专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型解读与提分精练（全国）

专题07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 15模型1.平分平行（射影）构等腰模型角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。1）角平分线加平行线必出等腰三角形．

图1图2图3条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。证明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。证明：由题意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.结论：三角形CEF是等腰三角形。证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（

）A．B．C．D．例2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在中，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为14，则的周长是（

）A．14 B．19 C．21 D．23例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．例4．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF例5.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．例6．（2023九年级·广东·专题练习）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．

(1)当，则___________；(2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由．模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。1）内角平分线定理条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。结论：证明：作，作DHAB垂足分别为F，H.∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则==（2）作BECA垂足为E，则==∴=2）外角平分线定理图2图3条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：．证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．3）奔驰模型条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。证明：过点作于点，作于点，作于点．

由题意知：，，是的三条角平分线，，于，，的三边、、长分别为a，b，c，．例1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（

）A．8 B．16 C．12 D．24例2．（2023·四川泸州·八年级统考期中）如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（）A． B． C． D．例3．（23-24九年级上·吉林·期末）已知，是一条角平分线．【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：．小红的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，∵是的角平分线，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【类比探究】如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：．例4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个论证．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明；(2)应用拓展：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．①若，，求的长；②若，，求的长（用含k与的代数式表示）．例5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路：①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题．②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题．（1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程．【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答．（2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：．【学以致用】（3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长．1．（2024·湖南怀化·一模）如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点D，交斜边于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，用表示的面积（其它同理），则＝（

）

A． B． C． D．2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于与的和；④；⑤若，则．其中正确的有（

）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤3．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（）A．1 B． C．2 D．4．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（

）个．

A． B． C． D．5．（2024·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（）A． B．3 C． D．6．（23-24山西八年级期中）如图在中，的角平分线交于，若，，则平行四边形的周长为（）A． B． C． D．7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（

）

A．9 B．6 C．3 D．28．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则．9.（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，过点O作OF⊥AB于F，若OF=c，则△ABC的面积为．10．（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为．

11．（2024·天津·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，若，的面积为9，则的面积是．12．（2023·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有．

13．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于．

14．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）（1）若为的角平分线，求证：；（2）已知，，，，求证：．

15．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点E，F分别是边，上的动点（不与点A，B，C重合），连结，．(1)若分别记，的面积为，求的值．(2)设，，①若，求的值．②若，，请判断的形状，并说明理由．16．（2024·吉林长春·三模）如图①，AD是的角平分线．数学兴趣小组发现结论：．经过讨论得到如下种证明思路：思路：过点向两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论；思路：过点作AB的平行线，与AD的延长线相交，利用三角形相似证出结论；思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论．(1)请参考以上种证明思路，选择其中一种证出结论；(2)在图①中，AD是的角平分线．若，，，则BD的长度为_______；(3)如图②，在中，，的角平分线BD、CE相交于点，若，则的值为_______．17．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）[感知]如图①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要证明）(1)[探究]如图②所示，李丽同学将图①的等腰改为任意，AD平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法：方法1：过点D分别作于点E，于点F，利用与的面积比证明结论．方法2：过点B作交AD延长线于点E，利用与相似证明结论．请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明．(2)[应用]如图③所示，在中，，，，AD平分．若点E在边AB上，，CE交AD于点F，则______．18．（2023·浙江绍兴·模拟预测）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点，发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得，请你完成上述证明过程：结论应用：已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点．(1)请你完成发现中的证明过程；(2)如图2当，，求的值；(3)如图3当，与的边垂直时，求的值．19．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…【问题提出】