湖南省长沙市师大附中集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

湖南省长沙市师大附中集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1．已知反比例函数y=kx的图象经过点P(3，A．3 B．4 C．5 D．62．若xy=3A．35 B．25 C．-13．下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．三角形的内心到三角形三边的距离相等D．各边相等的多边形是正多边形4．某几何体如图所示，则从正面观察这个图形，得到的平面图形是（）A． B．C． D．5．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（）A．ACCE=BDBF B．ACAE=6．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且A．10 B．15 C．20 D．257．不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球8．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝35A．34 B．35 C．459．若关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（）A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣610．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，GFGE=45；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．若点A（﹣2，5），与点B关于原点对称，则点B的坐标为．12．时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是平方厘米．13．二次函数y＝x2﹣2x+2的最小值是．14．如图，M为反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k15．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为cm．16．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是．三、解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）17．计算：(118．先化简(1+3x-1x+1)÷xx19．如图，扶梯AB的坡度为4：3，滑梯CD的坡度为1：2．设AE＝30dm，BC＝50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？20．科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数；（2）请补全条形统计图；（3）已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．21．如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，cot63°≈0.50；sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75）

22．如图，在⊙O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是△ABC的角平分线．（1）求证：∠ACD＝∠ABC；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）若BD＝1，BC=3时，求弦BD与BD23．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．（1）解决问题：CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm，α＝°（注：sin49°＝cos41°=34，tan37°（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）（3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB'上，设PC＝x，BQ＝y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？25．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为153，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】将点P（3，2）代入y=kx，

可得：k=3×2=6，

故答案为：D.

【分析】将点P（3，2）代入2．【答案】D【解析】【解答】∵xy=35，

∴x=35y，

∴x-yx+y=3．【答案】C【解析】【解答】A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴A不正确，不符合题意；

B、∵不在同一平面上的三点确定一个圆，∴B不正确，不符合题意；

C、∵三角形的内心到三角形三边的距离相等，∴C正确，符合题意；

D、∵各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，∴D不正确，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、三角形的内心的性质及正方形的定义分别判断求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：从正面观察这个图形，得到的平面图形是：故答案为：B．【分析】根据主视图的定义：从前往后看，通过观察几何体，即可得出答案.5．【答案】D【解析】【解答】∵a∥b∥c，

∴ACCE=BDDF，ACAE=BDBF，6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似

∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2

∴S△ABC：S△A1B1C1=12×AC×三角形ABC底边AC的高：12×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=12×12=14

∵三角形ABC的面积为5

∴三角形A1B1故答案为：C.

【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.7．【答案】A【解析】【解答】解：A、由袋子中只有2个黑球和4个白球，得摸出的3个球都是黑球是不可能事件，故A符合题意；

B、由袋子中只有2个黑球和4个白球，得摸出的3个球都是白球是随机事件，故B不符合题意；

C、由袋子中只有2个黑球和4个白球，得摸出的三个球有黑球是随机事件，故C不符合题意；

D、由袋子中只有2个黑球和4个白球，得摸出的3个球有白球是必然事件，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据不可能事件的定义，逐项进行分析，即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35=BCAB，

∴AB=5，

∴AC=AB29．【答案】B【解析】【解答】∵关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，

∴△＞0，即b2-4×1×3>0，

解得：b2>12，

∵（-3）2=9<12，

∴b的值不可能是-3，

故答案为：B.

【分析】利用“关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点”可得△＞0，即b2-4×1×3>0，再求解即可.10．【答案】A【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠ADC=90°，∵CE=DH，∴△BCE≌△CDH(∴∠CBE=∠DCH，BE=CH，故①正确；∵∠DCH+∠FCB=∠DCB=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∴∠BFC=90°，∴CH⊥BE，故②正确；∵G在正方形对角线BD上，∴G到AD，CD的距离相等，∵△BCE≌△CDH(∴CE=DH，∴S△GCE=设正方形ABCD的边长为4a，∴BC=CD=4a，当E是CD的中点时，EC=HD=2a．由勾股定理得：BE=B∵∠HDG=∠CBG=45°，∠HGD=∠CGB，∴△HGD∽△CGB，∴HG∴GC=2∵∠BEC=∠CEF，∠ECB=∠EFC=90°，∴△ECB∽△EFC，∴CE∴2a∴EF=2∴CF=C∵GC=2∴GF=CG−CF=4∴GE=G∴GF∴当E是CD的中点时，GFGE=4当EC=2DE时，CECD∵DH=CE，DC=BC，∴DH∵△HGD∽△CGB，∴S∵△GDH中DH边上的高与△DGC中CD边上的高相等，DHBC∴S设S△GDH=4x，则S△CGB∴S∴S当EC=2DE时，DECD∴S∴S∴S∴S正方形ABCD=5综上所述：正确结论的序号是①②③④，故答案为：A．【分析】根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明△BCE≌△CDH即可可以判断①；进而证明∠BFC=90°即可判断②；根据△BCE≌△CDH(SAS)，CE=DH，结合正方形的性质即可判定③；设正方形ABCD的边长为4a，当E是CD的中点时，EC=HD=2a，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出GF，GE，进而可以判断④；设S△GDH=4x，则S△CGB=9x，S△DGC=6x，得S△BCD=15x11．【答案】（2，-5）【解析】【解答】解：∵点A（2，5）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（-2，-5），故答案为：（2，-5）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可得到答案．12．【答案】12π【解析】【解答】∵分针扫过的图形是扇形，扇形的圆心角是30°×4=120°，半径是6cm，

∴分针扫过的面积=120π×6236013．【答案】1【解析】【解答】∵y＝x2﹣2x+2=（x-1）2+1，

∴二次函数的最小值是1，

故答案为：1.

【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再直接求出最小值即可.14．【答案】6【解析】【解答】∵△AOM的面积为3，

∴|k|=3×2=6，

∴k=±6，

∵反比例函数图象在第一象限，

∴k>0，

∴k=6，

故答案为：6.

【分析】利用反比例函数k的几何意义可得|k|=3×2=6，再结合反比例函数图象在第一象限，求出k的值即可.15．【答案】20【解析】【解答】∵PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，

∴PA=PB=10cm，

∵过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，

∴EA=EC，FC=FB，

∴C△PEF=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+BF+PF=PA+AB=10+10=20cm，

故答案为：20.

【分析】利用切线长的性质可得PA=PB=10cm，EA=EC，FC=FB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.16．【答案】300步【解析】【解答】∵点G、E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，

∴DG=12AD，DE=12CD，

∴DG=DE，

∵∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°，

∴△DFE∽△HDG，

∴EFDG=DEHG，

∵EF=30步，GH=750步，DE×DG=EF×HG，

∴DE2=30×750=22500，

解得：DE=150，

∴CD=2DE=300步，

故答案为：300步.17．【答案】解：原式＝2-2×＝2-＝2．【解析】【分析】先利用负指数幂、0指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值化简，再求解即可.18．【答案】解：1+＝x+1+3x-1＝4x＝4（x﹣1）＝4x﹣4，∵x＝0，﹣1，1使分式无意义，∴当x＝32原式＝4×32【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得4x-4，再将x的值代入计算即可.19．【答案】解：∵扶梯AB的坡度为4：3，∴BEAE∵AE＝30dm，∴BE＝40dm，由勾股定理得：AB＝AE由题意得，CF＝BE＝40dm，∵滑梯CD的坡度为1：2，∴CFDF∴DF＝80dm，∴CD＝CF∴她经过的总路程为：（100+405答：她经过的总路程为（100+405【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB和CD的长，再利用线段的和差求出她经过的总路程即可.20．【答案】（1）解：此次调查中接受调查的人数为18÷36%＝50（人）．（2）解：最希望演示C项实验的人数为50﹣4﹣8﹣18＝20（人）．补全条形统计图如图所示．（3）解：将来自九年级一班的1名学生记为甲，来自九年级二班的1名学生记为乙，来自九年级三班的2名学生记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种，∴抽到的2名学生来自不同班级的概率为1012【解析】【分析】（1）利用“D”的人数除以对应的百分比可得总人数；

（2）先利用总人数求出“C”的人数并作出条形统计图即可；

（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。21．【答案】解：过B作BH⊥CE于H，在Rt△BCH中，∵sin63°＝BHBC=BH∴BH≈7.2cm，CH＝3.6cm，在Rt△BEH中，∵∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，∴cot53°＝HEBH∴HE＝5.4cm，∴CE＝CH+EH＝3.6+5.4＝9（cm），∴DE＝CD﹣CE＝20﹣9＝11（cm），答：DE的长为11cm．【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，再结合cot53°＝HEBH22．【答案】（1）解：如图，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ABC；（2）证明：如图，连接OC、OD、OB，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∴∠ODC+∠BCD＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，又∵∠ACD＝∠BCD，∴∠OCD+∠ACD＝90°，即OC⊥AC，∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：由（2）可知，OD⊥BC，在Rt△BDE中，BD＝1，BE=1∵sin∠ODB＝BEBD∴∠ODB＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝1，∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD＝60π×＝π＝2π-33【解析】【分析】（1）利用弧与圆周角的关系可得∠DBC＝∠DCB，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，最后利用等量代换可得∠ACD＝∠ABC；

（2）连接OC、OD、OB，先利用角的运算和等量代换可得∠OCD+∠ACD＝90°，即OC⊥AC，再结合OC是⊙O的半径，即可证出AC是⊙O的切线；

（3）先求出∠BOD＝60°，OB＝BD＝1，再利用扇形面积公式及割补法求出答案即可.23．【答案】（1）CQ∥BE；3；37°（2）解：V液＝12×3×4×4＝24（dm3（3）解：当容器向左旋转时，0°≤α≤37°，∵液体体积不变，∴12∴y＝﹣x+3．当容器向右旋转时，37°＜α≤53°，∵液体体积不变，∴12∴y＝124-x当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B'重合时，如图5，∵BB'＝4，且12PB•BB'∴PB＝3，∴tan∠PB'B＝34∴∠PB'B＝37°．∴α＝∠B'PB＝53°．此时37°≤α≤53°；【解析】【解答】解：（1）∵液体的形状为直三棱柱，

∴CQ//BE，

由勾股定理可得：BQ=52-42=3，

在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=34，

∴α＝∠BCQ=37°，

故答案为：CQ//BE；3；37°.

【分析】（1）利用棱柱的特征可得CQ//BE，再利用勾股定理求出BQ的长，最后利用解直角三角形的方法求出α即可；

（2）利用棱柱体积的计算方法和公式求解即可；24．【答案】（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，∴∠HDQ＝∠A，∴△DHQ∽△ABC．（2）解：①如图1，当0＜x≤2.5时，ED＝10﹣4x，QH＝AQtanA＝34此时y＝12（10﹣4x）×34x＝当x＝54时，最大值y＝75②如图2，当2.5＜x≤5时，ED＝4x﹣10，QH＝AQtanA＝34此时y＝12（4x﹣10）×34x＝当2.5＜x≤5时，y有最大值，当x＝5时，最大值为y＝754∴y与x之间的函数解析式为y＝-3则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y＝754综上可得，y的最大值为754（3）解：①如图1，当0＜x＜2.5时，若DE＝DH，∵DH＝AH＝QAcos∴10﹣4x＝54x，x＝∵∠EDH＞90°，∴EH＞ED，EH＞DH，即ED＝EH，HD＝HE不可能；②如图2，当2.5＜x≤5时，若DE＝DH，4x﹣10＝54x，x＝若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5，若ED＝EH，则∠ADH＝∠DHE，又∵点A、D关于点Q对称，∴∠A＝∠ADH，∴△EDH∽△HDA，∴EDDH=DH∴当x的值为4021【解析】【分析】（1）先求出∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，再结合∠HDQ＝∠A，即可证出△DHQ∽△ABC；

（2）分类讨论：①当0＜x≤2.5时，②当2.5＜x≤5时，再分别求出函数解析式y=-32x2+1525．【答案】（1）菱形、正方形；3（2）解：过点O作OH⊥BD于点H，连接OD∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝12∵AP＝1，PC＝5∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝OH∴OH=∴Rt△ODH中，DH＝DH=∴BD＝2DH＝2（3）解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N∴∠BMO＝∠DNO＝90°∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM＝∠DON＝60°∴tan∠DON＝DNON=∴直线BD解析式为y=∵二次函数的图象过点A（﹣3，0