）＝f（2）＝4+1＝5，即f（﹣4）＝5．故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝ax2﹣2x在（1，+∞）上为减函数的充要条件是（）A．a＜0 B．a≤0 C．a≤1 D．a≤﹣1【分析】根据题意，分析a＝0和a≠0两种情况讨论，分析a的取值范围，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x，当a＝0时，f（x）＝﹣2x在（1，+∞）上为减函数，符合题意；当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x为二次函数，则有解可得：a＜0，故函数f（x）＝ax2﹣2x在（1，+∞）上为减函数的充要条件是a≤0．故选：B．【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．8．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数．某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润（单位：百元）用f（i）（i＝1，2，…，10）表示，f（i）为第i天的日销售利润，当1≤i≤10时，f（i）与成正比．若该店营业前3天的日销售利润总额为300元，则该店营业第7天的日销售利润为（）A．600元 B．700元 C．800元 D．900元【分析】先阅读题意，结合已知条件求出k，然后再求解即可．解：已知[x]表示不大于x的最大整数，又当1≤i≤10时，f（i）与成正比，设，则，解得，所以，所以该店营业第7天的日销售利润为900元．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，重点考查了阅读理解能力，属基础题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）设a＝，b＝0.50.4，c＝0.50.6，则（）A．a＞b B．b＞a C．c＞a D．a＞c【分析】根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解．解：a＝＝0.50.5，b＝0.50.4，c＝0.50.6，y＝0.5x为减函数，所以b＞a＞c．故选：BD．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．（多选）10．（6分）下列判断错误的是（）A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．解：对于A，当x＜0时，A显然错误．对于B，，当且仅当时，等号成立，但（x2+1）2≥1，所以取等条件不成立，B错误；对于C，当且仅当时等号成立，C错误；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，D正确．故选：ABC．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（6分）已知函数f（x）满足，函数g（x）对任意实数x，y都满足g（x+y）＝g（x）+g（y）+3，且g（1）＝﹣2，则（）A．f（x）为奇函数 B．g（x）为减函数 C．f（x）在（0，+∞）上为增函数 D．g（100）＜g（1）+100【分析】由已知等式求解函数解析式，然后由奇偶性的性质判断A；由函数的单调性判定C；再由赋值法判定B与D．解：由，令x＝，得，解得，此时有，f（x）为奇函数，故A正确；在（0，+∞）上为增函数，故C正确；由g（x+y）＝g（x）+g（y）+3，令x＝y＝1，得g（2）＝2g（1）+3＝﹣1＞g（1），则g（x）不是减函数，故B错误；由g（x+y）＝g（x）+g（y）+3，得g（x+1）＝g（x）+g（1）+3，即g（x+1）﹣g（x）＝1，......）﹣g（99）+g（99）﹣g（98）......+g（2）﹣g（1）＝1×99＝99，可得g（100）﹣g（1）＝99＜100，即g（100）＜g（1）+100，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若函数f（x）＝7+ax﹣13（a＞1）的图象经过定点A，则点A的坐标为（13，8）．【分析】结合指数函数的性质，即可求解．解：函数f（x）＝7+ax﹣13（a＞1），令x﹣13＝0，得x＝13，此时y＝8，故点A的坐标为（13，8）．故（13，8）．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．13．（5分）某公司第x（x∈N*）年的纯利润为f（x）万元，且，则该公司第5年当年的纯利润（单位：万元）开始为正数．【分析】先阅读题意，然后结合函数的单调性求解即可．解：已知某公司第x（x∈N*）年的纯利润为f（x）万元，且，因为y＝3x﹣15，均为增函数，所以f（x）为增函数，又f（4）＝﹣1＜0，f（5）＝，所以该公司第5年当年的纯利润开始为正数．故5．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，重点考查了阅读理解能力，属基础题．14．（5分）函数的值域为．【分析】﹣2≤x≤0时，可得出f（x）∈[3，8]；0＜x≤2时，可令，，然后即可得出f（x）＝，然后即可求出g（t）的值域，最后得出f（x）的值域即可．解：当﹣2≤x≤0时，；当0＜x≤2时，f（x）＝2x+2﹣，令，得2x＝t2+1，则f（x）＝g（t）＝4（t2+1）﹣5t＝，由，得，因为，所以f（x）的值域为．故．【点评】本题考查了换元求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法，是中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x+5）＝2x．（1）证明：f（x）为一次函数．（2）若f（f（m））+f（m2）＝0，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法可解；（2）利用代入法直接可解．解：已知函数f（x+5）＝2x，（1）证明：令x+5＝t，得x＝t﹣5，则f（t）＝2（t﹣5）＝2t﹣10，所以f（x）＝2x﹣10，故f（x）为一次函数．（2）解：因为f（f（m））+f（m2）＝0所以2（2m﹣10）﹣10+2m2﹣10＝0，整理得m2+2m﹣20＝0，解得．【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．16．（15分）已知a+b＝3（ab＞0）．（1）求的取值范围；（2）求4a+4b的最小值；（3）证明：．【分析】（1）结合指数函数的单调性即可求解；（2）结合基本不等式即可求解；（3）利用乘1法，结合基本不等式即可求证．（1）解：因为a+b＝3（ab＞0），所以0＜a＜3，因为为减函数，所以的取值范围是；（2）因为4a＞0，4b＞0，所以，当且仅当时，等号成立，所以4a+4b的最小值为16．（3）证明：因为a+b＝3（ab＞0），所以a＞0，b＞0，所以，当且仅当，，时，等号成立，所以．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解，不等式证明中的应用，属于中档题．17．（15分）已知非空集合A满足以下两个条件：①A⊆Q；②若a∈A，则2a﹣1∈A．（1）若A中只有1个元素，求A．（2）证明：∈∁RA．（3）若∈A，证明：A中有两个元素互为相反数．（4）试问“A中有偶数元素”是“A中有奇数元素”的什么条件？说明你的理由．【分析】（1）根据集合满足的条件可得a＝2a﹣1，求得a即可；（2）根据A⊆Q，说明，又即可证明；（3）由，结合集合元素特点，列举集合的元素，即可证明；（4）根据（1）中所求结果，结合充分性和必要性的判定，即可判断．解：（1）若A中只有一个元素，根据题意可得：a＝2a﹣1，解得a＝1，所以A＝{1}．（2）证明：因为，所以，又因为，所以．（3）证明：若，则，即，所以，即，所以，即，因为与互为相反数，所以A中有两个元素互为相反数．（4）若A中有偶数元素，不妨设为n，则2n﹣1∈A，且2n﹣1为奇数，所以A中必有奇数元素，所以由“A中有偶数元素”可以推出“A中有奇数元素”．由（1）知，若A＝{1}，则A中只有奇数元素，没有偶数元素，所以由“A中有奇数元素”推不出“A中有偶数元素”．故“A中有偶数元素”是“A中有奇数元素”的充分不必要条件．【点评】本题考查元素与集合的关系，充分必要条件的判断，属于中档题．18．（17分）已知幂函数f（x）的图象经过点，函数g（x）＝2x+f（x）（x＞0）．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论g（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）若a＞0且a≠1，讨论函数y＝g（ax）的单调性，说明你的理由．【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式；（2）直接利用函数单调性的定义证明；（3）对a分类讨论，结合复合函数的单调性得答案．解：（1）设f（x）＝xα，则，解得α＝﹣2，∴；（2）g（x）在（0，1]上单调递减，g（x）在（1，+∞）上单调递增．证明如下：设0＜x1＜x2，则＝．当0＜x1＜x2≤1时，x1﹣x2＜0，，，则g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，1]上单调递减；当1＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，，，则g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在（1，+∞）上单调递增；（3）当a＞1时，y＝ax为增函数，若x≤0，则0＜ax≤1，若x＞0，则ax＞1，∴y＝g（ax）在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，若x＜0，则ax＞1，若x≥0，则0＜ax≤1，∴y＝g（ax）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．综上可知，y＝g（ax）在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．