专题22 全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（全国）

专题22全等与相似模型之对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°） 1模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°） 4模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α） 7模型4.对角互补模型（相似模型） 10 15模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。对角互补模型（90°—90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，.例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）图1图2图3例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．例3．（2024·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点.（1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度.模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）对角互补模型（60°—120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。3）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。结论：PB+PC=PA；证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。例1．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．例2．（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。1）“α对180°-α模型”条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．模型4.对角互补模型（相似模型）四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴，∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴，∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点E，交线段于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）“阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是的中点．理由如下：∵于点D，．∵点E是的中点，．，．是等边三角形．，．．又，．．即若点E是的中点，则点F也是的中点．反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是的中点．请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．例3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．例4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持.(1)若，求证：①，②；(2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程；②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积.1.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

内剪取一个直角，点，，分别在，，边上．请完成如下探究：（1）当为的中点时，若，

（2）当，、时，的长为

3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

4．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则．5．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想，，之间的关系为________．（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．6．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知是中的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为．(1)当，，时，如图1，若，，则______，______；(2)如图2，当时，①求证：；②直接写出与，的数量关系；(3)如图3，当，，，时，请直接写出的大小．7．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，，平分，点P为上一个动点，过点P作射线交于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点F．(1)根据题意补全图1；(2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系．8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．9．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．10．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________．问题探究（2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积．问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由．

11．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E．(1)如图①，当时，则的值是________．(2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说