广西壮族自治区防城港市防城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广西壮族自治区防城港市防城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A． B． C． D．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天会下雨 B．抛一枚硬币，正面朝上C．地球每天都在自转 D．打开电视机，正在播放广告3．平面直角坐标系内，点P(2，A．(3，−2) B．(2，3) C．4．抛物线y=(x−2)A．(2，1) B．(−2，−1) C．5．关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有实数根，则A．m>1 B．m≥1 C．m<1 D．m≤16．用配方法解方程x2A．(x+4)2=15 B．(x+4)2=17 C．7．在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACDC．AD=BD 8．抛物线y=xA．y=(x−3)2+2C．y=(x+2)2+39．下列说法正确的是（）A．抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为5B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'A．10 B．4 C．25 11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（）A．(1+x)2=121 C．1+x+(x+1)2=12112．已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是(−1，5)和(2，0)，点D在A．23 B．13 C．73二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）13．“明天太阳从西边升起”是事件.14．抛物线y=−2x2的顶点坐标是15．关于x的方程x2+kx+2=0的一个根是1，则k=16．圆锥的底面半径为2，母线长为3，它的侧面积为.17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则AC的长为.18．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.若BC=8，DE=3，则△AEF的面积为.三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（1）计算：4÷|−2|−（2）解方程：x220．如图，已知二次函数y=ax2+bx−2的图象与x轴交于点A(−1，0)，B(2（1）求点C的坐标；（2）求函数图象的对称轴；21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，（1）请画出△ABC关于原点中心对称的△A1B（2）在（1）的条件下，求扇形AOA1的面积（结果保留22．一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率12（1）布袋里红球有多少个?（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.23．已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC=60°，连接PB.（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线.24．已知抛物线y=−x2−bx+c的图象与x轴交于点A(−3，0)和点C（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；25．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.（1）请用含有x的代数式表示BC的长；（2）花园的面积能否为192m2?若能，求出（3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大?26．【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.图1图2【动手操作】如图1，AC是正方形ABCD的对角线，点E是AC上的一个动点，过点E和B作等腰直角△EFG，其中∠FEG=90°，EF>AB，EG与射线DC交于点P.请完成：（1）试判断图1中的∠BEC和∠PEC的数量关系；（2）当点P在线段DC上时，求证：EP=BE.（3）【类比操作】如图2，当点P在线段DC的延长线上时.EP=BE是否还成立?请判断并证明你的结论.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意.

故答案为：D.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、明天会下雨，是随机事件，故不符合题意；

B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；

C、地球每天都在自转，是必然事件，故符合题意；

D、打开电视机，正在播放广告，故不符合题意.

故答案为：C.

【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：点P(2，−3)关于原点对称点的坐标是(−2，3).4．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是（2，1）.

故答案为：A.

5．【答案】D【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有实数根，

∴△=（-2）2-4m≥0，

解得：m≤1.

故答案为：D.

【分析】由关于x的一元二次方程6．【答案】C【解析】【解答】解：方程x2+1=8x，

x2-8x=-1，

x2-8x+16=-1+16，

∴(x−4)2=15.

故答案为：C.7．【答案】D【解析】【解答】解：在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，

∴CD⊥AB，PA=PB，AD=BD，

∴∠AOD=∠BOD，

∵∠AOD=2∠ACD，

∴∠AOB=4∠ACD.

∴A、B、C正确，D错误.

故答案为：D.8．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为y=(x−2)2−39．【答案】D【解析】【解答】解：A、抛一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上的概率为12，故不符合题意.

B、某种彩票中奖的概率是1%，是随机事件，所以买100张该种彩票不一定会中奖，故不符合题意.

C、天气预报说明天下雨的概率是50%，是随机事件，所以明天将有一半时间在下雨说法错误，故不符合题意.

D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，正确，故符合题意.

故答案为：D.

10．【答案】A【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，AC=3，BC=4

∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，BC'=BC=4，

在Rt△ABC中，AB＝42+32＝5，

∴AC'＝AB-BC'=5-4＝1，

∴在Rt△AA'C'中，AA′＝A'C'2+AC【分析】由旋转的性质得出A'C'、BC'的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而得AC'的长，最后在Rt△AA'C'中，利用勾股定理计算，即可求得AA′的长．11．【答案】A【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，

第一轮传染后患流感的人数是：1+x，

第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），

∵经过两轮传染后共有121人患了流感，

∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.

故答案为：A．【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．12．【答案】B【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴，AN⊥DM于点N，

∴∠NAD+∠ADN=90°，

在正方形ABCD中，∠ADC=90°，AD=CD，则∠CDM+∠ADN=90°，

∴∠NAD=∠CDM，

∵∠N=∠CMD=90°，

∴△AND≌△DMC（AAS）

∴AN=DM，DN=CM，

设点D（a，b），

∵点A、C的坐标分别是(−1，5)和(2，0)，

∴a-2=5-b，且a+1=b，

解得a=3，b=4，即D（3，4）.

把D（3，4）代入y=13x2+kx得：13×32+3k=4，

13．【答案】不可能事件【解析】【解答】解：“明天太阳从西边升起”是不可能事件.

故答案为：不可能事件.

【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.14．【答案】(0【解析】【解答】解：抛物线y=−2x2的顶点坐标是（0，0）.

故答案为：（0，0）.

【分析】抛物线15．【答案】-3【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2+kx+2=0中，得12+k+2=0，

解得：k=-3.

故答案为：-3.

【分析】把x=1代入方程16．【答案】6π【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为πrl=π×2×3=6π.

故答案为：6π.

【分析】圆锥的侧面积为πrl，利用公式直接计算即可.17．【答案】14【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，∴∠ABC=180°−110°=70°，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°，∴AC⌢故答案为：149【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.18．【答案】73【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=8，∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABF=90°，即∠ABF=∠D，

∵DE=BF，

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∴BF=DE=3，∠DAE=∠NAF，AE=AF

∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°，即∠EAF=90°，

∴AF=AB2+BF2=82+32=73，

∴△AEF的面积为12AF·AE=1219．【答案】（1）解：原式=4÷2-（-27）×19（2）解：x2−6x+5=0.

（x-5）（x-1）=0，

x-5=0，x-1=0，

解得x1【解析】【分析】（1）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算减法即可；

（2）利用因式分解——十字相乘法解方程即可.20．【答案】（1）解：令x=0得y=−2，所以点C的坐标为(0，（2）解：∵二次函数y=ax2+bx−2的图象与x轴交于点A(−1∴函数图象的对称轴为x=−1+22=【解析】【分析】（1）由y=ax2+bx−2，求出x=0时y值，即得点C坐标；

（2）由抛物线与与x轴交于点A(−121．【答案】（1）解：如图，△A1B1C（2）解：OA=22+42=25，

∴【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质画图，然后写出点的坐标即可；

（2）利用勾股定理求出OA的长，再利用扇形面积公式计算即可.22．【答案】（1）解：设红球的个数为x，由题意可得：33+1+x=12，解得：答：布袋里的红球有2个；（2）解：画树状图如下：由树状图可知共有30种均等可能结果，两次摸到的球都是白球的有6种可能∴P（摸得两白）=6【解析】【分析】（1）设红球的个数为x，根据概率公式列出方程并解之即可；

（2）利用树状图列举出共有30种均等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的有6种可能，然后利用概率公式计算即可.23．【答案】（1）解：如图，连接OB，

∵AB⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAB=30°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴OBC的等边三角形，∴BC=OC，又OC=2，∴BC=2；（2）解：证明：由（1）知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC.∵OC=CP，∴BC=PC，∴∠P=∠CBP.又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，∴∠P=30°，∴∠OBP=90°，即OB⊥PB.又QOB是半径，∴PB是⊙O的切线.【解析】【分析】（1）连接OB，易求△OBC为等边三角形，可得BC=OC=2；

（2）由等边三角形见的性质及OC=CP，可求BC=PC，∠OCB=∠OBC=60°，可得∠P=∠CBP，再利用三角形外角的性质可求∠P=30°，从而得出∠OBP=90°，根据切线的判定定理即证.24．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2−bx+c的图象经过点∴0=−5+3b+3c=6∴抛物线的解析式为：y=−x（2）解：对称轴为x=−b6a=−1解得x7=−3，x2=8，∵点C与点A关于直线x=−2对称，∴连接AB与对称轴x=−1的交点即为所求之P点，∵BC的长是个定值，则此时的点P，使△PBC的周长最小，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时PB+PC=PB+PA=AB最小.设直线AB的解析式为y=kx+b，由A(−3，4)可得解得k=1，b=8，∴直线AB解析式为y=x+3；当x=−1时，y=3，∴P点坐标为(−1，【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）由（1）知y=−x25．【答案】（1）解：∵AB=x，则BC=(28−x)；（2）解：∵AB=x，则BC=(28−x)，∴x(28−x)=192，解得：x1=12，所以花园的面积可等于192m（3）解：①S=x(28−x)=−x（∵在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m，∴28−15=13，∴6≤x≤13）∴面积S与x的函数解析式为：S=−②∵−1<0，抛物线的开口向下，对称轴为x=14∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大∴当x=13时，S取到最大值为：S=−(13−14)即当x=13m时，花园面积S最大，最大值为195平方米.【解析】【分析】（1）由AB=xm，AB+BC=28，则BC=(28-x)m.

（2）根据矩形的面积=AB·BC=192列出方程并解之