专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分精练（全国）

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等直内接等直模型 2模型2.等直+高分线模型 8 15模型1.等直内接等直模型等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点同理可得：，，∵AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（

）A．18 B． C．9 D．例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4例3．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF＝OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点上，得到，将绕点旋转，射线，分别与边，交于，两点，如图1所示．(1)操作发现：如图2，当，分别是，的中点时，试猜想线段与的数量关系是________，位置关系是________．(2)类比探究：如图3，当，不是，的中点，但满足时，判断形状，并说明理由．(3)拓展应用：①如图4，将绕点继续旋转，射线，分别与，的延长线交于，两点，满足，是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；②若在绕点旋转的过程中，射线，分别与直线，交于，两点，满足，若，，则________（用含，的式子表示）．模型2.等直+高分线模型等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．证明：，，，，，，，，，，在和中，，．平分，，∵，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形．，，，平分，点到的距离等于点到的距离，，∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。例1．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，以下结论中：①是等腰三角形；②；③；④．正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④，其中正确结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）说明：；（2）说明：；（3）试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论．例4．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．(1)若，求证：垂直平分；(2)若点在线段上运动．①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分．1．（23-24山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③2．（2024·广东汕头·二模）如图，四边形ABCD为正方形，的平分线交BC于点E，将绕点B顺时针旋转90°得到，延长AE交CF于点G，连接BG，DG与AC相交于点H．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四边形CEGH；⑤DG•AE＝DC•EF中，正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·湖南长沙·一模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2024·江苏淮安·三模）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④8．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是（

）A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤与的面积和无法确定．上述结论中始终正确的有（

）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④10.（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，在正方形中，，相交于点O，E，F分别为边上的动点（点E，F不与线段的端点重合）且，连接．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是2；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积始终是4．其中结论正确的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④11．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，在等腰直角，是斜边的中点，点分别在直角边上，且，交于点．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）的面积等于四边形的面积的倍；（3）；（4）．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点在边上，且，连接交于点，过点作于点，连接并延长，交于点，过点O作交于点，，以下四个结论：①；②正方形的面积为9；③；④，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2024·黑龙江·校考一模）如图，在面积为的正方形中，是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且交于点．下列结论：；；③四边形的面积为．其中结论正确的序号有（

）A． B．C． D．14．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图所示，在等腰直角∆ABC中，点D为AC的中点，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，则FC的长是．15．（2024广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM=．16．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点O，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接、、，则线段的最小值为．17．（2024·山东德州·二模）如图，在等腰直角中，，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．(1)若，则______；（用含的式子表示）；(2)求证：；(3)猜想线段与之间的数量关系，并证明．18．（23-24江苏泰州八年级上期中）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．

(1)观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；(2)观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；(3)把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由．19．（2023·山东菏泽·二模）【课本再现】(1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O